第十章、其他应用题（五大类型）（真题汇编）-2025年小升初数学真题分类汇编（人教版）

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类型1、鸽巢问题
1．（2024·四川成都·小升初真题）有关部门要连续审核30个科研课题方案，如果要求每天安排审核的课题个数互不相等且不为零，则审核完这些课题最多需要（ ）。
A．7天B．8天C．9天D．10天
【答案】A
【分析】要使审核完这些课题的天数尽量的多，每天审核的课题数应该尽量的少。因为每天安排审核的课题个数互不相同且不为零，且1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，所以可以构造： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋9＝30 （或者1＋2＋3＋4＋5＋7＋8＝30） ，据此解答。
【详解】因为30＝ 1＋2＋3＋4＋5＋6＋ 9
或30＝ 1＋2＋3＋4＋5＋7＋8
如果每天审核1，2，3， 4，5，6， 9个，用7天审完；
如果每天审核1、2、3、4、5、7、8个，也用7天审完；
审核完这些课题最多需要7天。
故选择：A
2．（2024·浙江湖州·小升初真题）盒子里装有1个红球，3个黄球和4个白球（这些球除颜色外完全相同）。至少摸出（ ）个球，才能保证取到两个颜色相同的球。
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】把3种不同颜色看作3个抽屉，把不同颜色的球看作元素，从最不利情况考虑，先从每个抽屉摸出1个球，一共是3个球，再摸出1个球，不论是什么颜色，总有一个抽屉里的球和它同色，据此解答。
【详解】3＋1＝4（个）
因此至少摸出4个球，才能保证取到两个颜色相同的球。
故答案为：B
3．（2023·福建莆田·小升初真题）某班48名同学投票选一名班长（每人只许投一票），候选人是小华、小红和小明三人，计票中途统计结果如下：
规定得票最多的人当选，那么后面的计票中小华至少还要得（ ）张票才能当选？
A．6B．7C．8
【答案】C
【分析】根据题意知一共48票，已经计了30票，还有48－30＝18票没计。现在小华得了13票，小红得了10票，只要小华得到的票数比小红多1票才能当选。用剩下的票减去小华比小红多的票数13－10＝3票，再除以2，得到的商是两人再得多少票就一样，把剩下的票数给小华，就能当选。
【详解】48－30＝18（票）
13－10＝3（票）
（18－3）÷2
＝15÷2
＝7（票）……1（票）
7＋1＝8（票）
小华至少要得8票才能当选。
故答案为：C
4．（2024·山西晋中·小升初真题）端午节是中国首个入选世界非遗的节日，各地都有包粽子的习俗。小明、倩倩两家制作了三种口味粽子的数量如表。从小明家的粽子里任意拿一个吃，吃到（ ）口味的可能性最大。从倩倩家粽子里至少从中拿出（ ）个才能保证有2个粽子的口味是相同的。
【答案】 豆沙 4
【分析】根据小明家里粽子的种类和数量进行判断，数量多，吃到的可能性就越大；倩倩家粽子的种类数量相同，所以每一种都拿出一次，再拿一次就会出现口味相同的，据此解答。
【详解】从小明家的粽子里任意拿一个吃，吃到豆沙口味的可能性最大。3＋1＝4（个），因此从倩倩家粽子里至少从中拿出4个才能保证有2个粽子的口味是相同的。
5．（2024·四川成都·小升初真题）有黑、白、黄色袜子各10只，不用眼睛看，任意取出袜子来，使得至少有两双袜子不同色，那么至少要取出（ ）只袜子。
【答案】13
【分析】因为袜子的颜色有3种，最坏的取法是先取的10只都是同一种颜色的，又取了2只颜色还是不同的，所以只要再取1只，就能跟第二次取的配成一双袜子了；所以至少要取10＋2＋1＝13只，据此解答。
【详解】10＋2＋1＝13（只）
故至少要取13只。
6．（2023·广西柳州·小升初真题）机器人兴趣班有13人，他们中至少有（ ）人的生日在同一个月。
【答案】2
【分析】把12个月看作12个抽屉，把13个人看作13个元素，利用抽屉原理最差情况：要使每个月的人数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均分，再根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数＋1（有余数的情况下）”解答即可得出答案。
【详解】13÷12＝1（人）……1（人）
1＋1＝2（人）
即他们中至少有2人的生日在同一个月。
