2023-2024学年山东省枣庄市峄城区七年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年山东省枣庄市峄城区七年级（下）期中数学试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．2a+3b＝5abB．2a6÷a2＝2a3
C．（3a3）2＝9a6D．2a2•3a3＝6a6
2．（3分）若am＝2，an＝8，则am﹣n＝（ ）
A．﹣6B．C．10D．16
3．（3分）如图，下列条件：①∠DCA＝∠CAF，②∠C＝∠EDB，③∠BAC+∠C＝180°，④∠GDE+∠B＝180°．其中能判断AB∥CD的是（ ）
A．①④B．②③④C．①③④D．①②③
4．（3分）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳．则此时∠EDC的度数为（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
5．（3分）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
6．（3分）睡觉前小红在浴缸内缓缓放入温水，10分钟后关闭水龙头，小红洗澡时浴缸里的水还是溢出了一些，23分钟后泡澡结束，小红离开浴缸．下面正确反映出浴缸水位变化情况的图是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）在实验课上，小亮利用同一块木板，测量了小车沿木板从不同高度h下滑的时间t，得到如表所示的数据，则下列结论不正确的是（ ）
A．在这个变化中，高度是自变量
B．当h＝40cm时，t约为2.66s
C．随着高度的增加，下滑时间越来越短
D．高度每增加10cm，下滑时间就减少0.24s
8．（3分）在△ABC中，AD是BC边上的高的图形是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）下列各组图形中，不是全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）一个三角形的两边长分别为2和6，则第三边长可能是（ ）
A．1B．3C．4D．6
二、填空题：本题共6小题，每小题填对得3分，共18分．只要求在答题纸上填写最后结果．
11．（3分）华为Mate60Pr于2023年8月29日开售，该款手机搭载的是华为自主研发的麒麟9000s芯片，该款芯片达到了7纳米工艺水平，1纳米＝0.000000001米，7纳米用科学记数法表示为： 米．
12．（3分）古希腊一位庄园主把一边长为a米（a＞4）的正方形土地租给老农，第二年他对老农说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变”后来老农发现收益减少，感觉吃亏了．聪明的你帮老农算出土地面积其实减少了 平方米．
13．（3分）如图，AB∥CD，EF⊥AB，垂足为点F，若∠1＝50°，则∠E＝ ．
14．（3分）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 °．
15．（3分）一个角的余角比它的补角的还少40°，则这个角为 度．
16．（3分）长方形的周长为24cm，其中一边长为x cm（其中x＞0），面积为y cm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为 ．
三、解答题：本题共8小题，满分72分．在答题纸上写出必要的文字说明或演算步骤．
17．（8分）计算：
（1）﹣12x6y÷3x2y+（3x2）2；
（2）（4x﹣y）2+（2x+y）（2x﹣y）．
18．（7分）下面是两位同学进行整式运算的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
化简：[（a+2b）（a﹣2b）﹣（a﹣2b）2]÷2b．
任务一：仔细检查小颖同学解题的过程，回答下列问题．
（1）第①处用到的乘法公式是 ；（用字母表示公式）
（2）第②处错误的原因是 ；
任务二：
（3）小明逆用乘法对加法的分配律，简便了运算，但其过程不完整，请你补全小明的过程．
19．（8分）将长为40cm，宽为15cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为5cm．
（1）根据图，将表格补充完整；
（2）设x张白纸粘合后的总长度为y cm，求y与x之间的关系式；
（3）你认为白纸粘合起来的总长度可能为2025cm吗？为什么？
20．（8分）如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，D、F分别为垂足，G是AB上一点，且∠1＝∠2．试说明：∠AGD＝∠ABC．
21．（9分）先观察下列各式，再解答后面问题：
（x+5）（x+6）＝x2+11x+30；
（x﹣5）（x﹣6）＝x2﹣11x+30；
（x﹣5）（x+6）＝x2+x﹣30；
（x+5）（x﹣6）＝x2﹣x﹣30．
（1）乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？
