2024-2025学年天津市西青区高一下册第一次月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年天津市西青区高一下册第一次月考数学检测试题（附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【正确答案】A
【分析】根据零向量的定义，可判断A项正确；根据共线向量和相等向量的定义，可判断B，C，D项均错.
【详解】模为零的向量是零向量，所以A项正确；
时，只说明向的长度相等，无法确定方向，
所以B，C均错；
时，只说明方向相同或相反，没有长度关系，
不能确定相等，所以D错.
故选：A.
本题考查有关向量的基本概念的辨析，属于基础题.
2. 设，是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量不能作为一组基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【正确答案】B
【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，不共线，
A选项，不存在，使得，
所以和可以作为基底.
B选项，由，
得，解得，所以和共线，不能作基底.
C选项，由，
得，方程组无解，所以和可以作为基底.
D选项，不存在，，
所以和可以作为基底.
故选：B
3. 已知，则和同向的单位向量是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】和同向的单位向量是.
【详解】因为，所以和同向的单位向量是.
故选：A.
4. 在中，已知，则等于（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
【正确答案】C
【分析】
根据余弦定理化角为边即可求解.
【详解】由余弦定理可得：
故选：C
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了运算能力，属于中档题.
5. 设，向量且，则（ ）
A. B. C. D. 10
【正确答案】C
【分析】根据向量垂直、平行列方程，求得，进而求得正确答案.
【详解】由于，
所以，解得，
所以，
所以.
故选：C
6. 在中，内角所对应的边分别是，若，则（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
【正确答案】D
【分析】由余弦定理建立方程，即可解得答案.
【详解】由余弦定理可知，
即，
整理得，解得或（舍去）.
故选：D
7. 已知向量且向量方向相反，则可以是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用向量相反的坐标表示求解即可.
【详解】因为向量且向量方向相反，
当时，，不满足题意，
当时，，解得，且，
所以，，且，
经检验只有满足题意，
故选：D
8. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由已知可得，结合已知计算可求得，进而可求夹角.
【详解】因为，所以，所以，
所以，因为，
所以，又因为，所以.
所以与的夹角为.
故选：A.
9. 如图，在一条河上有两座桥和，已知，又测得，则河宽为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用等面积法来求得.
【详解】设，
根据海伦公式有,
解得.
故选：C
10. 在△中，为边上的中线，为的中点，则
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
11. 已知向量不共线，，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
【正确答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量定理逐项判断即可得解.
【详解】对于A，令，即，则有，无解，
因此不存在t，使得，即 三点不共线，A错误；
对于B，，则，又直线MN，NQ有公共点N，
因此 ，，三点共线，B正确；
对于C，，令，即，
则有，无解，因此不存在m，使得，即三点不共线，C错误；
对于D，令，即，则有，无解，
因此不存在n，使得，即三点不共线，D错误.
故选：B
12. 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则（ ）
A. 8B. 4C. 2D. 1
【正确答案】C
【分析】由可得，，结合即可得结果.
【详解】因为，所以，
又因为，
所以,又因为是的中点，
所以,
故选C.
本题主要考查平面向量的数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.
13. 若点E是的中线上的一点（不含端点），且，则的最小值为（ ）
A. 4B. 8C. 6D. 12
【正确答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算法则可得，再由，，三点共线，知，然后利用基本不等式中的“乘1法”，得解．
【详解】解：因为为三角形的中线，所以，
所以，
又，，三点共线，所以且，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8．
故选：B．
14. 已知在中，，则的形状为（ ）
A. 等边三角形B. 等腰三角形
C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
【正确答案】D
【分析】利用正弦定理与二倍角公式化简，再根据三角形的内角范围分析即可
【详解】由正弦定理有，因为，故，故，即，又，故或，即或，故的形状为等腰三角形或直角三角形
故选：D
15. 在中， ，，，点满足 ，则（ ）
A. 0B. 2C. D. 4
【正确答案】A
【分析】用，，表示和，最后代入进行数量积运算即可。
【详解】由题可得：，
，
所以
由于，，，
则，，
所以，
故选：A
关键点点睛：本题以三角形为背景，把平面向量的线性运算以及数量积运算巧妙的结合在一起，用基底，，表示和是解题的关键，属于中档题.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.
16. 已知在上的投影向量为，则的值为__________.
【正确答案】
【分析】利用投影向量的定义及平面向量的数量积公式计算即可.
【详解】设与的夹角为，
故
17. 已知的内角为所对应的边分别为，且．则角的大小为_______.
【正确答案】
【分析】由正弦定理得，由三角形内角的关系得.
详解】由正弦定理得，，
因为，所以，
所以，因为，所以，所以，
故答案为.
18. 设向量，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________．
【正确答案】且
【详解】因为的夹角为锐角，所以解得，又当时，不符合题意，所以且.
19. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．
【正确答案】 ①. ②. 3
【详解】分析:根据正弦定理得sinB,根据余弦定理解出c.
详解：由正弦定理得,所以
由余弦定理得（负值舍去）.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
20. 在中，若，则角等于_____．
【正确答案】
【分析】根据余弦定理，结合对数的运算法则可求角.
【详解】因为，
所以，
所以.
由余弦定理可得：，
又为三角形内角，所以.
故
21. 如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为_______.
【正确答案】
【分析】本题首先可以设向量与的夹角为，然后根据以及向量的运算法则得出，再然后建立直角坐标系，写出各点的坐标，设，则，，最后根据向量的数量积的坐标表示得出，根据二次函数性质即可求出最值.
【详解】因为，所以向量与的夹角和向量与的夹角相等，
设向量与的夹角为，
因为，所以，
即，
整理得，解得，，
如图，过点作垂线，垂足为，建立如图所示的直角坐标系，
易知，，，，
则，，，
，，，
，
因为，所以当时，取最小值，最小值为，
故答案为.
方法点睛：本题考查向量的数量积的求法，可通过建立直角坐标系的方式进行求解，考查向量的运算法则，考查向量的数量积的坐标表示，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.
三、解答题：本题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
22. 已知，
（1）求；
（2）设与的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相垂直，求k的值.
【正确答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】(1)由题意可得，进而求出它的模即可；
(2)根据公式计算即可；
(3)由可得，结合、计算即可.
【详解】解：；
故
；
因为向量与互相垂直，
所以，即，
因为，，
所以
23. 已知中是直角，，点是的中点，为上一点.
（1）设，，当，请用，来表示，.
（2）当时，求证.
【正确答案】（1），
（2）证明见解析
【分析】（1）利用向量的线性运算求解；
（2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算．
【小问1详解】
∵，，点是的中点，
∴，
∴，
∵.
【小问2详解】
以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，
设，∴点坐标为，另设点坐标为，∵点是的中点，
∴点坐标为，
又∵，∴，∴，，
所以，，
所以，
∴.
24. 在中,内角所对的边分别为,已知, ,且.
(1)求角的大小;
(2)若,的面积为,求的周长
【正确答案】(1)；(2)
【分析】
（1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到，进而求得；
（2）根据三角形面积公式构造方程求得，利用余弦定理可求得，进而得到所求周长.
【详解】（1）
由正弦定理得：
即：



（2）
由余弦定理得：
的周长
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.
25. 已知在中，的对边分别为，满足．
（1）若，求的面积；
（2）已知向量，且，求的值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理对等式化简得到角，由向量的数量积公式求得，再由三角形面积公式求得结果；
（2）利用向量平行建立等式求得的正弦值，利用和差角公式即可求得的值.
【小问1详解】
，
，
，
，
，
．
，．
，．
．
【小问2详解】
，且，，
，
，
．