7．（2023·陕西西安·小升初真题）有红、黄、白三种颜色的小球各10个，混合放在一个布袋中，一次至少摸出（ ）个，才能保证有6个小球是同色的。
【答案】16
【分析】根据题意，袋子里有红、黄、白三种颜色的小球各10个，运气最差的情况为每种颜色的小球各摸出5个，再摸出一个任意颜色的球就能保证有6个小球是同色的。
【详解】5×3＋1
＝15＋1
＝16（个）
填空如下：
一次至少摸出（16）个，才能保证有6个小球是同色的。
8．（2023·四川成都·小升初真题）有2016名学生参加了某次数学竞赛，试题一共12道填空题，每做对一题得10分，不做或做错均得0分。这次考试至少有（ ）名学生的分数是相同的。
【答案】156
【分析】抽屉原理的问题，试题得分有几种情况，就是有几个抽屉。将2016名学生尽量平均分在这些抽屉里面，每个抽屉分了155名学生，还剩1名学生，随意放在哪个抽屉里面都是156名。
【详解】试题得分有120、110、100、…、10、0这13种情况。
2016÷13＝155（名）……1（名）
155＋1＝156（名）
这次考试至少有156名学生的分数是相同的。
9．（2023·山东济南·小升初真题）7名同学在一起做游戏，其中总有一种性别至少有（ ）名同学。
【答案】4/四
【分析】此题属于典型的抽屉原理的习题，应明确把男、女性别看作2个“抽屉”，把7名同学看作“物体个数”，根据抽屉原理进行解答即可。
【详解】7÷2＝3（名）……1（名）
3＋1＝4（名）
其中总有一种性别至少有4名同学。
10．（2023·四川成都·小升初真题）班上共有60位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个问题：班上有几个人与你生日的月份相同，班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月12日的号数是相同的）。结果发现，所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？
【答案】2个
【分析】回答中包含了由0到14的所有整数，因此有1~15人在同月份或同日期
日期＋月份的总数一共有（种）
因此恰好有1～15人，每种情况出现一次且有60个月份＋60个日期。
若无人同生日，设从1月到12月人数依次减少，1日到31日人数依次减少，那么1日最多有12个人，否则1日必定有人同生日。而此时12个人生日在1日，那么说明每个月的1日都有人，月份至少为，而，因此1~12月里面最多只能有10个月有人在1日过生日，日期中最多10人相同，1~15又都要出现，因此，11，12，13，14，15均为同月出现的回答，但此时，月份依然超过了最高限制，因此矛盾，不可能无人同一天生日。据此解答。
【详解】答案的数量：（个）
日期＋月份的总数一共有：（种）
因此恰好有1~15人，每种情况出现一次且有60个月份＋60个日期。
若无人同生日，月份至少为，而
11，12，13，14，15均为同月出现的回答，但此时，月份依然超过了最高限制，因此矛盾，不可能无人同一天生日。
答：该班至少有2个同学生日相同。
类型2、植树问题
11．（2024·四川绵阳·小升初真题）某段公路长为440米，在公路两旁每隔8米种一颗樟树，两端都裁，共种（ ）棵。
A．56B．110C．112D．220
【答案】C
【分析】根据植树问题中的两端都栽树问题可知，棵数＝间隔数＋1，用公路的总长度除以间隔数，再加1，即可求出公路一侧的棵数，再乘2即可得解。
【详解】（440÷8＋1）×2
＝（55＋1）×2
＝56×2
＝112（棵）
共种112棵。
故答案为：C
12．（2024·广西柳州·小升初真题）在公路的一边种下21棵树（两端都种），每两棵之间的距离是4米，这条路长（ ）米。
【答案】80
【分析】根据植树问题中两端都栽的情况，间隔数＝棵数－1；可知公路的一边种下21棵树，那么有（21－1）个间隔；再根据“间距×间隔数＝全长”，求出这条路的全长。
【详解】4×（21－1）
＝4×20
＝80（米）
这条路长80米。
13．（2024·福建莆田·小升初真题）把一根长1.2米的木头锯成相等的五段，每段是全长的（ ），每段长（ ）米，如果锯一次用2分钟，全部锯完要用（ ）分钟。
【答案】 /0.24 8
【分析】把1.2米的木头看作单位“1”，平均分成了5段，根据分数的意义，用单位“1”除以分成的段数，即是每段占总长的几分之几；用这根木头的总米数÷平均分成的段数，可求出每段的米数；锯5段是锯了5－1次，求锯完共需几分钟，用每锯一次的时间×次数即可。
【详解】1÷5＝
1.2÷5＝（米）
（5－1）×2
＝4×2
＝8（分钟）
