坐标系与函数中的规律、图象、动点、面积问题（4大热考题型）原卷版-中考数学二轮专题练习

这是一份坐标系与函数中的规律、图象、动点、面积问题（4大热考题型）原卷版-中考数学二轮专题练习，共26页。试卷主要包含了2）．等内容，欢迎下载使用。
题型一：坐标系中点的坐标规律问题
1. 解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法：
1)若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标；
2)点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存在的规律．
2. 解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项：
1）求什么找什么的规律；2）变化规律最好用算式而不是得数表示；
3）找算式中数字与序号间的变化规律；
4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）.
【中考母题学方法】
【典例1】（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是( )

A．B．C．D．
【变式1-1】（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧，是以点C为圆心，为半径的圆弧，是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 ．

【变式1-2】难点同时分析周期变化和递增变化的规律
（2023·湖南怀化·中考真题）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为，边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则的边长为 ，点的坐标为 ．

【变式1-3】难点结合函数,利用函数解析式求点坐标
1.（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，，，，是分别以，，，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，，均在反比例函数的图象上，则点的横坐标为 ，点的横坐标为 ．
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为 ．

【变式1-4】难点结合三角形，利用相似三角形求面积
（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，，…都是平行四边形，顶点，，，，，…都在轴上，顶点，，，，…都在正比例函数（）的图象上，且，，，…，连接，，，，…，分别交射线于点，，，，…，连接，，，…，得到，，，…．若，，，则的面积为 ．

【中考模拟即学即练】
1．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有一系列格点，其中，且，是整数．记，如，即，，即，，即，，以此类推．则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点1,0作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·河南新乡·模拟预测）直角坐标系中，的三个顶点都在边长为的小正方形的格点上，关于轴的对称图形为，与组成一个基本图形，不断复制与平移这个基本图形，得到如图所示的图形．若是这组图形中的一个三角形，当时，点的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角的斜边，且在x轴的正半轴上，点落在第一象限内．将绕原点O逆时针旋转，得到，再将绕原点O逆时针旋转，又得到；依此规律继续旋转，得到，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2023秒蚂蚁所在点的坐标为 ．
7．（2024·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有一边长为的正方形，点在轴的正半轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，，照此规律作下去，则的坐标是 ；的坐标是 ．
8．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第1次相遇地点的坐标为 ，则第2024次相遇地点的坐标为 ．

9.（2024·浙江·模拟预测）生活中很多图案都与斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…相关，如图，在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧，得到一组螺旋线，若各点的坐标分别为，，，则点的坐标为 ．
10．（2024·山东聊城·三模）如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图，，反比例函数与该回形图的交点依次记为、、、……，则的坐标为 ．
11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是 ．
题型二：实际生活中函数图象问题
读取图象中的关键信息,包含坐标轴、起点、最高点、拐点、水平线等,并作出正确的结论判断.具体分析如下:
关键信息
函数意义
坐标轴
弄清楚横轴与纵轴所表示的函数变量
拐点
图象上的拐点既是前一段函数的终点,又是后一段函数的起点,反映函数图象在这一时刻开始发生变化
水平线
函数值随自变量的变化而保持不变
【中考母题学方法】
【典例2】（2024·江苏常州·中考真题）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．第所用的时间最长
B．第的平均速度最大
C．第和第的平均速度相同
D．前的平均速度大于最后的平均速度
【变式2-1】难点分析两个函数图象
1.（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程s（单位：）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）

A．甲比乙晚出发1hB．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3hD．甲的速度是
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：

（1）体育场离该同学家2.5千米；
（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；
（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75；
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：
由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（ ）
A．B．C．D．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·贵州·模拟预测）2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词“人工智能”引发热议，随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为、，，与的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．客人距离厨房门口；B．慧慧比聪聪晚出发；
C．聪聪的速度为；D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为；
2．（2024·湖北黄冈·模拟预测）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同，若设每月的销售量为y件，售价为x元/件.
(1)当售价在40—50 元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元?
(2)当售价在50—70 元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示，求y 与x的关系式；
(3)小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m(m为整数)元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，请你帮她计算m的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大.
题型三：动点的函数图象问题
类型一 动点与函数图象判断的解题策略
方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势；
方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断；
方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除；
方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除．
类型二 动点与函数图象计算的解题策略
一看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等；
二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况；
三结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值；
四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解．
【中考母题学方法】
【典例3】（2023·四川资阳·中考真题）如图，在平行四边形中，，厘米，厘米，点从点出发以每秒厘米的速度，沿在平行四边形的边上匀速运动至点．设点的运动时间为秒，的面积为平方厘米，下列图中表示与之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】根据函数图象判断点的运动轨迹
1．（2024·甘肃·中考真题）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（ ）
A．2B．3C．D．
2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】根据点的运动轨迹画出函数图象
（2023·重庆·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．

