黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题（Word版附解析）

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1. 甲，乙两名大学生计划今年寒假分别从黄果树风景名胜区、龙宫景区、天龙屯堡景区、安顺古城四个不同的景区中随机选两个景区前往旅游打卡，则这两人恰好有一个景区相同的选法共有（ ）
A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种
【答案】C
【解析】
【分析】利用组合数和计数原理，用间接法求解即得.
【详解】由题意得甲选择两个景区的选法有种，
乙选择两个景区的选法有种，故总选法有种，
两人选择景区完全相同的选法有种，
两人选择景区完全不相同的选法有种，
故两人恰好有一个景区相同的选法共有种，故C正确.
故选：C.
2. “”是“直线与直线垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】求出两直线垂直的充要条件后再根据充分必要条件的定义判断.
【详解】由,得,即或
所以,反之,则不然
所以“”是“直线与直线垂直”的
充分不必要条件.
故选:A
3. 已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的性质，结合直线与抛物线的位置关系及三角形的面积公式求解．
【详解】易知，由题意不妨设直线AB的方程为，
联立，则，
设，，则，
又，则，则，
则面积为
故选：B
4. 若的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（ ）
A. 90B. -90C. 180D. -180
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可知项数n=10，再表示通项并令其中x的指数为零，求得指定项的系数即可.
【详解】解：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则项数n=10，即，
则通项为，
令，则.
故选：C.
5. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（ ）
A. 24B. 37C. 49D. 52
【答案】C
【解析】
【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长，焦距．结合椭圆与双曲线的定义,得， ,在△F1PF2中,根据余弦定理可得到与的关系式，进而用均值不等式得解.
【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长，焦距,则
，，解得
，，如图
在△F1PF2中,根据余弦定理可得：
，
整理得，即，
所以，
当且仅当时，取等号.
故选:C.
6. 已知点，过点引直线l与曲线相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简曲线得出圆的方程，再结合三角形面积公式及点到直线距离计算求参.
【详解】曲线，得，则，
所以曲线表示圆心为，半径为的半圆（x轴及以上部分）．
由于，
故当时的面积取得最大值，
此时圆心到直线l：的距离为，
即，如图，只有才可能满足题意，得．
故选：D.
7. 某学校有两家餐厅，王同学第1天选择餐厅就餐的概率是，若第1天选择餐厅，则第2天选择餐厅的概率为；若第1天选择餐厅就餐，则第2天选择餐厅的概率为；已知王同学第2天是去餐厅就餐，则第1天去餐厅就餐的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用互斥事件的概率加法公式、积事件的乘法公式进行计算求解.
【详解】设“王同学第i天去A餐厅就餐”，“王同学第i天去B餐厅就餐”，，
依题意，，，，则，
由有：，
因为，所以
，
所以.
故选：B.
8. 费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线：为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中点以及角平分线的性质可得，即可根据双曲线定义得，代入到双曲线方程可得，即可根据离心率公式求解.
【详解】如图，延长交的延长线于点,
由于是的角平分线上的一点，且,
所以点为的点，所以,
又为的中点，所以，
故，
故，即，将点代入可得，解得，
故离心率为，
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则圆，的公共弦所在的直线方程为
B. 若两圆有四条公切线，则
C. 当时，，分别是圆、圆上的动点，则的最小值为
D. Q为直线上的动点，过点向圆引两条切线，切点分别为，，则直线过定点
【答案】BD
【解析】
【分析】求出相交两圆公共弦所在直线方程判断AD；由两圆相离求出范围判断B；利用圆的性质求出最值判断C.
【详解】圆：的圆心，半径，
圆的圆心，半径，，
对于A，当时，，圆与相交，
两圆方程相减得公共弦所在的直线方程，A错误；
对于B，由两圆有四条公切线，得圆与外离，则，
解得，B正确；
对于C，当时，圆与外离，则，C错误；
对于D，设，依题意，点在以线段为直径的圆上，
线段为直径的圆方程为，与圆的方程相减，
得直线方程：，即，
由，解得，因此直线过定点，D正确.
故选：BD
10. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件和表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是（ ）
A
B.
C. 事件B与事件相互独立
D. 是两两互斥的事件
【答案】BD
【解析】
【分析】根据事件的条件概率公式、独立性公式等逐一判断可得结果.
【详解】解：依题意得，，，
， ，，
选项A：，故A不正确；
选项B：因为，故B正确；
选项C：因为，，
故，
所以事件B与事件不相互独立，故C不正确；
选项D：根据互斥事件的定义可知，是两两互斥的事件，故D正确.
故选：BD.
11. 我国知名品牌小米公司的具备“超椭圆”数学之美，设计师的灵感来源于数学中的曲线（、为常数，且）.则下列有关曲线的说法中正确的是（ ）
A. 对任意的且，曲线总关于轴和轴对称
B. 当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为
C. 当，时，曲线与坐标轴的交点个数为个
D. 当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用曲线的对称性可判断A选项；利用基本不等式结合平面内两点间的距离公式可判断BD选项；求出曲线与坐标轴的交点坐标，可判断C选项.
【详解】对于A，取曲线上点，则，
点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，
因为，，
即点、都在曲线上，故曲线总关于轴和轴对称，故A正确；
对于B，当，时，曲线的方程可化为，
在曲线上任取一点，
由，
当且仅当时，即当时，等号成立，得，
故曲线上的点到原点的距离最小值为，故B正确；
对于C，当，，时，，则，得，
所以或，所以曲线与轴有个交点，
当时，，，得或，所以曲线与轴有个交点，
综上，曲线与坐标轴的交点个数为个，故C错误；
对于D，当，时，在曲线上任取一点，
由
，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故曲线上的点到原点的距离最小值为，故D正确.