把一根长1.2米的木头锯成相等的五段，每段是全长的，每段长0.24米，如果锯一次用2分钟，全部锯完要用8分钟。
14．（2023·四川成都·小升初真题）一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟，有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车才到达甲站，这时候恰好又有一辆电车从甲站开出，他从乙站到甲站用了（ ）分钟。
【答案】40
【分析】这个人从乙站到甲站一共遇到了12辆车，10辆是路上遇到的，2辆分别在甲乙两站遇到的。每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟，则这个人从乙站出发时，第4辆车正从甲站开出。这个人到达甲站的时候，正好第12辆车正从甲站开出，所以这个人从乙站到甲站所用的时间就是第4辆车从甲开出到第12辆车从甲开出之间的时间。
【详解】10＋1＋1＝12（辆）
（12－4）×5
＝8×5
＝40（分钟）
类型3、鸡兔同笼问题
15．（2024·山西太原·小升初真题）一个研学团共有65人，在实践基地租住了双人间和三人间共25间，正好全部住满。算一算，双人间租住了（ ）间，三人间租住了（ ）间。
【答案】 10 15
【分析】假设住的全是三人间，则可以住25×3＝75（人），实际比假设少住了75－65＝10（人），这是因为每个双人间比每个三人间少住3－2＝1（人），据此可求出双人间，进而可求出三人间。
【详解】（75×3－65）÷（3－2）
＝（225－65）÷1
＝10÷1
＝10（间）
25－10＝15（间）
双人间租住了10间，三人间租住了15间。
16．（2023·陕西西安·小升初真题）鸡兔共有20个头，54条腿。鸡有（ ）只，兔有（ ）只。
【答案】 13 7
【分析】假设笼子里都是鸡，那么就有20×2＝40（条）腿，这样就比实际少54－40＝14（条）腿；因为一只兔比一只鸡多（4－2）＝2（条）腿，也就是有14÷2＝7只兔；所以有20－7＝13只鸡。
【详解】（54－20×2）÷（4－2）
＝（54－40）÷2
＝14÷2
＝7（只）
20－7＝13（只）
所以兔有7只，鸡有13只。
17．（2024·山西大同·小升初真题）张茜的爸爸买了两种茶叶，一种是绿茶，每千克180元；一种是红茶，每千克240元。这两种茶叶的总重量是10千克，一共用去2220元，张茜的爸爸两种茶叶各买了多少千克？各花去多少元？
【答案】绿茶3千克；红茶7千克；绿茶花了540元；红茶花了1680元
【分析】先假设全部买的是其中一种茶叶，算出与实际花费的差值，再根据两种茶叶的单价差，求出另一种茶叶的重量，进而得出两种茶叶各自的重量和花费。
【详解】假设都是红茶，则绿茶有：
（240×10－2220）÷（240－180）
＝（2400－2220）÷60
＝180÷60
＝3（千克）
红茶有：10－3＝7（千克）
3×180＝540（元）
7×240＝1680（元）
答：张茜的爸爸买了绿茶3千克，红茶7千克；绿茶花了540元，红茶花了1680元。
18．（2024·山西长治·小升初真题）有5颗装的和8颗装的巧克力共20盒，共有136颗，5颗装的和8颗装的巧克力各有多少盒？
【答案】5颗装：8盒；8颗装：12盒
【分析】设8颗装的巧克力有x盒，5颗装的巧克力有（20－x）盒；8颗装巧克力x盒装8x颗；5颗装巧克力（20－x）盒装5×（20－x）颗，一共有136颗，列方程：8x＋5×（20－x）＝136，解方程，即可解答。
【详解】解：设8颗的装巧克力有x盒，则5颗装的巧克力有（20－x）盒。
8x＋5×（20－x）＝136
8x＋5×20－5x＝136
3x＋100＝136
3x＋100－100＝136－100
3x＝36
3x÷3＝36÷3
x＝12
5颗装的巧克力盒有：20－12＝8（盒）
答：5颗装的巧克力有8盒，8颗装的巧克力有12盒。
19．（2023·四川成都·小升初真题）一次奥数竞赛中，共有50道题，做错一道扣1分，做对一道得3分，而不做解答则会得0分，宏亮在这次奥数竞赛中共得了97分，经了解，其中有3道题不会做，没有解答，则宏亮在此次奥数竞赛中共答对了多少道题？
【答案】36道
【分析】根据题意，一共有50道题，其中有3题不会做没有解答，则解答了50－3＝47（道），再根据“做错一道扣1分，做对一道得3分”，可知做错一道比做对一道少得4分。据此用鸡兔同笼思想，假设全部做对，计算出可以得的分数，再与实际分数对比，求出相差的分数，用相差的分数除以4即可得出做错的题目数量，再用47减去做错的题目数量即可得出宏亮在此次奥数竞赛中共答对的题目数。
