（模块化思维提升）专题4-因数与倍数-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版）

这是一份（模块化思维提升）专题4-因数与倍数-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版），共13页。试卷主要包含了公约数与公倍数题型简介，解题方法等内容，欢迎下载使用。
（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、公约数与公倍数题型简介。
（1）公约数与公倍数。
若数a能被b整除，则称数a为数b的公倍数，数b为数a的公约数。其中，一个数的最小公约数是1，最大公约数是它本身。
（2）公约数与最大公约数。
几个自然数有的公约数，叫做这几个自然数的公约数。
公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数。
（3）公倍数与最大公倍数。
几个自然数公有的公倍数，叫做这几个自然数的公倍数。
公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公倍数。
考试题型一般是已知两个数，求它们的最大公约数或最小公倍数。
2、解题方法。
（1）两个数如果存在着公倍数关系，那么较小的数就是其最大公约数，较大的数就是其最小公倍数。
（2）互质的两个数的最大公约数是1，最小公倍数是它们的乘积。
（3）利用短除法求取三个数的最大公约数和最小公倍数时要注意二者的区别：求取三个数的最大公约数时，只需短除到三个数没有共同的公约数（除l外）即可；而求取三个数的最小公倍数时，需要短除到三个数两两互质为止。
（4）多于三个数的最大公约数与最小公倍数的求法与三个数的求法相似。
【典例一】有两个二位数，它们的最大公约数8，最小公倍数是96，这两个数的和是（ ）
A、56 B、78 C、84 D、96
【分析】把最大公约数8和最小公倍数96分解质公约数，根据最大公约数是两个数的共有质公约数，最小公倍数是两个数的共有质公约数与独有质公约数的乘积，可以判断出这两个数可能是什么，即可得解．
【解答】解：8=2×2×2， 96=2×2×2×2×2×3，
所以这两个最大公约数8，最小公倍数是96的二位数只能是2×2×2×2×2=32和2×2×2×3=24；
这两个二位数的和是：32+24=56；故选：A．
【典例二】沿小路一边从头开始插彩旗，每隔4米插一面，插到另外一端共插了37面彩旗．如果改成每隔6米插一面彩旗，可以有（ ）面彩旗不用移动．
A、12 B、13 C、14D、15
【分析】根据题意明白路头栽一棵除去，再利用间隔米数×彩旗面数=路的总长度；再求出4和6的最小公倍数，在算一算路的总长里有多少个这样的最小公倍数；就有多少颗栽的树，最后加上开始那颗．
【解答】解：4和6的最小公倍数是12，
路长：4×（37-1）=144（米），
栽棵树：144÷12=12（棵），
12+1=13（棵），
答：可以有13面彩旗不用移动．
故选：B．
【典例三】小明和爸爸每天围绕街心花园晨跑，小明15分钟跑一圈，爸爸12分钟跑一圈．如果父子两人同时同地起跑，至少多少分钟后两人再次在起点相遇？此时，爸爸和小明各跑了几圈？
【分析】此题关键是起点再起点相遇．实际上是求15与12的最小公倍数，再求出各自跑的圈数．
【解答】解：15与12的最小公倍数是：60．
小明跑的圈数：，
爸爸跑的圈数是：，
答：至少60分钟后两人再次在起点相遇此时，爸爸和小明各跑了5圈、4圈．
一．选择题（共8小题）
1．一次数学竞赛均是填空题，小明答错的恰是题目总数的，小亮答错5道题，两人都答错的题目占题目总数的，已知小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半，则他们都答对的题有 道．
A．14B．15C．16D．17
2．50名学生按进行编号，李老师给所有编号是4的倍数的学生一支笔，张老师给所有编号是3的倍数的学生一把尺，那么既有笔又有尺的学生有 名。
A．4B．7C．10
3．小林和小军都去参加游泳训练．小林每隔3天去一次，小军每隔5天去一次．7月25日两人同时参加游泳训练后， 他们第二次同一天参加训练．
A．8月5日B．8月6日C．8月9日
4．五（1）班有男生48人，女生36人，男生、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多 人．
A．6B．12C．24D．48
5．张珊家客厅的长是6米，宽是4.8米，计划在地面上铺方砖，要求地面上都是整块方砖，应该选择 的方砖．
