2024-2025学年江苏省南京市玄武高级中学高三（下）适应性数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市玄武高级中学高三（下）适应性数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x≤4}，B={x∈N|x>1}，则A∩B=( )
A. {x|10)的焦点为F(0,p2)，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l的方程为y=kx+p2，
与抛物线x2=2py联立，消去y可得x2−2pkx−p2=0，(∗)，
则Δ=4p2k2+4p2>0，x1+x2=2pk，x1x2=−p2，
当k=1时，x1+x2=2p，
此时|AB|=y1+y2+p=(x1+p2)+(x2+p2)+p=(x1+x2)+2p=8，
所以4p=8，即p=2．
所以C的方程为x2=4y．
(2)由(1)知，AB中点Q(2k,2k2+1)．
因为x2=4y，所以y′=x2，
则直线PA方程为y−y1=x12(x−x1)，即y=12x1x−14x12，
同理，直线PB方程为y=12x2x−14x22，
所以xP=14x12−14x2212(x1−x2)=x1+x22=2k，yP=x1(x1+x2)4−x124=x1x24=−1，
所以P(2k,−1)．
因为xP=2，2k=2，即k=1，此时Q(2,3)，P(2,−1)，
所以直线PQ的方程为x=2，
代入x2=4y，得y=1，所以E(2,1)，
所以|QE|=2．
(3)由(2)知Q(2k,2k2+1)，P(2k,−1)，
所以直线PQ方程为x=2k，
代入x2=4y，得y=k2，所以E(2k,k2)，
所以E为PQ的中点．
因为C在E处的切线斜率y′=12×2k=k，
所以C在E处的切线平行于AB，
又因为E为PQ的中点，
所以S四边形ABNM=34S△ABP，
由(1)中(∗)式得x2−4kx−4=0，所以x1+x2=4k，
因为直线AB方程为y=kx+1，
所以|AB|=y1+y2+p=(kx1+1)+(kx2+1)+2=k(x1+x2)+4=4k2+4．
又P(2k,−1)到直线AB的距离ℎ=|2k2+2| k2+1=2 k2+1，
所以S△ABP=12|AB|⋅ℎ=12⋅(4k2+4)⋅2 k2+1=4(k2+1)32≥4(当且仅当k=0时取“=”)，
所以S四边形ABNM=34S△ABP≥34×4=3，
所以四边形ABNM的面积的最小值为3．
19.解：(1)对于数列{an}而言，若an=2n−1，则an+1−an=2n+1−(2n−1)=2>1，
所以数列{an}是“P数列”；
对于数列{bn}而言，若bn=2n−1，则b2−b1=2−1=1，则数列{bn}不是“P数列”；
(2)因为等差数列{an}是“P数列”，所以其公差d>1．
因为a1=2，所以Sn=2n+n(n−1)2d，
由题意，得2n+n(n−1)2d1且q∈N∗，
因为an+1−an=qn−1(q−1)>0，
所以an+2−an+1an+1−an=q>1，所以an+1−an单调递增，
所以在数列{an+1−an}中，“a2−a1”为最小项，
而bn=an3，从而在数列{bn+1−bn}中，“b2−b1=a23−a13”为最小项．
因为{an}是“P数列”，则只需a2−a1>1，所以q>2，
因为数列{bn}不是“P数列”，则b2−b1=a23−a13≤1，所以q≤4，
因为数列{an}的每一项均为正整数，即q∈N∗，所以q=3或q=4，
(i)当q=3时，an=3n−1，则cn=3nn，i
令Dn=cn+1−cn=3n+1n+1−3nn=3n⋅2n−1n(n+1)，
又Dn+1−Dn=3n+1⋅2n+1(n+1)(n+2)−3n⋅2n−1n(n+1)=3nn+1.4n2+2n(n+2)>0，
所以{Dn}为递增数列，
又D1=c2−c1=92−3=32>1，
所以对于任意的n∈N∗，都有Dn>1，即cn+1−cn>1，
所以数列{cn}为“P数列”，符合题意．
(ii)同理可知，当q=4时，an=4n−1，则cn=4nn，
令Dn=cn+1−cn=4n+1n+1−4nn=4n⋅3n−1n(n+1)，
又Dn+1−Dn=4n+1⋅3n+2(n+1)(n+2)−4n⋅3n−1n(n+1)=9⋅4nn(n+2)>0，
所以{Dn}为递增数列，
又D1=c2−c1=8−4=4>1，
所以对于任意的n∈N∗，都有Dn>1，即cn+1−cn>1，
所以数列{cn}为“P数列”，符合题意．
综上，an=3n−1或an=4n−1．