锐角三角函数的常考题型（6大热考题型）（解析版）-中考数学二轮专题练习

这是一份锐角三角函数的常考题型（6大热考题型）（解析版）-中考数学二轮专题练习，共100页。
题型一：正弦概念的辨析与应用
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值：过点作，证明，得到，再证明，分别求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用正弦的定义，求解即可．
【详解】解：∵矩形，，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴
过点作，则：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故选A．
【变式1-1】（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值．
【详解】解：根据题意，设，则，
∵，四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式1-2】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为 ．
【答案】
【分析】证明，得出，根据，得出，说明点H在以为直径的圆上运动，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，则点在上运动，说明当与相切时最大，得出，根据，利用，即可求出结果．
【详解】解：∵两条平行线、，点A是上的定点，于点B，
∴点B为定点，的长度为定值，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点H在以为直径的圆上运动，
如图，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，
则点在上运动，
∴当与相切时最大，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹．
【变式1-3】（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的直径．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，由角平分线可得，又由可得，即得，由得，进而可得，即得，即可求证；
（）是的直径可得，又由（）知，由，，进而可得，再根据，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解；
本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，三角函数，掌握圆的有关定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵，，，
∴
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即的直径为．
【变式1-4】（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．

(1)求k与m的值；
(2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）把B的坐标代入，求出n，然后把B的坐标代入，求出k，最后把A的坐标代入求出m即可；
（2）根据轴求出C的纵坐标，然后代入，求出C的横坐标，利用勾股定理求出，最后根据正弦的定义求解即可．
【详解】（1）解：把代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
∴，
把代入，
得；
（2）解：由（1）知：
设l与y轴相交于D，

∵轴，轴轴，
∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，，
把代入，得，
解得，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·河北张家口·模拟预测）在中，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键．由勾股定理得进而利用三角函数定义即可得解．
【详解】解：如图，根据勾股定理得，
故选．

2．（2024·广东·模拟预测）正方形网格中，如图所示放置（点A，O，C均在网格的格点上，且点C 在上），则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，勾股定理逆定理，找出边上的格点，连接，利用勾股定理求出、、的长度，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后根据正弦的定义计算即可得解．
【详解】如图，为边上的格点，连接，
根据勾股定理，，
，
，
所以，，
所以，是直角三角形，
．
故选：B．
3．（2024·广东广州·模拟预测）在中，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，先根据勾股定理求出，再根据在直角三角形中锐角三角函数的定义解答．
【详解】在中，，，，
，
．
故选：A．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）直角三角形的斜边与一直角边的比是，且较大的锐角为，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
设斜边与一直角边分别为、，利用勾股定理列式求出另一直角边，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【详解】解：设斜边与一直角边分别为、，
由勾股定理得，另一直角边，
较大的锐角为，
∴，
故选：D．
5．（2025·上海奉贤·一模）在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为 ．
【答案】
【分析】过点P作轴于点M，利用三角函数的定义，勾股定理，点的坐标的意义解答．
本题考查了正弦函数的应用，勾股定理，坐标的确定，熟练掌握正弦函数，勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图，过点P作轴于点M，
∵，，
∴，
∴，
∴点．
故答案为：．
6．（2024·四川成都·模拟预测）如图，正方形的边长为2，M是AD的中点，将四边形沿翻折得到四边形，连接，则的值等于 ．
【答案】
【分析】延长CF，AD交于G，过D作于H，则，，由折叠得，有，设，则，利用勾股定理求得和，根据等面积求得，即可得，，，根据解直角三角形得，结合平行线的判定和性质得即可．
【详解】解：延长CF，AD交于G，过D作于H，如图：
∵正方形的边长为2，M是AD的中点，
∴，，
∴，
∵将四边形沿翻折得到四边形，
∴，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
；
【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、解直角三角形和平行线的判定和性质，解题的关键是做辅助线和找到对应的边角关系．
7．（2024·上海青浦·模拟预测）如图是一张矩形纸片，点M是对角线的中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线上的点F处，连接．若，则的正弦值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，证明是解答本题的关键．由折叠的性质可知，，，证明得，设，，则，，代入比例式求出，则，然后根据正弦定义求解即可．
【详解】解：如图，设与交于点G，