A．边长为50厘米B．边长为60厘米
C．边长为80厘米D．边长为100厘米
6．体育课上，有40名同学面向老师站成一排，按老师命令，从左往右按1、2、3、4、的顺序依次报数，然后老师让报数是4的倍数的同学向右转，接着再让所报数是3的倍数的同学向右转，有 名同学转了2次．
A．1B．2C．3D．4
7．在四位数的□里填上一个数字，使它同时是2，3，5的倍数，最多有 种填法。
A．5B．4C．3D．2
8．在1至100的自然数中，不是9的倍数的数之和是
A．4951B．4456C．4039D．4984
二．填空题（共8小题）
9．商店里有6箱货物，分别重15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克，两名顾客买走的其中的5箱。已知一名顾客买走的货物质量是另一名顾客的2倍，商店里剩下那一箱货物重 千克。
10．甲乙两数的最大公因数是75，最小公倍数是450，若它们的差最小，则两个数为 和 ．
11．妈妈买回30个苹果，她把苹果放入篮子中让小明拿，约定既不许一次拿完，也不许一个一个地拿，且每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。小明共有 种拿法。
12．有一位天文观察家，他观察一颗行星靠近地球的情况是有规律的，只要是年份数除以10余数是5，且被3、5、7、9除时，没有余数，从公元00年到公元2000年时，星球飞近 次．
13．把两根长度分别为45厘米和30厘米的彩带剪成同样长的短彩带，且没有剩余，每根短彩带最长是 厘米．
14．一块长方形木板长24分米，宽18分米，锯成相同的正方形木块（边长为整分米数），要求正方形木块的面积尽量大且木板没有剩余，则锯成的正方形木块有 块．
15．某条道路上，每隔900米有一个红绿灯，所有的红绿灯都按绿灯30秒黄灯5秒，红灯25秒的时间周期同时重复变换，一辆汽车在第一个路口处遇到绿灯后，要想在所有的红绿灯路口都遇到绿灯，则他最快该以每小时 千米的速度行驶．
16．王老师有一盒铅笔，如果平均分给2名同学余1支，如果平均分给3名同学余2支，如果平均分给4名同学余3支，如果平均分给5名同学余4支。王老师这盒铅笔至少有 。
三．解答题
17．请你举出一个例子，说明“两个真分数的和可以是真分数，而且这三个分数的分母谁也不是谁的因数”。
18．暑假期间，淘气、笑笑定期去体育馆参加足球训练．淘气从7月1日起，每3天训练一次；笑笑从7月1日起，每4天训练一次．到这个月15日，有几天他们都没有训练？哪几天两人共同训练？（先在表里画一画，再回答）
19．小明绕操场跑一圈要8分钟，爸爸跑一圈要3分钟，妈妈跑一圈要4分钟．如果爸爸妈妈和小明同时起跑，至少多少分钟后三人在起点再次相遇？此时爸爸、妈妈和小明各跑了多少圈？
20．一百个正整数的和是6666，它们的最大公因子最大可能值是多少？
21．某数被5、6、7除，都得到相同的余数1．问某数在1000以内有哪几个答案？
22．已知两个自然数的积是5766，它们的最大公因数是31，求这两个自然数。
23．把32支铅笔和40块橡皮全部平均分给同样数量的小朋友，最多能分给几个小朋友？每人将分得几支铅笔和几块橡皮？
24．学校甬路旁栽一行小树，从第一棵到最后一棵的距离是80米，原来每隔2米植一棵树，现小树长大，改为每5米植一棵树．如果两端不移动，中间有几棵树不用移动？
25．把38个蘑菇和31个萝卜分给若干只小兔子，每只小兔子分得的蘑菇相同，萝卜也相同．结果蘑菇多2个，萝卜少1个．最多有多少只小兔？每只小兔分得几个蘑菇，几个萝卜？
26．幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了32颗糖平均分给他们，正好分完．小朋友的人数可能是多少？（小朋友人数不少于2人）
27．甲、乙两人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每4天去一次，如果4月10日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？
28．在下面马路的一边等距离地安装路灯，要求在马路的两端及捌弯处都安装一盏，那么至少要安装多少盏路灯？
29．从1到20这20个数中，任取11个数，证明：必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【分析】因小明答错的恰是题目总数的，两人都答错的题目占题目总数的，所以题目的总数应是4和6的倍数，然后根据小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半，分情况进行解答．
