安徽省六安市独山中学2024-2025学年高二下学期B班3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份安徽省六安市独山中学2024-2025学年高二下学期B班3月月考数学试题（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题5分共40分）
1. 过点且与直线垂直的直线l的方程是
A. B. C. D.
2. 若向量，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ）
①； ② ③； ④．
A 1B. 2C. 3D. 4
4. 已知空间中三点，则（ ）
A. 与是共线向量B. 与同向的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是D. 与夹角的正弦值是
5. 点为圆的弦的中点，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知点，，线段的垂直平分线与x轴相交于点P，则的值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
7. 已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（ ）
A. B. 6C. D.
8. 在平面直角坐标系中，点，直线．设圆半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围为（ ）
A B. C. D.
二、多选题（每题6分，错选或多选不得分，部分对答部分分共18分）
9. 已知直线和直线，则（ ）
A. 始终过定点B. 若在x轴和y轴上的截距相等，则
C 若，则或2D. 若，则或
10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B.
C. 是平面的一个法向量
D. 点到平面的距离为
11. 点在圆：上，点在圆：上，则（ ）
A. 的最小值为2B. 的最大值为7
C. 两个圆心所在的直线斜率为D. 两个圆相交弦所在直线的方程为
三、填空题（每题5分共15分）
12. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为______.
13. 如图，在正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为______.

14. 函数的最小值为________．
四、解答题
15. 已知向量，．
（1）若，试求实数x，y的值；
（2）若，且x，y均为正数，试求xy的最大值．
16. 分别求满足下列条件的直线的方程：
（1）直线过点，且与轴和直线围成的三角形的面积为2，求直线的方程．
（2）直线的倾斜角为，另一直线的倾斜角，且过点，求的点斜式方程；
（3）直线过点，当原点到直线距离最大时，求直线的方程．
17. 已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程．
18. 如图所示，在正四棱柱中，侧棱，底面边长，E，F分别为棱，的中点．

（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面间的距离．
19. 已知，为上三点.
（1）求的值；
（2）若直线过点(0，2)，求面积的最大值；
（3）若为曲线上的动点，且，试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
六安市新世纪中学2024-2025学年度第二学期
高二年级B班三月份月考数学试卷
一、单选题（每题5分共40分）
1. 过点且与直线垂直的直线l的方程是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线垂直，得到所求直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可求出结果.
【详解】因为所求直线与直线垂直，
所以其斜率为，
又所求直线过点，
因此，所求直线方程为：，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查求与已知直线垂直的直线方程，熟记直线的点斜式方程即可，属于基础题型.
2. 若向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由空间中向量的运算求解即可.
【详解】因为，所以.
故选：C
【点睛】本题主要考查了空间中向量的运算，属于基础题.
3. 如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ）
①； ② ③； ④．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量的加法法则判断．
【详解】由正方体，空间向量的加法法则可得．
；；
；．
故选：D．
4. 已知空间中三点，则（ ）
A. 与是共线向量B. 与同向的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是D. 与夹角的正弦值是
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，由题可得，
所以不存在实数，使得，A错误；
对于B，因为，故与同向的单位向量为，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，
则，D错误.
故选：C.
5. 点为圆的弦的中点，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由圆（x﹣1）2+y2=25，得到圆心C坐标为（1，0），
又P（-1，1），∴kPC=
∴弦AB所在的直线方程斜率为2，又P为AB的中点，
则直线AB的方程为 .
故选C．
6. 已知点，，线段的垂直平分线与x轴相交于点P，则的值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出的垂直平分线方程，从而得到，再用两点之间距离公式计算即可.
【详解】线段AB的中点坐标为，
线段AB所在直线的斜率．
线段AB的垂直平分线方程为．
令，得．
解得，因此，．
.
故选：D
【点睛】本题主要考查直线方程，同时考查两点之间距离公式，属于简单题.
7. 已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（ ）
A B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直线AB的方程为：，点关于x轴的对称点，根据对称性特征求得点关于直线AB的对称点， 再根据反射对称性可得光线所经过的路程为，即得结果.
【详解】直线AB的方程为：，如图所示，
点关于x轴的对称点，
设点关于直线AB的对称点，如图，

则，且中点在直线上，
即联立解得，即，
所以根据反射原理的对称性，光线所经过的路程为：
．
故选：C.
【点睛】本题考查了直线的方程、点关于直线的对称点的求法、两点之间的距离公式和光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题．
8. 在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得圆的方程，再利用求得点M满足的圆的方程，进而利用两圆有公共点列出关于a的不等式，解之即可求得a的取值范围.
【详解】圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为，
则圆的方程，
设，由，
可得，整理得，
则圆与圆有公共点，
则，
即，解之得.
故选：D
二、多选题（每题6分，错选或多选不得分，部分对答部分分共18分）
9. 已知直线和直线，则（ ）
A. 始终过定点B. 若在x轴和y轴上的截距相等，则
C. 若，则或2D. 若，则或
【答案】AC
【解析】
【分析】结合直线所过定点的求法、直线的截距、直线平行和垂直等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】化为，
由且解得，
即直线恒过定点，故A正确；
若在x轴和y轴上截距相等，则过原点或其斜率为，则或，故B错误；
若，则解得或2，故C正确；
若，则先由解得或，
再检验当时重合，故D错误.
故选：AC
10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B.
C. 是平面的一个法向量
D. 点到平面的距离为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，由线面平行的判定定理证明即可；对于B，由空间向量判断异面直线垂直即可；对于C，由平面法向量求解即可；对于D，由点到平面的距离公式计算即可.
【详解】对于A，由于，分别是的中点，
所以平面平面，
所以平面，故A正确；
对于B，，
故，，
故与不垂直，进而可得与不垂直，故B错误；
对于C，由，所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的一个法向量，故C正确；
对于D，，点到平面的距离为，故D正确.
故选：ACD．
11. 点在圆：上，点在圆：上，则（ ）
A. 的最小值为2B. 的最大值为7
C. 两个圆心所在的直线斜率为D. 两个圆相交弦所在直线的方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】先求出两个圆的圆心坐标和半径，根据圆心距可得两圆相离，从而求得两圆上动点的距离最值，计算直线斜率公式判断各个选项；
【详解】对于A、B选项：由题意得：，半径为1，
：，，半径为1，
圆心距为，又点在圆上，点在圆上，
，，故A错误，B正确；
对于C选项：两个圆心所在直线斜率为，C正确；
对于D选项：圆心距，所以无公共弦，D错误；
故选：BC．
三、填空题（每题5分共15分）
12. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，直接求出关于坐标面对称点的坐标作答.
【详解】点关于平面的对称点的坐标为.
故答案为：
13. 如图，在正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为______.

