2025年高考数学高考数学二轮热点题型选填题(新高考通用)专题06导数与函数的极值、最值(6大题型)练习(学生版+解析）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc26152" 题型01 函数的单调性（含参） PAGEREF _Tc26152 \h 1
\l "_Tc12500" 题型02 求函数的极值（点） PAGEREF _Tc12500 \h 2
\l "_Tc2693" 题型03 极值（点）中的参数问题 PAGEREF _Tc2693 \h 4
\l "_Tc6920" 题型04 求函数的最值 PAGEREF _Tc6920 \h 6
\l "_Tc28843" 题型05 最值中的参数问题 PAGEREF _Tc28843 \h 7
\l "_Tc31346" 题型06 恒成立和有解问题 PAGEREF _Tc31346 \h 8
题型01 函数的单调性（含参）
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·北京朝阳·模拟预测）已知函数在上是增函数，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）已知0为函数的极小值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其导函数为，下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．当时，有两个零点
C．一定存在零点
D．若存在，有，则
5．（23-24高三下·河南·阶段练习）若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值B．有最小值
C．为增函数D．，在上，恒有
三、填空题
6．（2024·河南·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为 .
7．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是 .
8．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知函数有两个零点，求的取值范围 .
题型02 求函数的极值（点）
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·全国·课后作业）函数的极值点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（24-25高三上·全国·课后作业）函数，则（ ）
A．的极小值点为B．的极大值点为0
C．的极小值点为0D．的极大值点为
3．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）函数的极大值点是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·全国·课后作业）已知函数，则（ ）
A．有极大值，无极小值B．无极大值，有极小值
C．既有极大值，也有极小值D．既无极大值，也无极小值
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ）
A．的单调递减区间为B．的极小值点为1
C．的极大值为D．的最小值为
6．（2024·江西新余·模拟预测）函数在其定义域内的极小值点为（ ）.
A．B．C．D．
7．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数，，则函数的极大值之和为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ）
A．对任意，不等式恒成立
B．函数在区间上单调递增
C．函数的极大值为1
D．当函数取得极小值时，自变量
9．（24-25高三上·江西·期中）关于函数，则下列命题正确的有（ ）
A．是偶函数B．的值域是
C．在上单调递增D．都是的极值点
10．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．有两个极值点B．有两个零点
C．若，则D．若方程有两个根，则
题型03 极值（点）中的参数问题
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）当时，函数取得极大值，则（ ）
A．B．C．D．1
2．（24-25高三上·北京·开学考试）已知是函数的极小值点，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知函数有两个极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知，若函数在上有且只有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（24-25高三上·青海·期中）已知函数的极小值点为1，极小值为.则（ ）
A．
B．
C．有3个零点
D．直线与的图像仅有1个公共点
6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．存在实数使得恰有两个极值点
B．若恰有三个极值点，则
C．对任意的且，总存在实数使得
D．存在实数，使得的图象没有对称轴
7．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）已知有两个不同的极值点，且，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．为函数的极大值点D．
三、填空题
8．（2024高三·全国·专题练习）函数在上无极值，则 ．
9．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数的两个极值点为、，且，则实数的最小值是 .
10．（2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个极值点，且，则的取值范围是
题型04 求函数的最值
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）若 为上的减函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数的最小值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．0D．1
3．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知，对任意的，当时，恒有，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知一个母线长为2，底面半径为r的圆锥形密闭容器（容器壁厚度忽略不计），当能够被整体放入该容器的球的体积最大时，r的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．有两个极值点
C．的最大值为D．在上有且仅有一个零点
6．（2024·福建宁德·二模）已知函数，则下面说法正确的是（ ）
A．是的一个周期B．的最大值为
C．是的对称轴D．是的对称中心
三、填空题
7．（24-25高三上·甘肃·期末）已知函数，则函数的最小值为 ；若过原点可向曲线作两条切线，则a的取值范围是 .（注：当时，）
8．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）设、、是一个三角形的三个内角，则当取得最大值时， .
题型05 最值中的参数问题
【解题规律·提分快招】
1、若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．
2、已知函数最值，求参数的范围，列出有关参数的方程或不等式，然后求其参数值或范围．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．或
C．D．
2．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．若在上有解，则当实数取最小值时，的最大值为（ ）
A．B．C．0D．
4．（23-24高三下·重庆·阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024高三·全国·专题练习）函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（24-25高三上·河南·开学考试）已知函数的最大值为1，则（ ）
A．
B．当时，
C．
D．当时，
7．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知三次函数，则（ ）
A．函数一定有两个极值点B．当时，
C．当时，的极小值为0D．在区间上的值域为
三、填空题
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的最小值是4，则 .