由折叠的性质可知，，．
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，则，
∴，
∴，
∴或（舍去）
∴，
∴．
故答案为：．
8．（2024·广东·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上．
(1)求的值．
(2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法）
【答案】(1)
(2)图见解析，
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、正弦、作垂线，熟练掌握正弦的定义是解题关键．
（1）先根据勾股定理和勾股定理的逆定理得出是以为直角的直角三角形，再根据正弦的定义求解即可得；
（2）先以点为圆心、为半径画弧交于点，再分别以点为圆心，长为半径画弧，分别交于点，然后画直线，交于点，则即为所作；最后利用正弦的定义即可求出的长．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∴是以为直角的直角三角形，
∴．
（2）解：用尺规作图法过点作，垂足为，作图如下：
在中，．
9．（2024·北京·模拟预测）如图，是等腰三角形，．已知，用两种方法表示的面积______
【探究】你能否从这里得出的计算公式呢？
【答案】题空：，
探究：
【分析】此题主要考查了锐角三角形函数恒等式．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形面积证法，正弦和余弦定义，是解题的关键．
填空：根据等腰三角形性质得到，其面积的两种表示法为，，
探究：得到，结合等腰三角形性质得到，根据，，，，，即得．
【详解】题空：
∵是等腰三角形，，
∴，，
故答案为：，；
探究：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴．
题型二：余弦概念的辨析与应用
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求角的三角函数等知识点，正确利用折叠的性质是解题的关键．
根据折叠的性质，可求得，，从而求得，，在中，由勾股定理，得，即可求得结果．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
把沿折叠，点恰好落在边上的点处，
，，
，
，
在中，
，
由勾股定理，得，
，
，
，
，
故选：A．
【变式2-1】（2023·四川攀枝花·中考真题）中，、、的对边分别为、、．已知，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断是直角三角形，再根据余弦的定义可直接进行求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查余弦，熟练掌握求一个角的余弦值是解题的关键．
【变式2-2】（2023·江苏扬州·中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是( )
A．1B．2C．6D．8
【答案】C
【分析】如图，作，，则，，，，由是锐角三角形，可得，即，然后作答即可．
【详解】解：如图，作，，交的延长线于点E

∴，，
∴，，
∵是锐角三角形，
∴，即，
∴满足条件的长可以是6，
故选：C．
【点睛】本题考查了余弦，锐角三角形．解题的关键在于确定的取值范围．
【变式2-3】（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴在中，，
∴，
∴半径的长为6，
故答案为：．
【变式2-4】（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，证，再利用求出边长，从而求解即可．
【详解】解：∵折叠，
，
∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得，
，
故答案为：．
【变式2-5】（2024·上海·中考真题）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则 ．
【答案】或/或
【分析】本题考查了平行四边形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解．
【详解】解：当在之间时，作下图，
根据，不妨设，
由翻折的性质知：，
沿直线翻折至所在直线，
，
。
，
过作的垂线交于，
，
，
当在的延长线上时，作下图，
根据，不妨设，
同理知：，
过作的垂线交于，
，
，
故答案为：或．
【变式2-6】（2023·山东·中考真题）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则 ．

【答案】
【分析】过点A作于H，根据等边三角形的性质可得，再由，可得，再根据，可得，从而可得，利用锐角三角函数求得，再由，求得，即可求得结果．
【详解】解：过点A作于H，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明是解题的关键．
【中考模拟即学即练】
1．（2025·湖南娄底·一模）若是一个锐角，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了求角的余弦值，可根据题意作出直角三角形，根据三角函数的定义即可求解．
【详解】解：如图所示：
设，
∵，
∴，
设，
则，
∴．
故选：C．
2．（2024·湖南·模拟预测）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为，小正方形面积为，则的值为（ ）
A．B．43C．D．45
【答案】D
【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理，设大正方形的边长为，直角三角形的短直角边为，长直角边为，根据正方形面积计算公式可得，则，再由勾股定理得到，解方程求出的值，进而求出的值，最后根据余弦的定义求解即可．
【详解】解：设大正方形的边长为，直角三角形的短直角边为，长直角边为，
∵大正方形面积为，小正方形面积为，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴，
故选：．
3．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由勾股定理得出的长，由三角函数定义即可得出答案．
本题考查了解直角三角形以及勾股定理的运用；熟练掌握勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：如图所示：
则，
∴，
故选：C．
4．（2024·广东·模拟预测）如图，直径为10的经过点C0,6和点O0,0，是轴右侧上一点，则的余弦值为（ ）
A．B．C．D．45
【答案】D
【分析】此题考查了圆周角定理、锐角三角函数的知识．连接CD，结合圆周角定理及勾股定理可知，由圆周角定理可知，结合余弦的定义即可求解．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
【详解】解：如图，连接CD，
，
为的直径，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
故选：D．
5．（2023·广东东莞·模拟预测）如图，在中，E是直径延长线上一点，切于点，若，则的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题重点考查切线的性质定理、勾股定理等知识，根据勾股定理列出关系式是解题的关键．连接，由切线的性质得，则，由，得，所以，于是得，即可求得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接，
切于点，
，
，
，
，
，
，
，
整理得，
，
，
，
，
的余弦值为，
故选：B．
6．（2024·上海·模拟预测）在中，，于D，若和的面积比为，则的余弦值为
【答案】
/
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、余弦的求解，根据题意证，根据和的面积比为可得和的面积比为，结合即可求解；
【详解】解：如图所示：
∵
∴
∵和的面积比为，
∴和的面积比为，
∵
∴
∴
故答案为：
7．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，内接于，是的直径，平分，，延长交的延长线于点A，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的性质，直角三角形的边角关系，圆周角定理以及相似三角形的判的性质，掌握切线的性质，直角三角形的边角关系，圆周角定理以及相似三角形的判的性质是正确解答的关键．
（1）根据角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的性质以及切线的判定方法进行解答即可；
（2）设的半径为r，则，，由证出．由得，求出，即，由勾股定理得出的值．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，则，．
由（1）知，
∴．
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
题型三：正切的概念辨析与应用
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·云南·中考真题）在中，，已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了锐角三角形函数的定义，熟练掌握正切等于对边比邻边是解题的关键．
根据锐角三角函数正切的定义求解即可．
【详解】如图：在中，， ，，
，
故选：C．
【典例2】（2024·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 ．

