湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三下学期月考卷（七）数学试题（原卷版）

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这是一份湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三下学期月考卷（七）数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了已知，则，定义在的增函数满足等内容，欢迎下载使用。
命题：雅礼中学高三数学备课组
审题：雅礼中学高三数学备课组
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1 设集合，则（）
A. B. C. D.
2. “ ”是“复数为纯虚数”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知平面向量满足，且，则（）
A. B. C. D.
4. 已知随机变量，且，则的最小值为（）
A. 5 B. C. D.
5. 已知，则（）
A. B. C. D.
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6. 已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线交双曲线的两条渐近线于
两点，则（）
A. B. C. D.
7. 从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”．下列几何体可以“一
笔画”的是（）
A B.
C. D.
8. 定义在的增函数满足：，且 .已知数列
的前项和为，则使得成立的的最大值是（）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（）
A. 若，则平行或相交
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则平行或相交
10. 已知的内角的对边分别为，且，下列结论正确的是
（）
A.
B. 若，则有两解
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C. 当时，为直角三角形
D. 若为锐角三角形，则的取值范围是
11. 数学中有许多美丽曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，
右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值 4，已知两条曲线具有公共的
上下顶点，过作斜率小于 0 的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（）
A. 曲线由两条抛物线的一部分组成
B. 线段的长度与点到直线的距离相等
C. 若线段的长度为，则直线的斜率为
D. 若，则直线的斜率为
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知二项式展开式中含有常数项，则 n 的最小值为____________．
13. 小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次
投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中概率均为，则小明通过测试的概率为__________.
14. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取
值范围是__________.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明
过程或演算步骤.
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15. 如图，三棱柱中，侧面底面 ABC，且，．
（1）证明：平面 ABC；
（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值．
16. 已知函数，其中
（1）当时，求曲线的对称中心；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数 a 的取值范围．
17. “石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下：
①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；
②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局.
现有人玩游戏.
（1）分别求 3 人，4 人玩一轮游戏，平局的概率、；
（2）求人玩一轮游戏，平局的概率（结果用 n 表示）；
（3）设当时，玩 2 轮游戏，最终决出唯一获胜者的概率 .
18. 已知点，平面内过一动点（异于）直线分别与直线 4 相交于
两点，且，记动点的轨迹为曲线 .
（1）求的方程；
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（2）若斜率为 1 的直线与相交于两点，且，求的方程；
（3）记与外接圆的半径分别为，求的最小值.
19. 记集合，，，对于，
，，定义 .
（1），且，记随机变量，求
（2）若集合，对于，且，都有，请写出一个集合，使得集合中的
元素个数最多，并说明理由；
（3）若集合，对于，且，都有，求证：集合中至多有个元素．
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