【解答】解：已知题目个数一定是整数．设为
是4和6的倍数．且，；
有，；
（1）时，即时，所以；
都答对的题有
（2），即时，；
都答对的题有没有超过一半．舍去．
所以仅有第一种情况，故选：．
2．【答案】【分析】求出3和4的最小公倍数，依次乘2、3、，直到得数小于50，即可解答。
【解答】解：3和4是互质数，所以两个数最小公倍数是。
答：既有笔又有尺的学生有4名。故选：。
3．【答案】【分析】由题意可知：小林每隔3天去一次，即小林每4天去一次；小军每隔5天去一次，即每6天去一次；先求出4和6的最小公倍数是12，即两人每隔12天能同时参加一次游泳训练；然后根据题意，进行解答即可．
【解答】解：（天
（天
4和6的最小公倍数为：；即每隔12天能同时参加一次游泳训练；
7月25日，再经过12天是8月6日；故选：。
4．【答案】
【分析】由男女生分别排队，要使每排的人数相同，可知每排的人数是男生和女生人数的公因数，要求每排最多有多少人，就是每排的人数是男生和女生人数的最大公因数；求出48和36的最大公因数即可求解．
【解答】解：
48和36的最大公因数是：也就是每排最多12人．答：要使每排的人数相同，每排最多有 12人．
5．【分析】据题意可知，要想得到整数块砖，应在所给数据中找出地板长和宽的公因数，就能得到正确答案．先换算单位长，宽，再找到600，480的公因数即可作出选择．
【解答】解：6米厘米，4.8米厘米，
；
；
故选项中只有60是600、480的因数，
所以应选边长为60厘米的方砖．
故选：．
【点评】此题主要考查几个数的公因数，再依据题目中的条件，即可求得正确结果；注意要将6米，4.8米进行适当的单位换算．
6．【分析】转了2次同学，他所报的数既是4的倍数，又是3的倍数，即3和4的公倍数，然后求出40以内3和4的公倍数的个数即可．
【解答】解：
即40以内3和4的公倍数有3个，那么就有3名同学转了2次．
答：有3名同学转了2次．故选：．
7．【答案】
【分析】同时满足2、3、5的倍数特征，末尾必须有0，这样才能满足2，5的倍数；满足3的倍数特征就是各个数位上的数字相加的和能被3整除，现在，6能被3整除，□所填的数也要被3整除，填0也可以，可以填的数有0，3，6，9这四种填法。
【解答】解：，
①填，；
②填，；
③填，；
④填，；因此，有四种填法。故选：。
8．【答案】
【分析】由题意，要求这一百个自然数中所有不能被9整除的数的和是多少。我们可以想到，用这一百个自然数中所有数的和，减去其中所有能被9整除的数的和，就是所有不能被9整除的数的和，列式计算即可得解。
【解答】解：
故选：。
二．填空题（共8小题）
9．【答案】20。
【分析】由题中“一位顾客买的货物的质量是另一位顾客的2倍”可知：两人买走的重量是3的倍数。应选5箱质量和是3的倍数的箱子。6箱一共重：（千克），现在计算119减去哪一箱的重量后差是3的倍数。
【解答】解：两人买走的重量是3的倍数，五箱的重量和是3的倍数。
6箱的总重量是：（千克）。
计算119减去哪一箱的重量后差是3的倍数：119分别减去15，16，18，19，20，31得104，103，101，100，99，88。里面只有99能被3整除。
所以剩下的1箱就是（千克）。
答：剩下的一箱货物重20千克。
故答案为：20。
10．【分析】两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数最小公倍数两数的乘积．设这两个数为、，则，若要它们差最小，就应使两个数离的最近，所以当，时，它们的差最小．
【解答】解：设这两个数为、，
则，
当，时，它们的差最小．
故答案为：150、225．
11．【答案】6。
【分析】找到能被30整除的数有多少个，即30的因数有多少，就是多少种拿法；注意1和30除外；据此解答。
【解答】解：30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30，其中1和30不符合题意，所以共有6种拿法。
2个2个的拿，需15次；3个3个的拿，需10次；5个5个的拿，拿6次；6个6个的拿，需5次；10个10个的拿，需3次；15个15个的拿，需2次。
答：小明共有6种拿法。
故答案为：6。
12．【分析】根据题干“被3、5、7、9除时，没有余数”分析可得，这个公历年份应该是3、5、7、9的倍数，且“年份数除以10余数是5”可得，这个公历年份数的个位数字是5，据此即可解答问题．
【解答】解：因为3、5、7、9的最小公倍数是：，