【答案】43/113
【分析】先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据正切数的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，，
∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
∴，，
∴在中，，
∴，
设，则
∵在中， ，
∴，解得，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，正切的定义．
【变式3-1】（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接交于点F，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处，
∴点C与点A关于直线对称，
∴，垂直平分，
∴，，，
∵，
∴
∴，
∴
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
【变式3-2】（2024·四川达州·中考真题）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长交格点于点，连接，分别在格点上，根据菱形的性质，进而得出，解直角三角形求得的长，根据对顶角相等，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交格点于点，连接，分别在格点上，
依题意，，
∴
∴
又，
∴
∴
故选：B．
【变式3-3】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可；
【详解】解：的垂直平分线分别交边于点E、F．
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
令，
，
解得或（舍去），
．
故答案为：．
【变式3-4】（2024·江西·中考真题）将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图，设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长为，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作的延长线于点，则，，
由图（）可得，，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式3-5】（2023·江苏·中考真题）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是 ．

【答案】
【分析】如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，根据正六边形的内角为，设正六边形的边长为1，求得，根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，

∵正六边形对边互相平行，且内角为，
∴

过点作于，
∴
设正六边形的边长为1，则，，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
【变式3-6】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，．
(1)求证：；
(2)点E在边上，满足．若，，求的长及的值．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键．
（1）直接根据矩形的判定证明即可；
（2）先利用勾股定理结合矩形的性质求得，．进而可得，再根据等腰三角形的判定得到，过点O作于点F，根据等腰三角形的性质，结合勾股定理分别求得，，，然后利用正切定义求解即可．
【详解】（1）证明：因为四边形是平行四边形，且，
所以四边形是矩形．
所以；
（2）解：在中，，，
所以，
因为四边形是矩形，
所以，．
因为，所以．
过点O作于点F，则，
所以，
在中，，
所以．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在边长为的正方形网格中，点、、、、都在小正方形格点的位置上，连接，相交于点，根据图中提示所添加的辅助线，可以求得的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是数形结合．由题得：，，，根据勾股定理求出，，进而求出，即可求解．
【详解】解：由题得，，，，
，，
，，
在中，，
则，
故选：C．
2．（2023·四川乐山·模拟预测）在如图所示的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，则的正切值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形，如图，取格点K，连接，．观察图形可知，，，推出，解直角三角形求出即可．
【详解】解：如图，取格点K，连接，，则，
观察图形可知，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
3．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数可求，由勾股定理求得，根据等腰三角形的性质以及外角求得，最后在中，．
【详解】解：在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练利用数形结合的思想是解题的关键．
4．（2024·广东广州·模拟预测）已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，过点作轴，过点作轴，根据值的几何意义，得到，，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值，即可．
【详解】解：过点作轴，过点作轴，则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点与点分别在反比例函数与的图像上，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选C．
5．（2024·陕西渭南·一模）在中，，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；如图，由题意易得，则有，然后根据余弦的定义可进行求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
6．（2025·山东青岛·一模）如图所示，在矩形中，，点分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点分别落在点处．则的值是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查矩形的性质，翻转变化的性质，勾股定理；
连接交于点F，设，则，求出，结合点C与点A关于直线对称，得到，垂直平分，求出，即可求出．
【详解】解：连接交于点F，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵将四边形沿翻折，点分别落在点处，
∴点C与点A关于直线对称，
∴，垂直平分，
∴，，
，
∵，
∴，
，
∴
∴
故答案为：2．
7．（2024·甘肃定西·模拟预测）已知在中，，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角形函数的定义．先可设，利用勾股定理求出，再根据锐角三角函数正切的定义：锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，求解即可．
【详解】解：如图：
在中，，，
∴可设，
∴，
故．
故答案为：．
题型四：特殊角三角函数值的应用
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·山东青岛·中考真题）计算： ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，负整数指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【变式4-1】（2024·西藏·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
【变式4-2】（2024·山东济南·中考真题）计算：．
【答案】6
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键．
根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可
【详解】解：原式．
【中考模拟即学即练】
1．（2025·上海普陀·一模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】解：
．
2．（2025·广东·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，根据特殊角的三角函数值，零指数幂，负整指数幂以及二次根式的化简即可解答本题.
【详解】原式
．
3．（2025·湖南·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】考查了实数的运算，解题关键是先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算按从左到右的顺序进行．
利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，再相加减即可．
【详解】解：．
题型五：解直角三角形的相关运算
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，结合角平分线的条件得到，由得到，，根据平行线的判定得到，根据平行四边形的判定即可得到是平行四边形；
（2）求得是等边三角形，得到，，证明，求得，作于点，在中，求得，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵分别是、的平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
作于点，
在中，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
【变式5-1】（2024·海南·中考真题）如图，在中，，以点D为圆心作弧，交于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，若，则四边形的周长是（ ）