9．（24-25高三上·吉林·期末）函数是定义域上的增函数，则实数的取值范围为 .
10．（24-25高三上·山东·阶段练习）设函数，．若函数有两个零点，，则满足条件的最小正整数的值为 ．
题型06 恒成立和有解问题
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·全国·课后作业）已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若存在，使得成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
5．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足，（为的导函数），若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若不等式对x∈0,+∞恒成立，则实数的取值不可能是（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知函数．若有两个极值点，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高三上·海南·阶段练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．12,1C．0,1D．
9．（24-25高三上·四川成都·期中）函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
10．（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）不等式解集中有且仅含有两个整数，则实数a的取值范围是 ．
11．（2024高三·全国·专题练习）若不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
12．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知函数，若，则最大值为
13．（24-25高三上·山东泰安·期中）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是 .
一、单选题
1．（23-24高三下·河南商丘·期末）已知函数在x=1处取得极小值1，则在区间上的最大值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．（2024·四川眉山·一模）若函数在时取得极小值，则的极大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知某圆锥的外接球的表面积为，则该圆锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）若函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高三下·天津滨海新·阶段练习）已知，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）若函数有两个极值点，，且，实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024高三·全国·专题练习）若是函数的极值点，在区间上单调递增，则（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高三下·广东韶关·期末）已知函数，若有两个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·福建泉州·模拟预测）若函数，，则（ ）
A．函数，的图象关于直线对称
B．，使得
C．若，则
D．若，则
10．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，有如下3个结论：
①当时，在区间上单调递减；
②当时，有两个极值点；
③当时，有最大值.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
11．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
12．（23-24高三下·陕西安康·期末）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值但没有最大值
B．对于任意的，恒有
C．仅有一个零点
D．有两个极值点
13．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ）
A．点是图象的对称中心
B．是的极小值点
C．当时，
D．当时，
14．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）若函数，则（ ）
A．函数在区间上单调递增B．函数的图象关于点对称
C．函数的极大值为D．函数有且仅有两个零点
15．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．在上单调递增
C．在内共有3个极值点
D．设，则在上共有12个零点
16．（24-25高三上·河南·期中）已知函数，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．为奇函数
C．是的极小值点
D．在上有极值
17．（23-24高三下·广东茂名·期末）已知函数，其中实数，，且，则（ ）
A．当时，没有极值点
B．当有且仅有3个零点时，
C．当时，为奇函数
D．当时，过点作曲线的切线有且只有1条
三、填空题
18．（24-25高三上·河北承德·开学考试）写出函数的一个极值点 .
19．（23-24高三上·河北·期末）已知函数的最小值为0，则 .
20．（2024高三·全国·专题练习）设函数，若恒成立，求a的取值范围 .
21．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知函数，若恒成立，则 .
22．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数在区间上恰有两个极大值点和一个极小值点，则正实数的取值范围是 ．
23．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数在处取到极大值，则实数的取值范围是 .
24．（23-24高三上·河南·阶段练习）若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为 ．
25．（23-24高三上·安徽·开学考试）已知函数既有极小值又有极大值，则实数a的取值范围是 .
26．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）设函数，其中.若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为 .
27．（23-24高三下·四川遂宁·阶段练习）已知是函数的极大值点，则的取值范围是 .
28．（2024高三上·江苏·专题练习）设函数，其中，若存在唯一负整数，使得，则实数的取值范围是
29．（23-24高三下·甘肃临夏·期末）函数存在唯一的极值点，则实数t的最大值为 ．
30．（23-24高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数的最小值为1，则的取值范围为 .
31．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为 .
32．（23-24高三上·湖南邵阳·阶段练习）设函数在区间上有极大值点，则的取值范围是 ．
1、导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．
2、导函数的形式为含参准一次函数，首先对定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．
3、若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.
4、若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论.
5、若导函数为含参准二次函数型，首先对导函数进行因式分解，求导函数的零点并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.
1、函数的极小值
如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作．
2、函数的极大值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作．
3、极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
4、求极值的步骤
①先确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的解；
④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．
根据函数的极值（点）求参数的两个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）验证：求解后验证根的合理性．
求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值．
1、若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
2、若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
3、若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
4、若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
5、对于任意的，总存在，使得；
6、对于任意的，总存在，使得；
7、若存在，对于任意的，使得；
8、若存在，对于任意的，使得；
9、对于任意的，使得；
10、对于任意的，使得；
11、若存在，总存在，使得
12、若存在，总存在，使得．