所以2000以内，3、5、7、9的公倍数有：315、630、945、1260、1575、1890；
其中630、1260、1890是10的倍数，不符合题意；
所以公元315年、945年、1575年行星靠近地球，即共有3次．
答：从公元00年到公元2000年时，星球飞近3次．故答案为：3．
13．【分析】要把两根分别长为45厘米和30厘米的彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余，求每根短彩带最长是多少厘米，只要求出45和30的最大公因数，即可得解．
【解答】解：
所以45和30的最大公因数是
答：每根短彩带最长是15厘米．
故答案为：15．
【点评】灵活运用求几个数的最大公因数的方法来解决实际问题．
14．【分析】根据题意可知，要求正方形木块的面积尽量大且木板没有剩余，就需要求出小正方形边长的最大值，求锯成的小正方形的边长最长是几分米，也就是求24和18的最大公因数，然后用长方形的面积除以正方形的面积，即为能锯成多少块，据此解答即可．
【解答】解：，
所以24和18的最大公因数是：
（块
答：锯成的正方形木块有12块．故答案为：12．
15．【分析】把每次红绿灯的变化看成一个周期，先求出路灯循环一个周期是多少秒，再化成小时；只要行驶的时间是一个周期即可，用路程除以一个周期的时间就是这辆车的速度．
【解答】解：（秒；
60秒小时，
900米千米；
（千米）；
答：他最快该以每小时 54千米的速度行驶．故答案为：54．
16．【答案】59。
【分析】根据“如果平均分给2名同学余1支，如果平均分给3名同学余2支，如果平均分给4名同学余3支，如果平均分给5名同学余4支”可以发现，铅笔的数量再增加1支，就能被2、3、4、5整除，所以找出2、3、4、5的最小公倍数，再减1，就是所求。
【解答】解：2、3、4、5的最小公倍数为60，
（支
答：王老师这盒铅笔至少有59支。
故答案为：59。
三．解答题
17．【答案】，分母12、15和20谁也不是谁的因数；
说明两个真分数的和可以是真分数，而且这三个分数的分母谁也不是谁的约数。
【分析】说明“两个真分数的和可以是真分数，而且这三个分数的分母谁也不是谁的因数”，要考虑这两个真分数的分母既不能是互质数、也不能有倍数和因数的关系，应该是一般的关系，由此解答即可。
【解答】解：由题意得：
例如：，分母12、15和20谁也不是谁的因数；
说明两个真分数的和可以是真分数，而且这三个分数的分母谁也不是谁的约数。
【点评】解决此题关键是要使这三个分数的分母谁也不是谁的因数，必须使两个真分数的分母既不能是互质数、也不能有倍数和因数的关系，应该是一般的关系。
18．【分析】根据题意，淘气从7月1日起，每3天训练一次；由此可知，淘气第二次是7月4日、第三次是7月7日、第四次是7月10日、第五次是7月13日；笑笑从7月1日起，每4天训练一次，第二次是7月5日、第三次是7月9日、第四次是7月13日；进而求出7月1日到7月15日有几天他们都没有训练，哪几天两人共同训练，据此解答．
【解答】解：如下表：
（天
答：7月1日、7月13日，两人共同训练，有8天两人都没有训练．
【点评】此题考查的目的是理解掌握因数与倍数的意义，以及时间的推算方法及应用．
19．【答案】少24分钟后三人在起点再次相遇，此时爸爸跑了8圈，妈妈跑了6圈，小明跑了3圈。
【分析】由于他们跑一周所用时间各不相同，则爸爸妈妈和小明同时起跑，第一次在起点三人同时相遇所用时间应是三人各跑一周所用时间的最小公倍数，然后用这个最小公倍数分别除以他们跑一周所用时间，即得此时爸爸、妈妈和小明各跑了多少圈。
【解答】解：8、3、4的最小公倍数是24，
即至少24分钟后三人在起点再次相遇。
小明：（圈
妈妈：（圈
爸爸：（圈
答：少24分钟后三人在起点再次相遇，此时爸爸跑了8圈，妈妈跑了6圈，小明跑了3圈。
【点评】明确第一次在起点三人同时相遇所用时间应是三人各跑一周所用时间的最小公倍数是完成此类题目的关键。
20．【分析】首先来看6666的因数，能分解出2、3、11、101这4个数字中刚好101能比100大而且只大1，是比100稍差的最理想的数字，所以最大公因数的最大可能值是，以此解答．
【解答】解：
答：它们的最大公因子最大可能值是66．
21．【分析】某数被5、6、7除，都得到相同的余数1，由此可这个数就是5、6、7的公倍数，因此只要求出1000以内的5、6、7公倍数后分别加1即能得出答案．
【解答】解：由于5、6、7的最小公倍数是：210．
则1000以内被5、6、7除，都得到相同的余数1的数有：
；
；
；
．