A．22B．21C．20D．18
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，尺规作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．利用勾股定理求得的长，再证明，作于点，求得，利用，求得，再利用勾股定理求得，据此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
由作图知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于点，

则，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形的周长是，
故选：A．
【变式5-2】（2024·江苏南通·中考真题）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是菱形的性质，锐角的正弦的含义，先画图，求解，过作于，结合可得答案．
【详解】解：如图，菱形的周长为，
∴，
过作于，而，
∴，
故答案为：
【变式5-3】（2024·山西·中考真题）如图，在中，为对角线，于点E，点F是延长线上一点，且，线段的延长线交于点G．若，，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质等知识点，正确地添加辅助线构造相似三角形并利用相似三角形的性质进行计算是解题的难点和关键．
如图：过点F作于H，延长与的延长线交于K，由得，进而得，则，再由得，则，由，得，在中由勾股定理得，则，证明得，则，再证明得，由此可得BG的长．
【详解】解：如图：过点F作于H，延长与的延长线交于K，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
又∵，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，即，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得： ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式5-4】（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为0,4，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，求出，的值即可得到答案．
【详解】解：作，交y轴于点F，
由题可得：，
是等边三角形，，
∴是的角平分线，
，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式5-5】（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______．
【变式思考】
（2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？
【答案】（1）见解析； ，（2），证明见解析；（3）是定值
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由可得结论；
（2）如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，证明为等边三角形，，，设，，利用相似三角形的性质求解，再进一步可得；
（3）根据题目要求画图，设，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得，过点作于，于，过点作于，利用，即可求得答案．
【详解】解：（1）∵，是的角平分线，，
∴，
∴；
∴，；
如图，由（1）可得：，
∴，
∴，，
∴；
（2）猜想：，理由如下：
如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，
∵，平分，
∴为等边三角形，，，
设，，
∴，，而，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，即，
解得：，
∴；
，
∴；
（3）补全图形如图所示：
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
如图，过点作于，于，过点作于，
，
，
，，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
由是确定的，由作图可得为定长，而和为定值，
为定值，
即为定值．
【点睛】本题属于实际探究题，考查了类比方法的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·浙江宁波·二模）如图与均为等腰直角三角形，，直线与直线交于点，在与绕点任意旋转的过程中，到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，先证，进而易得出，则点在以为直径的圆上运动，当与以为圆心，为半径的圆相切时，点到的距离最小，再解直角三角形求解即可得到答案．
【详解】解：设与交于点，如图所示：
由题易知，
，
，
，
，
，
点四点共圆，且为直径，设圆心为，
当与以为圆心，为半径的圆相切时，点到的距离最小，
过点作，过点作于点，如图所示：
，
，
，
与切于点，
，
，
，
，
，
，
，
由得，
，
，
，
，
，
，
，
故选： C．
【点睛】本题主要考查动点最值-辅助圆问题，涉及旋转的性质、全等三角形得判定和性质、圆的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识处理辅助圆问题是解题的关键．
2．（2025·湖南·模拟预测）如图，在矩形中，，，为对角线，的平分线交于点E，连接DE交于点F．则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质，解直角三角形，勾股定理和相似三角形的判定和性质，先根据勾股定理求出，然后利用三角函数得到即可判断A选项，然后利用角平分线和30°的直角三角形的性质判断B选项；利用面积求出判断C选项；再根据勾股定理判断D选项即可解题．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，
，