(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·湖南长沙·模拟预测）RbtMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队竞技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中和均为半圆，点，，，依次在同一直线上，且．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·湖北·模拟预测）如图，等边的边长为，动点从点出发，以每秒的速度，沿的方向运动，当点回到点时运动停止．设运动时间为（秒），，则关于的函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，点，分别从正方形的顶点，同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点的速度是点速度的倍，当点运动到点时，点，同时停止运动．图是点，运动时，的面积随时间变化的图象，则正方形的边长为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中，的面积y随着运动时间x的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A．2B．C．4D．
5．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图矩形中，，点为边上的三等分点，动点从点出发，沿折线方向运动，到点停止运动．点的运动速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出时的取值范围．
6．（2024·北京延庆·模拟预测）如图，已知，点D是边上一点，且，点P是线段上的动点，过点P作的垂线，垂足为E，连接，设．
通过分析发现可以用函数来刻画y与x之向的关系，请将以下过程补充完整：
(1)选点、画图、测量，得到x与y的几组数值，数据如下：
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）；
(2)自变量x的取值范围是_______；
(3)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象：
(4)结合函数图象解决问题：当时，的长约为________（结果精确到）．
7．（2024·重庆开州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E，F分别为与边的中点，动点P从点B出发，沿折线运动，到达点D后停止运动．连接，设点P的运动路程为x，的面积为y．
(1)直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，当函数y满足时，写出x的取值范围（误差不超过0.2）．
题型四：平面直角坐标系中的面积问题
【中考母题学方法】
【典例4】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是O0,0，，，，则四边形的面积为（ ）
A．14B．11C．10D．9
【变式4-1】（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为 ．

【变式4-2】（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．

(1)以点D为旋转中心，将旋转得到，画出；
(2)直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积；
(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标．
【变式4-3】（2024·四川眉山·二模）阅读材料，完成下列问题：
因为，所以……①，当且仅当时取等号．若、均为正数，根据①式：，得：……② 即……③（②式、③式中、均为正数，当且仅当时等号成立．）我们常常用这两个不等式来解决一些最大（小）值问题．其中我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数．
(1)若，，求、的算术平均数和几何平均数；
(2)若，当为何值时代数式有最小值，并求出此时的最小值；
(3)已知，，点为双曲线（）上的任意一点，过 作轴于点，轴于点，求四边形面积的最小值和此时点的坐标．
【变式4-4】列方程解决面积的存在性问题
（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)是二次函数的图象位于轴上方的两动点，且两点关于对称轴对称，点在点的左侧．过点作轴的垂线，分别交轴于点，当的值最大时，求点的坐标．
(3)在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在点，使的面积等于矩形的面积的？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-5】难点动点问题（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在x轴上，点A在第一象限，的长度是一元二次方程的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（），的面积为S．
(1)求点A的坐标；
(2)求S与t的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，当时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
【中考模拟即学即练】
1.（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上．
(1)作出关于y轴对称的，并直接写出点的坐标；
(2)连接，，求四边形的面积．
2．（2024·山西运城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过的中点C，交于点D，且．若点D的坐标为．
(1)设点A的坐标为则点的坐标为 ；
(2)①求反比例函数的表达式；
②求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，设点E是线段上的动点（不与点C，D重合），过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求面积的最大值．
3．（2024·广东广州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C．
(1)求点B、点C的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)点M在射线上，是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出点M的坐标．
4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点．
(1)求抛物线表示的函数解析式；
(2)若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积．
5．（2024·广东·模拟预测）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，点为0,4，点为，连接．
提出问题：
（1）如图2，以为边在右侧构成正方形，且正方形的边与轴相交于点，用含的代数式表示此时点的坐标；
问题探究：
（2）如图3，以为对角线构成正方形，且正方形的边与轴相交于点，当时，求线段的值；
问题深化：
（3）若以为边在右侧构成正方形，过点作轴于点，连接，令的面积为，求关于的函数关系式．
6．（2024·山西朔州·一模）综合与探究
如图1，二次函数的图象与x轴交于A，B(点A在点B的左侧)两点，与y轴交于点C．直线经过A，C两点，连接．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)在抛物线上是否存在除点C外的点D，使得?若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将沿x轴正方向平移得到 (点A，O，C的对应点分别为)，，分别交线段于点E，F，当与的面积相等时，请直接写出与重叠部分的面积．
7．（2024·广东·模拟预测）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点C在原点O处，已知点，，连接 ，E是上一动点(不与点C，D 重合)，过点E作交于点 F，过点 E作交于G，连接．
(1)若，求证：；
(2)设，用含a的式子表示的面积，并求出面积的最大值；
(3)如图2，设与交于点 M，连接，求线段的取值范围．0
1
2
3
4
5
6






类型1 一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算
当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴时，可直接使用三角形的面积公式S=12AB⋅ℎ,其中AB是△ABC在坐标轴上或平行于坐标轴的边,ℎ为AB边上的高
S△ABC=12(xB−xA)⋅|yC|
S△ABC=12(yA−yB)⋅|xC|
S△ABC=12(xB−xA)⋅(yC−yA)
S△ABC=12(yA−yB)⋅(xC−xA)
类型2 三边都不在坐标轴上或不平行于坐标轴的三角形面积的计算
分割法
S△ABC=S△ABD+S△BCD=12BD⋅(AE+CF)=12BD⋅(yC−yA)
S△ABC=12CD⋅(xA−xB)=12(yC−yD)⋅(xA−xB)
补形法
S△ABC=S△AEC−S△BEC=12CE⋅(yC−yA)−12CE⋅(yC−yB)=12CE⋅(yB−yA)=12(xC−xE)⋅(yB−yA)
S△ABC=S△ADC−S△ABD−S△BCD
S△ABC=S矩形BDEF−S△ACE−S△BCD−S△ABF
S四边形ABCD=S矩形EFGH−S△AEB−S△AHD−S△BFC−S△CDG