湖南省多校联考2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

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本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案：回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解一元二次不等式求集合，再由集合的交运算求结果.
【详解】由，，
所以.
故选：D
2. 若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的定义，可求得，再结合正弦二倍角公式，即可求解.
【详解】由题设，
所以.
故选：C.
3. 过双曲线的左焦点作其一条渐近线的垂线，垂足为，线段的中点在另外一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】记的中点为，证明两条渐近线相互垂直，据此即可求解.
【详解】由题意，记的中点为，如图，
由，则，
所以两条渐近线相互垂直，
可得，则，
即，所以.
故选：A.
4. 的展开式中，常数项等于（ ）
A. 1B. 15C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式求出展开式的通项，再令通项中的次数为，进而求出常数项.
【详解】二项式，可得：，即
令的次数，解得.
将代入到通项公式中，可得常数项为.
故选：B
5. 如图所示是函数的导数的图像，下列四个结论：
①在区间上是增函数；
②在区间上是减函数，在区间上是增函数：
③是的极大值点；
④是的极小值点.
其中正确的结论是
A. ①③B. ②③C. ②③④D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】结合导函数的图象，可判断函数的单调性，从而可判断四个结论是否正确.
【详解】由题意，和 时，；和时，，
故函数在和上单调递减，在和上单调递增，
是的极小值点，是的极大值点，
故②④正确，答案为D.
【点睛】用导数求函数极值的基本步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值.
6. 已知点P为直线上的一点，过点P作圆的切线PA，切点为A，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合图像得到，问题转换成求最小值即可求解；
【详解】解：根据题意，圆其圆心为半径
过点P作圆的切线PA，
则
则
设圆心C到直线l的距离为d，
则
故
所以的最大值为
故选：A
7. 数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题
只需每个课题依次选三个人即可，共有中选法，最后选一名组长各有3种，
故不同的分配方案为：，
故选A.
8. 设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据面积比得出，的关系，根据，从而可以，表示出，利用共线原理列方程，解出即可得到答案
【详解】连接并延长，则通过的中点，过，分别向所在直线作垂线，垂足分别为，，
如图所示
与的面积之比为
根据三角形相似可知，则
即
由平行四边形法则得
根据待定系数法有，则
故选
【点睛】平面向量的线性运算可以根据三角形法则或者平行四边形法则，将三角形面积问题转化为平面几何中三角形相似问题进行求解，考查化归转化思想及数形结合思想的应用
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用赋值法可判断ACD的正误，利用二项展开式的通项公式可判断B的正误.
【详解】对A：令得，A选项错误；
对B：，B选项正确；
对C：令得，又，
所以，C选项错误；
对D：令得，
又，所以，D选项正确；
故选：BD.
10. 已知数列的前n项和为且则（ ）
A. B.
C. D. 数列的前n项和为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用给定条件求解数列单调性判断A，利用累乘法求出数列通项公式判断B，利用等差数列求和公式结合给定条件判断C，利用裂项相消法求和判断D即可.
【详解】由题意得，且，
可知，则为正项递增数列，
得到，即，故A正确；
由，则时，
，
又符合上式，故，
当时，，故B正确；
由等差数列求和公式得，则，故C错误；
而，
故数列的前n项和为
，故D正确.
故选：ABD
11. 已知定义域为的函数满足，且，为的导函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A令得，令得，赋值此式可得；B对两边求导得出可得周期为4，利用反证法得出2也为周期，此时即为常函数，退出矛盾；C由
可得周期4，计算即可；D对两边对求导，得，再令即可.
【详解】令，代入可得，即，所以，
令，则，即，
令得，
以替换，则，A选项正确；
以替换，则，所以函数是周期为4的周期函数.
令，则，即，所以是偶函数.
对两边求导得，即.
替换，则；以替换，则，
所以是周期为4的周期函数，
若的周期为6，则，又，
则，又 ，则，即，
此时为常函数，与、矛盾，故的周期不可能为6，
B选项错误；
由的周期为4，且.
，C选项正确；
因为的周期为，且，所以.
因，所以，
对两边对求导，
得，即
令，可得，所以，则，D选项正确.
故选：ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 平面上动点满足，则点的轨迹方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出点到定点与距离之和，根据与之间距离即可求解.
【详解】由满足知点到定点与的距离之和为10，
又与之间距离为，
根据椭圆定义可知该点的轨迹是椭圆，
其中,
轨迹方程为.
故答案为：.
13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用余弦定理，结合已知求出，再利用三角形面积公式计算即得.
【详解】在中，由余弦定理，得，则，
于是，解得，
所以的面积为.
故答案为：3
14. 如图，某数阵满足：各项均为正数，每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列，，，，则__________，__________.
【答案】 ①. 960； ②. .
【解析】
【分析】设出每一列等比数列的公比为，结合等比数列性质可得，即可得，即可得，从而可得，即可得，即可求得；由结合等差数列求和公式可计算出，再结合等比数列求和公式即可得.
【详解】设每一列等比数列的公比都为，则，，则由，可得，则，，
故，由，得，则，
故，即，
故，
则，
则.
故答案为：960；.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 盒子中有3支不同的铅笔和4支不同的水笔.
（1）将这些笔取出后排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也互不相邻，共有多少种不同的排法？
（2）一次性取出3支笔，使得取出的三支笔中至少有1支铅笔，共有多少种不同的取法？
【答案】（1）种；
（2）种.
【解析】
【分析】（1）先将支不同的铅笔进行排序，然后将支不同的水笔插入铅笔所形成的空位中（含两端），结合插空法可求得结果；
（2）对摸出的铅笔的支数进行分类讨论，结合组合知识以及分类加法计数原理可得结果.
【小问1详解】
将支不同的水笔和支不同的铅笔排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也不相邻，
只需先将支不同的铅笔进行全排，然后将支不同的水笔插入铅笔所形成的4个空位中（含两端），
由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.
【小问2详解】
随机一次性摸出支笔，使得摸出的三支笔中至少有支铅笔，则铅笔的支数可以是或或，
由分类加法计数原理知，不同的取笔种数为种.
16. 如图，在直五棱柱中，，，，，，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）分别取的中点，连接，先证四边形为平行四边形，再证四边形为平行四边形，进而得，最后应用线面平行的判定证明结论；
（2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角的正弦值.
【小问1详解】
如图，分别取的中点，连接，则．
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，．同理，，
所以，，所以四边形为平行四边形，
故，又，
所以，又平面，平面，
所以平面．
【小问2详解】
如图，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
可得，，，，，
则，，．
设平面的法向量为，则，令，得．
设直线与平面所成的角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
17. 设函数=[]．
（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
【答案】(1) 1 (2)（，）
【解析】
【详解】分析：（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围．
详解：解：（Ⅰ）因为=[]，
所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）
=［ax2–（2a+1）x+2］ex．
f ′(1)=(1–a)e．
由题设知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．
此时f (1)=3e≠0．
所以a的值为1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．
若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)0．
所以f (x)