∵
∴， 故A正确，不符合题意；
，
∵是的角平分线，
，
故B正确，不符合题意；
，故C错误，符合题意；
，
，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，故D正确，不符合题意；
故选： C．
3．（2024·四川绵阳·三模）如图中，，，若，，且的面积是面积的10倍，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．作辅助线，构建三角形高线，根据已知的三角函数值设未知数：设，则，，证明，根据相似三角形对应边成比例列式，表示出的长，根据已知的面积关系：的面积是面积的10倍，列方程解出即可．
【详解】解：如图，作于点F，
则，
设，则，，
，，
，
又 ，
，
，
，
，
的面积是面积的10倍，
，
即，
整理得，
解得（舍），，
经检验，是原方程的解，
，，
由勾股定理得，
故选C．
4．（2025·上海普陀·一模）已知中，，是边上的高，．如果，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了余切的定义，根据已知可得，进而根据余切的定义，得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，
中，，是边上的高，
∴
∵．
∴
∵，
∴，
故答案为：．
5．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）正方形中，E，F分别是的中点，则
【答案】/0.6
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，正确构造直角三角形是解题的关键．
连接，过点于点G，设正方形的边长为，由勾股定理得，，设，则，则由勾股定理得，那么，解得：，再由勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：连接，过点于点G，
设正方形的边长为，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（2024·甘肃嘉峪关·二模）如图，已知．
(1)尺规作图：作的边AB的垂直平分线，交AB于点D，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若，求DE的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作已知线段的垂直平分线）是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和解直角三角形、角平分线的性质．
（1）利用基本作图作的垂直平分线即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据角平分线的性质和正切定义即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：连接，
∵是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
又，
，
故的长为．
7．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，为的直径，是的一条弦，D为弧的中点，过点D作，垂足为的延长线上的点E，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)延长交的延长线于F，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角函数解直角三角形、勾股定理等：
（1）连接，根据等边对等角得出，根据D 是弧的中点，可得，等量代换得出，推出，结合得出，即可证明是的切线；
（2）先利用三角函数和勾股定理解求出，再证，求出，再证，根据对应边成比例列式即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵D 是弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：在 中，∵，，
∴，，
如图，连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
，
，
∴的半径为5，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴ ，
∴ ，
解得．
8．（2024·河北邢台·一模）如图1，四边形中，，，，为四边形的对角线，．

(1)求点到的距离；
(2)如图2，点在边上，且．以为圆心，长为半径作，点为上一点，连接交于．．
①当与相切时，求的长；
②当时，直接写出的长．
【答案】(1)4
(2)①；②5或11
【分析】（1）由勾股定理求出的长，然后根据三角函数的定义求出到的距离即可；
（2）①连接，由（1）以及可以求出的长，然后根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理求出的长即可；
②过作与，所以四边形为矩形，在中运用勾股定理即可求出的长，从而可以求出的长．
【详解】（1）解：过作于，如图：
，，，
，
在中，，
，
即点到的距离为4；
（2）解：①连接，如图：
由（1）知，，
，
，
，
，，，
，
是的切线，
，
；
②过作于，如图：
，，
四边形为矩形，
，，
在中，，
；
同理，，
或11．
【点睛】本题主要考查了圆的切线，矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，合理构造直角三角形是本题解题的关键．
题型六：解直角三角形的实际应用
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米；
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，．
【答案】点A到地面的距离的长约为27米
【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
延长交于点，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：延长交于点，
由题意得，四边形为矩形，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
设米．
，
，
，
解得，
（米）；
答：点到地面的距离的长约为27米．
【变式6-1】（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（ ）
（结果精确到．参考数据：）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】如图，延长交于点C．
由题意得．
在中，，
，
．
在中，，
，
．
故选B．
【变式6-2】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到）．（参考数据：，）
【答案】“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是
【分析】本题考查解直角三角形的应用，关键是过作于，构造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法来解决问题．
过作于，设，由含度角的直角三角形的性质得到，由锐角的正切定义得到，判定是等腰直角三角形，因此，得到，求出，即可得到AB的长．
【详解】解：过作于，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是．
【变式6-3】（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．
(1)求点离水平地面的高度．
(2)求电线塔的高度（结果保留根号）．
【答案】(1)；
(2)电线塔的高度．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．
（1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可；
（2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵斜坡的坡度，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：作于点，则四边形是矩形，，，
设，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
答：电线塔的高度．
【变式6-4】（2023·江苏南京·中考真题）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：）
【答案】
【分析】过点C作于点M， 设， 则，根据仰角，解直角三角形计算即可．
本题考查了仰角解直角三角形，分式方程的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
【详解】解：过点C作于点M， 设， 则，
在中， ，
则，
则；
在中， ，
则
解得：，
经检验，是该分式方程的解．
∴．
答：无人机在C处时离地面．
【变式6-5】（2024·山东青岛·中考真题）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
（参考数据：）
【答案】调整后的滑梯会多占的一段地面
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点E作于H，则四边形是矩形，可得，再解直角三角形求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
答：调整后的滑梯会多占的一段地面．
【变式6-6】（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．