即此类数在1000以内的答案有：211，421，631，841．
22．【答案】31和186或62和93。
【分析】设这两个数分别为和，则有，即得，因为，再分当和为1和6时；当和为3和2时；两种情况讨论即可求解。
【解答】解：设这两个数分别为和，则有：
，
即得，，
因为，
所以，当和为1和6时，这两个数分别为，和；
当和为3和2时，这两个数分别为，和；
答：这两个数分别为31和186或62和93。
23．【分析】求最多能分给几个小朋友，即求32和40的最大公因数，先把32和40进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数；据此解答即可．
【解答】解：
32和40的最大公约数是
最多分给8个小朋友，
（支
（块
答：最多能分给8个小朋友，每人将分得4支铅笔和5块橡皮．
【点评】解答此题的关键是：先求出32和40的最大公因数，进而根据题意，得出结论．
24．【分析】此题属于植树问题，两端不移动，要求中间有几棵树不用移动，只要求出在80以内2和5的公倍数即可解答，即是2和5的公倍数的米数是不动的．
【解答】解：80以内的2和5的公倍数有：10；20；30；40；50；60；70；
即10米、20米、30米、40米、50米、60米、70米处的7棵树不用动；
答：中间有7棵树不动．
【点评】本题主要考查求在一定范围内的两个数的公倍数，注意分析题意判定是求公倍数．
25．【分析】根据题意，兔子一共分了个蘑菇，个萝卜，求出36和32的最大公约数，即为兔子只数；进而求出每只小兔分得的蘑菇与萝卜的数量，解决问题．
【解答】解：，
36和32的最大公约数是
因此最多有4只小兔．
答：最多有4只小兔，每只小兔分得9个蘑菇，8个萝卜．
【点评】此题求出兔子一共分得的蘑菇与萝卜的总数，通过求最大公约数，解决问题．
26．【分析】根据因数与倍数的意义，和找一个数的因数的个数的方法，求出32的因数有哪些，根据题意可以找到平均分给多少个小朋友，由此解答．
【解答】解：32的因数有：1，2，4，8，16，32．
根据题意不可能分给1个小朋友，因此可以平均分给2，4，8，16，32个小朋友．
答：小朋友的人数可能是2，4，8，16，32．
【点评】此题主要考查求一个数的因数的方法，根据求一个数的因数的方法解决问题．
27．【分析】甲每6天去一次，乙每4天去一次，那么甲、乙两人下一次都到图书馆再经过的时间应是6和4的最小公倍数，只要求出6和4的最小公倍数即可．
【解答】解：根据分析可得，
，
，
（天，
4月10日天月22日；
答：那么下一次都到图书馆是4月22日．
【点评】本题关键是明确下一次都到图书馆再经过的时间应是6和4的最小公倍数．
28．【分析】由题中“等距离的安装路灯”可知，相邻两盏路灯之间的距离必为32米与72米的公因数，又由“最少要安装多少盏路灯”可知，总的路灯数最少，则相邻两盏路灯之间的距离要最大，于是问题转化为求32与72的最大公因数，然后根据植树问题解答即可．
【解答】解：由于，，
所以，32与72的最大公因数是：，
所以，相邻两盏路灯之间的距离最大是8米
从而，最少需要安装：（盏．
答：最少需安装14盏路灯．
【点评】解答此题，运用了求最大公因数和植树问题的知识，使复杂的问题简单化，注意两端都栽的植树问题：植树的棵数间隔数．
29．【分析】首先把1，2，，20分成10组，20个数中每一个都在某一组中且只在一组中，任取11个数，由抽屉原则至少有2个数来自同一组，这两个数中大数必是小数的倍数．
【解答】解：证明：考虑按照同一抽屉中，任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉．
把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组，看成10个抽屉（显然，它们具有上述性质）
，2，4，8，，，6，，，10，，，，，，，，，，．
从这10个数组的20个数中任取11个数，根据抽屉原理可得，至少有两个数取自同一个抽屉．
由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系，
所以这两个数中，其中一个数一定是另一个数的倍数．
【点评】本题主要考查抽屉原理的知识点，解答本题的关键是把20个数进行分组，然后利用抽屉原理进行解答，本题难度较大．日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
淘气
笑笑
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
淘气
笑笑