【详解】（道）
假设47道全部做对。
（分）
做错：
（道）
做对：（道）
检验：（道）
（分）
答：宏亮在此次奥数竞赛中共答对了36道题。
类型4、排列组合问题
20．（2024·四川成都·小升初真题）甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，4个人看也不看就随便各拿了1本，那么至少有一人拿错的可能有（ ）种。
【答案】23
【分析】至少有一人拿错就是有可能1人拿错，有可能2人拿错，有可能是3人拿错，还有可能是4人拿错，那么换思路想一想如果所有人都拿对有几种情况。只有1种。那么至少有一人拿错的可能种数＝一共出现的情况－1。甲会拿到甲、乙、丙、丁四种作业本就是4种，这样乙会拿剩下的3种，丙会拿2种，丁就拿1种，一共有24种可能性。
【详解】（种）
（种）
则至少有一人拿错的可能有23种。
21．（2024·四川成都·小升初真题）某铁路上有21个车站，有一个收集火车票的爱好者收集了这条线路上所有车站发售的通往其他各个车站的火车票，他一共收集了（ ）张。
【答案】420
【分析】假设第一个车站是A，则到其余的20个车站有20种火车票。第二个车站是B，那么要到其余的20个车站也是20种火车票。则一共有21个车站，每个车站到其余的20个车站有20种。则有420种。
【详解】21×20＝420（种）
则他一共收集了420张车票
22．（2023·四川成都·小升初真题）x、y、z是从1～9中任意选出来的三个不同的数字，那么用它们组成的六个没有重复数字的三位数的和是的（ ）倍。
【答案】222
【分析】x出现在百位是100x，出现在十位是10x，出现在个位是x，x出现在个位、十位、百位各2次，和为222x，且y和z是一样的。
【详解】2×（x＋10x＋100x）＋2×（y＋10y＋100y）＋2×（y＋10y＋100y）
＝222x＋222y＋22z
＝222（x＋y＋z）
222（x＋y＋z）÷（x＋y＋z）＝222
那么用它们组成的六个没有重复数字的三位数的和是（x＋y＋z）的222倍。
类型5、搭配问题
23．（2023·河北邯郸·小升初真题）3个人排成一排照相，共有（ ）种不同的排法。
A．3B．6C．9
【答案】B
【分析】先确定第一位有三种排法，再看剩下的两人有2种排法，一共有3×2＝6（种）。
【详解】3×2＝6（种）
一共有6种排法。
故答案为：B。
24．（2024·四川乐山·小升初真题）学校为庆祝“六一”儿童节选送节目，要从2个合唱节目中选出1个，3个舞蹈节目中选出2个，一共有（ ）种选送方法。
【答案】6
【分析】要从2个合唱节目中选出1个，有2种方法，合①，合②；从3个舞蹈节目中选出2个，共有3种方法，舞①＋舞②，舞①＋舞③，舞②＋舞③；然后用乘法求出一共有几种方案。
【详解】2×3＝6（种）
即一共有6种选送方法。
25．（2023·四川成都·小升初真题）乐乐全家四口人到一处名胜古迹旅游，由其中一人轮换给其他人拍照，如果单人各照一张，每两人合影一张，每三人合影一张，则他们一共要拍（ ）张照片。
【答案】14
【分析】设四人为a，b，c，d，单人照有4种：a，b，c，d；两人合影有6种：ab，ac，ad，bc，bd，cd；三人合影有4种：abc，abd，acd，bcd；所以一共有（4＋6＋4）种。
【详解】4＋6＋4＝14（张）
他们一共要拍14张照片。
26．（2023·四川·小升初真题）由3，7，0，6四个数字可以组成（ ）个不同的四位数，其中最大的数是（ ）。
【答案】 18 7630
【分析】根据题意可知，最高位上不能是0，千位为3可以组成6个四位数，3760，3706，3670，3607，3067，3076；千位为7或6也可以组成6个四位数；据此可知一共可以组成（3×6）个不同的四位数；将4个数字从大到小排列即可得知最大的数。
【详解】3×6＝18
由3，7，0，6四个数字可以组成18个不同的四位数，其中最大的数是7630。
27．（2024·陕西西安·小升初真题）有8支球队参加比赛，每两支球队都要进行一场比赛，一共要进行（ ）场比赛。
【答案】28
【分析】根据题意，有8支球队参加比赛，每两支球队都要进行一场比赛，那么每支球队要和其他7支球队进行比赛，则所有8支球队比赛的场数是56场，由于比赛是在两支球队之间进行的，要去掉重复计算的情况，用56除以2即可。
【详解】8×（8－1）÷2
＝8×7÷2
＝56÷2
＝28（场）
一共要进行28场比赛。
种类
小明
倩倩
豆沙
15个
15个
红枣
10个
15个
花生
5个
15个