请你根据以上信息解决下列问题：
(1)填空：________，________， ________海里；
(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：）
【答案】(1)30；75；5
(2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区
【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理：
（1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度；
（2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，过点P作于D，
由题意得， ，
∴；
∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B，
∴海里．
（2）解：设海里，
在中，海里，
在中，海里，海里，
∵，
∴，
解得，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里；
上午9时时，船距离A的距离为海里，
∵，
∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区．
【变式6-7】（2024·山东济南·中考真题）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
(1)求点到地面的距离；
(2)求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】(1)点到地面的距离为；
(2)顶部线段的长为．
【分析】本题主要考查了平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
（1）过点作，交的延长线于点，由得，在中解直角三角形即可得解；
（2）过点作，垂足为由平行线的性质得，进而得，根据平行线间的距离处处相等得，从而得，最后在中，解直角三角形即可得解．
【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点，
在中
答：点到地面的距离为
（2）解：如图，过点作，垂足为
，
，
平行线间的距离处处相等
，
∵，
在中
答：顶部线段的长为
【中考模拟即学即练】
1．（2025·山东临沂·一模）某中学为新操场采购了一批可调节高度的篮球架，右图是其侧面示意图，底座高度忽略不计．已知其支架，，安装完毕后小明测得， ， 国家规定中学生所用篮球架中篮筐距地面标准高度约为，请你帮小明判断安装后的这批篮球架是否符合国家标准？（参为数据：，结果保留整数）
【答案】符合国家标准
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过 点D作于 点H，过 点E作于点P，过点D作于点P ，过点F作于点G，易得四边形为矩形，四边形为矩形，在中，求出的长，在中，求出，进而求出的长即可．
【详解】解：符合国家标准；
理 由：过 点D作于 点H，过 点E作于点P，过点D作于点Q，过点F作于点G，
∴，
∴四边形为矩形，同理可得，四边形为矩形，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
∴符合国家标准．
2．（2025·山东青岛·一模）阿代的数学研学日记
请你回答阿代的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由．
（参考数据：，，；，，）
【答案】；旗杆高度可求，为米
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，相似三角形的应用，解决本题的关键是要熟练掌握解直角三角形的方法．
（1）首先证明出，得到，然后代入即可求出；
（2）如图所示，过点H，作于N，设米，解直角三角形得到的长，进而求解即可．
【详解】（1）解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以；
（2）如图所示，过点H，作于N，
设米，
米，
在中，，
，
在中，，，
，
，
，
解得：，
答：旗杆高度可求，为米．
3．（2024·浙江·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gā），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，．
(1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）；
(2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，）
【答案】(1)支点O到小竹竿的距离
(2)点A上升的高度为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）作于点G，由题意可知，，在中，应用特殊角三角函数值求即可；
（2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解．
【详解】（1）解：作于点G（图1），
∵O为的中点，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
在中，
∴
∴支点O到小竹竿的距离．
（2）解：记交于点H（图2），
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
在中，
，
在中，
m
∴点A上升的高度为．
4．（2024·浙江绍兴·二模）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，）
(1)如图2，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度；
(2)调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到）
【答案】(1)端点距离地面的高度约为；
(2)的长约为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点作，垂足为，根据已知易得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，根据题意得：，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用平角定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，