故选：ABD
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布，对于的食盐即为不合格，不合格食盐出现的概率为0.05，现从这批食盐中随机抽取100包，用表示这100包中质量位于区间的包数，则随机变量的方差是______．
【答案】9
【解析】
【分析】根据题意结合正态分布的对称性可得，分析可知，利用二项分布的性质求方差.
【详解】由题意可知：，且，
则，可得，
由题意可知：，
所以随机变量的方差.
故答案为：9.
13. 设，求的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由配方化简可得d可看作点和到直线上的点的距离之和，作关于直线对称的点，连接，计算可得所求最小值.
【详解】解：
，
即d可看作点和到直线上的点的距离之和，
作关于直线对称的点，
由题意得，解得
故，
则.
故答案为：.
14. 在平面直角坐标系xOy中，射线，，半圆C：.现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线、时会发生镜面反射.设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】求出光线与、、相切时的斜率，数形结合即可得解.
【详解】将半圆依次沿着，，作对称，如图所示：
光线在镜面发生反射可以等效处理为：光线进入了镜子后的空间，
因此问题就转化为光线如何与镜子内外的圆没有交点，光线变化的范围如图所示.
当光线与相切时，光线所在直线斜率，
由对称性可知当光线遇射线时反射光线若与相切，则入射光线所在直线为与圆相切，
当光线与圆相切但遇射线时反射光线不与相切时，
此时，所以光线斜率为
，
当光线与相切时，光线斜率为，
所以由图可知k的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是数形结合简化问题的难度.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采用5局3胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立.
（1）求赛完4局且乙获胜的概率；
（2）若规定每局获胜者得2分，负者得分，记比赛结束时甲最终得分为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）根据已知分析赛完4局且乙获胜的对应事件，再应用独立事件乘法公式求概率；
（2）由题设确定的可能取值并求出对应概率，写出分布列，进而求期望.
【小问1详解】
设“赛完4局且乙获胜”为事件，即乙前3局中获胜2局输1局，且第4局获胜.
【小问2详解】
的可能取值为，，1，4，5，6，
则，，，
，，，
的分布列如表所示
所以.
16. 设为抛物线：的焦点，为的准线与轴的交点，且直线过点．
（1）若与有且仅有一个公共点，求直线的方程；
（2）若与交于，两点，且，求的面积．
【答案】（1），或
（2）
【解析】
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，根据判别式即可求解，
（2）根据韦达定理可得，，进而根据向量数量积的坐标运算求解，由面积关系即可求解.
【小问1详解】
抛物线：的焦点坐标为，准线方程为，则．
若与轴垂直，此时与只有一个交点．
若与轴不垂直，设．由，消去整理得．
因为与有且仅有一个公共点，所以，故．
此时的方程为或．
综上，的方程为，或．
【小问2详解】
由（1）得，即．设，，
则，．
因为，所以，又，
所以，
整理可得，代入可得，解得．
所以的面积
.
17. 某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表：
（1）求该项性能指标的样本平均数的值．若这批零件的该项指标近似服从正态分布其中近似为样本平均数的值，，试求的值．
（2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件．
①求这件零件是次品的概率：
②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率；
③若从这批机器零件中随机抽取300件，零件是否为次品与该项性能指标相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）．
参考数据：若随机变量服从正态分布则，
【答案】（1）80，0.8186
（2）①；②；③4
【解析】
【分析】（1）计算出平均数后可得，结合正态分布的性质计算即可得解；
（2）①借助全概率公式计算即可得；②按照条件概率公式计算即可；③借助二项分布期望公式计算即可得．
【小问1详解】
，
因为，所以，
则
；
【小问2详解】
①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件，
“抽取的零件为乙机床生产”记为事件，
“抽取的零件为次品”记为事件，
则，，，，
则；
②；
③由（1）及（2）①可知，这批零件是次品且性能指标在内的概率，
且随机变量，
所以，
所以随机变量Y的数学期望为4.
18. 已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点.
（1）若椭圆上点满足，求的值；
（2）定点在轴上，若点S为椭圆上一动点，当取得最小值时点S恰与椭圆的右顶点重合，求实数的取值范围；
（3）设椭圆的左右顶点分别为、，过的直线交椭圆于点、（异于、），设直线、的斜率分别为、，求的值.
【答案】（1）3 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用椭圆定义求解.
（2）设，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数探讨最小值.
（3）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算即得.
【小问1详解】
椭圆的焦点，
由，设点，则，解得，即，
所以.
【小问2详解】
设，则，，
则，
所以，，
要使时取最小值，则必有，所以
【小问3详解】
依题意，，设，
由消去，得，
则，即，
所以.
19. 已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为．
①求证：为定值；
②求的取值范围．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）由题意求出，即可求得答案；
（2）①设直线PQ的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合的表达式，即可证明结论；②利用直线方程求出相关点坐标，可得的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案.
【小问1详解】
设双曲线的半焦距为c，由题意得，渐近线方程不妨取，即，
则，而，
故双曲线方程为；
【小问2详解】
①由题意知，设直线PQ的方程为，
联立方程组，得，
因为过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，故，
则，
则；
当直线PQ斜率不存在时，,
故为定值；
②由题意可得，
直线AP的方程为，则，
直线AQ的方程为，则，
则，
所以，
由于。即，，故，
当直线PQ斜率不存在时，， 直线AP方程为，
直线AQ方程为，可得，
综上的取值范围为.
【点睛】难点点睛：本题综合考查了直线和双曲线位置关系中的三角形面积问题，解答的难点在于的取值范围的确定，解答时要注意结合直线和双曲线方程联立求出的表达式，计算过程比较复杂，计算量较大.
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性能指标X
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77
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产品件数
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