【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出向量,的坐标，利用向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】以A为原点，在平面内过点作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

在正三棱柱中，设，则，
则，
故，，
设异面直线与所成角为，则，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
14. 函数的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】将函数式变形为．问题转化为在x轴上求一点到和两点的距离之和的最小值．
【详解】解：由已知
表示与点两点间的距离，
求函数的最小值，只需求取关于x轴的对称点，则此时的值即为函数的最小值，
．
故答案为
【点睛】本题重点考查函数最值，解题的关键是转化为其几何意义表示到和两点间的距离的和，属于中档题．
四、解答题
15. 已知向量，．
（1）若，试求实数x，y的值；
（2）若，且x，y均为正数，试求xy的最大值．
【答案】（1）x=-4，y=-1；
（2）1
【解析】
【分析】（1）利用向量平行的条件列方程即可解得；
（2）利用向量垂直可得，利用基本不等式求最值.
【小问1详解】
因为向量，所以.
又向量，，所以，解得：.
因此x=-4，y=-1；
【小问2详解】
因为向量，所以.
又向量，，所以，.
因为x，y均为正数，所以当且仅当，即时取等号.所以所以，即xy的最大值为1.
16. 分别求满足下列条件的直线的方程：
（1）直线过点，且与轴和直线围成的三角形的面积为2，求直线的方程．
（2）直线的倾斜角为，另一直线的倾斜角，且过点，求的点斜式方程；
（3）直线过点，当原点到直线的距离最大时，求直线的方程．
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分直线斜率存在与不存在两种情况，根据直线与坐标轴围成三角形面积来确定直线方程；
（2）根据直线倾斜角与斜率的关系求出直线斜率，进而得到直线方程；
（3）依据两直线垂直斜率之积为 -1求出直线斜率，从而得出直线方程.
【小问1详解】
当直线的斜率不存在时，的方程为，经检验符合题目的要求．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即．
令得，，由三角形的面积为2，得．解得．
可得直线的方程为，
综上可知，直线的方程为或．即或．
【小问2详解】
由题意得：，又由，所以，故，
所以的斜率为，的点斜式方程为；即．
【小问3详解】
由题意知，，，所以直线的斜率，
所以直线的方程为：，即．
17. 已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】根据圆心在弦的中垂线上，也在直线上求解可得圆心，进而求得半径即可得圆的方程；
先讨论直线l斜率不存在时，再设直线l的点斜式，根据垂径定理求解即可.
【小问1详解】
由题意圆心在弦的中垂线上，
又中点，，
则弦的中垂线斜率，故中垂线方程：，即，
联立可得，，即，
故圆的半径.
故圆的方程：
【小问2详解】
当直线斜率不存在时，直线l与圆不相交；
当直线斜率存在时，设方程，
因为直线l截圆C所得的弦长为2，故圆心到的距离.
则到的距离，
则，即，解得或.
故方程，即或.
18. 如图所示，在正四棱柱中，侧棱，底面边长，E，F分别为棱，的中点．

（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面间的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法可得，，从而可得线面平行，进而可得面面平行；
（2）求得平面的一个法向量，利用向量法可求得到平面的距离，即为两平面间的距离.
小问1详解】
如图，以D为原点，分别以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
，，，，
所以，，
所以，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
又因为，，
所以，所以．
又因为平面，平面，所以平面．
因为， 平面，所以平面平面．
【小问2详解】
由（1）可知平面与平面间的距离等于到平面的距离，
设平面的法向量为，
由，得，得，
令，得．
又，所以到平面的距离，
所以平面与平面间的距离为．
19. 已知，为上三点.
（1）求的值；
（2）若直线过点(0，2)，求面积的最大值；
（3）若为曲线上的动点，且，试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）定值为：.
【解析】
【分析】（1）由为圆上点即可得；
（2）设，，，，根据利用韦达定理即可求解；
（3）直线和直线的斜率之积为，设，，，，，，即可得，，由可得，代入，求得即可．
【详解】解：（1）∵为圆上，
所以
∴
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，，将代入得，
所以
令，则，
当，即时面积取得最大值
（3）设直线和直线的斜率之积为
设，，则
①，
因为，为圆上，所以，
化简得
整理得②
因为，所以
从而，又因为为曲线的动点
所以展开得
将①代入得
化简得
将②代入得
，整理得
，
因为所以从而
又所以
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查两直线的斜率之积是否为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用，属于中档题．