，，
，
在中，，
，
，
，
端点距离地面的高度约为；
（2）解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，
由题意得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
答：的长约为．
5．（2024·甘肃定西·模拟预测）甘肃科技馆（如图）是甘肃省有史以来投资和建设规模最大的社会公益性科普项目，是实施科教兴国战略和创新驱动发展战略的重要基础设施建设．甘肃科技馆的建成，标志着甘肃省科普阵地建设迈上了新台阶．
某校学习小组把测量甘肃科技馆的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表
请你根据上表的测量数据，帮助该小组求出甘肃科技馆的高度（结果保留一位小数）．
（参考数据：，，，，，）
【答案】甘肃科技馆的高度约为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．连接，交于点，根据题意可得：，，，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：连接，交于点，
由题意得：，，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
，
甘肃科技馆的高度约为．
6．（2024·上海浦东新·一模）如图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．
(1)__________，__________；
(2)求点到道路的距离；
(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，）
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可；
（2）过点作，垂足为，解，求出，解，求出，即可；
（3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为，解，求出，证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：，
∴，；
（2）解：过点作，垂足为．
∵
∴在中，，，
∴，
．
在中，，
．
答：点到道路的距离为千米．
（3）解：连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为．
正八边形的外角均为，
在中，．
．
又，，
．
∵，
∴，
，即，
，
．
答：小李离点不超过，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响．
【点睛】本题考查正多边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
7．（2024·湖南长沙·模拟预测）为推进《学生出入校门智能管理方案》的实施，图1是某校安装的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．（计算结果精确到）
(1)头部高度为、身高的小帅站在离摄像头水平距离的点处，请问小帅最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
(2)头部高度为，身高的小美踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别，若学校工作人员及时将摄像头的仰角、俯角都调整为，此时小美能被识别吗？请计算说明．（参考数据：，，，，，
【答案】(1)2.9厘米
(2)能；理由见解析
【分析】此题主要考查了解解直角三角形的应用仰角俯角问题，视点、视角和盲区．
（1）过作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，在中，根据三角函数的定义得到，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）如图2，过作的垂线分别交仰角、俯角线于M、N，交水平线于P，根据三角函数的定义得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论．
【详解】（1）解：过C作的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，
在中，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴小帅最少需要下蹲厘米才能被识别；
（2）解：如图3，过B作的垂线分别交仰角、俯角线于M、N，交水平线于P，
在中，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴小美踮起脚尖后头顶的高度为，
∴小美头顶超出点N的高度为：，
∴踮起脚尖小美能被识别．
8．（2024·重庆南岸·模拟预测）春天是踏青的好季节，小明和小华决定去公园出游踏青．如图，已知为公园入口，景点位于点东北方向米处，景点位于点南偏东方向，景点在景点的正北方向，景点既位于景点正东方向310米处，又位于景点的北偏西方向．景点既位于景点的正东方向，又位于景点的正南方向．米．
（参考数据：）
(1)求的长；（精确到个位）
(2)小明选择了游览路线①：，小明行驶的平均速度是72米/分，小明在景点处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：，小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点处．
【答案】(1)长约1092米；
(2)小华先到景点处，理由见解析．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方位角问题，矩形的判定和性质，作辅助线构造直角三角形，灵活运算锐角三角函数是解题关键．
（1）过点作于点，由题意可知，米，，则是等腰直角三角形，求出米，再利用锐角三角函数值，求出米，即可得出BE的长；
（2）过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形和四边形都是矩形，得出米，利用锐角三角函数值，求出米，米，米，再分别求出小明和小华的游览时间，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，
米，
米，
，
米，米，
（米）．
长约1092米．
（2）解：小华先到达景点D处，理由如下：
如图，过点作于点，过点作于点，交于点，

则四边形和四边形都是矩形，
，米，米，，
米，
景点C既位于景点B正东方向310米处，又位于景点D的北偏西方向．
（米），，
在中，，，
（米），（米），
（米），
小明选择了游览路线①：，小明行驶的平均速度是72米/秒．小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟，
小明的游览时间为（分钟），
在中，米，，
（米），
小华选择了游览路线②：，小华行驶的平均速度为96米/秒．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟，
小华的游览时间为（分钟），
小华的游览时间更短，先到达景点D处．
9．（2024·黑龙江绥化·一模）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：米；任务2： 米，任务3：大于米．
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
任务1：过作于， 解三角形即可求出，，进而可得，
任务2：过作于，过作于，得四边形为矩形，再解三角形求出米，米，进而求出米，米，根据13点时，太阳高度角，由即可完成任务2，
任务3：由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，当14时，此时的长度就是龙舌兰摆放位置与墙壁的最大距离，求出此时米，即可完成任务3．
【详解】解：任务1：如图，过作于，
，
∴，
又∵，，
∴（米），
（米），
（米），
∴（米），
任务2：如解图2，过作于，过作于，
，
则，
四边形为矩形，
，，
∵米，，
∴（米），
（米），
（米），
∵由题意可知：米，
∴（米）
∴（米），（米），
∵13点时，太阳高度角，
∴，
∴（米）
∴13点时遮阳篷落在地面上影子的长度（米）
任务3： 由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，
当14时，此时的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离，
如解图3，在中，，
即（米），
（米），
答：龙舌兰能被太阳光照射到，此时摆放点离墙角距离的大于米．
10．（2024·广西贵港·模拟预测）数学兴趣小组对“测量某池塘宽度”进行了热烈讨论，展示方法如下：
小丽的方法：如图（1），在过点且与垂直的直线上确定一点，使点可直接到达点，连接，在的延长线上确定一点，使，测出的长，则．
小丽的理由：，，．（依据是：______）
小强的方法：如图（2），在地面上选取一个可以直接到达点，的点，连接，，在和上分别取点和，使，，连接，测出的长，则．
小强的理由：，，是的中位线，．（依据是：______）
小亮的方法：如图（3），在的延长线上取一点，在过点且与垂直的直线上确定一点，使从点可直接到达点，在过点且与垂直的直线上确定一点，使点，，在同一条直线上，测出，，的长，即可求出的长．
小方的方法：如图（4）在过点且与垂直的直线上确定一点，只需测得的度数和的长度，就可求出池塘的宽度．
请根据以上方法按要求完成以下问题：
(1)填空：小丽的方法依据是 ；小强的方法依据是 ；
(2)若按照小亮的方法，测出m，m，m，请你求出池塘的宽度；
(3)若按照小方的方法，测得，的长度为34米，求池塘的宽度．
【答案】(1)等腰三角形的顶角角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
(2)池塘的宽度为20m
(3)池塘的宽度为米
【分析】（1）由等腰三角形的性质，三角形的中位线定理可求解；
（2）通过证明，可得，即可求解；
（3）由特殊角的三角函数可求解．
【详解】（1）解：小丽的理由：，，
（依据是：等腰三角形的顶角角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合）；
小强的理由：，，
是的中位线，
．（依据是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）；
故答案为：等腰三角形的顶角角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
池塘的宽度为20m；
（3）解：，，的长度为34米，
，
，
池塘的宽度为米．图序
角平分线的长
的度数
腰长
两腰之和
两腰之积
图①
1
2
4
4
图②
1
2
2
图③
1
______
______
______
图序
角平分线的长
的度数
腰长
两腰之和
两腰之积
图①
1
2
4
4
图②
1
2
2
图③
1
方案名称
滑梯安全改造
测量工具
测角仪、皮尺等
方案设计
如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上）
测量数据
【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度；
【步骤二】在点处用测角仪测得；
【步骤三】在点处用测角仪测得．
解决问题
调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长）
航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处．
记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处．
记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向．
综合实践活动记录表
活动内容
测量轻轨高架站的相关距离
测量工具
测倾器，红外测距仪等
过程资料
相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，．
成果梳理
……
课题：测量旗杆的高度
地点：青岛市山海二十六中学操场
时间：2025月3月2日
昨天上午代兴国老师要带我们去操场测量旗杆的高度，昨天我们小组设计了一个方案，方案如下：小亮拿着标杆垂直于地面放置，我和小聪用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗杆的影长，如图1所示，标杆，影长，旗杆的影长，则可求得旗杆的高度为_______．
今天测量时阴天就不能用昨天的方案了，如图2所示，张世昌老师将升旗用绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地面，用仪器测得绳子与地面的夹角为，然后又将绳子拉到一个0.5米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平台，剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为，利用这些数据能求出旗杆的高度吗？
课题
测量甘肃科技馆的高度
测量示意图
说明
甘肃科技馆楼顶一角的D处到地面的高度为，在A点用仪器测得点D的仰角为，在E点用该仪器测得点D的仰角为，且点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内
测量数据
，，，测角仪的高度为
素材1
图①是宁宁家安装的户外遮阳篷．图②是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面BC的墙面上，篷面安装点A离地面4米，篷面与墙面的夹角，篷面宽米．除此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架MN稳定篷面．支架MN的安装方式如下：点M固定在墙面上，位于点A的正下方，即点A，M，B共线；点N固定在篷面上离A点1米处（点A，N，D共线），即米，支架MN与墙面的夹角．
素材2
宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表：
时刻
12点
13点
14点
15点
角的正切值
4
3
2.5
2
素材3
宁宁养了一株龙舌兰（图③），该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图②，这株龙舌兰摆放的位置记为点E．
任务1
确定安装点
请求出支架的固定点M与A点的距离的长．
任务2
确定影子长
请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度．
任务3
判断能否照射到
这天14点，宁宁将龙舌兰摆放到点E处，为了保证龙舌兰能被太阳光照射到，请求出此时摆放点离墙角距离的取值范围．