（2）根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来；
（3）试用你写的公式，直接写出下列两式的结果．
①（m+100）（m﹣99）＝ ；
②（y﹣300）（y﹣84）＝ ．
22．（10分）某公交车每月的支出费用为7000元，票价为每人2元（不考虑任何优惠），设每月有x人乘坐该公交车，每月的收入与支出的差额为y元．
（1）请直接写出y与x之间的关系式；
（2）列表表示：当x的值分别为3000，3300，3600，3900，4200，4500时，y的值；
（3）该公交车每天早上6：00开班，晚上21：00收班，其中除去午餐1小时外，其余时间都在正常运行，且每一个往返准点运行120分钟．若每月按30天计算，求该公交车每次往返平均需乘坐多少人，每月盈利可达到3080元？
23．（10分）如图，直线AD与AB、CD相交于A、D两点，EC、BF与AB、CD相交于E、C、B、F，如果∠1＝∠2，∠B＝∠C．说明∠A＝∠D．
24．（12分）我们学过的乘法公式可以借助于图形来帮助解释、理解、记忆．
（1）请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式；
（2）请用两种不同的方法探究代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab的数量关系．
方法一：代数方法．
方法二：拼图的方法．（用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个正方形，画出你拼摆过程中能说明这几个式子数量关系的草图．）
（3）利用（2）中结论，当a﹣b＝9，ab＝﹣8时，求（a+b）2的值．
2023-2024学年山东省枣庄市峄城区七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．2a+3b＝5abB．2a6÷a2＝2a3
C．（3a3）2＝9a6D．2a2•3a3＝6a6
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：2a+3b不能合并，故选项A错误，不符合题意；
2a6÷a2＝2a4，故选项B错误，不符合题意；
（3a3）2＝9a6，故选项C正确，符合题意；
2a2⋅3a3＝6a5，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2．（3分）若am＝2，an＝8，则am﹣n＝（ ）
A．﹣6B．C．10D．16
【考点】同底数幂的除法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用同底数幂的除法的逆运算解答即可．
【解答】解：∵am＝2，an＝8，
∴am﹣n＝am÷an＝2÷8＝．
故选：B．
【点评】本题侧重考查同底数幂的除法，底数不变，指数相减．
3．（3分）如图，下列条件：①∠DCA＝∠CAF，②∠C＝∠EDB，③∠BAC+∠C＝180°，④∠GDE+∠B＝180°．其中能判断AB∥CD的是（ ）
A．①④B．②③④C．①③④D．①②③
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】C
【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
【解答】解：①当∠DCA＝∠CAF时，AB∥CD，符合题意；
②当∠C＝∠EDB时，AC∥DB，不合题意；
③当∠BAC+∠C＝180°时，AB∥CD，符合题意；
④当∠GDE+∠B＝180°时，
又∵∠GDE+∠EDB＝180°，
∴∠B＝∠EDB，
∴AB∥CD，符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定是解题关键．
4．（3分）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳．则此时∠EDC的度数为（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】过C作CK∥AB，得到CK∥ED，由BC⊥AB，推出BC⊥CK，由垂直的定义得到∠BCK＝90°，求出∠DCK＝∠DCB﹣∠BCK＝50°，由平行线的性质推出∠EDC+∠DCK＝180°，即可求出∠EDC＝130°．
【解答】解：过C作CK∥AB，
∵ED∥AB，
∴CK∥ED，
∵BC⊥AB，
∴BC⊥CK，
∴∠BCK＝90°，
∵∠DCB＝140°，
∴∠DCK＝∠DCB﹣∠BCK＝50°，
∵CK∥DE，
∴∠EDC+∠DCK＝180°，
∴∠EDC＝130°．
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是过C作CK∥AB，得到CK∥ED，由平行线的性质来解决问题．
5．（3分）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题．
【答案】D
【分析】根据同位角相等两直线平行，要想得到CN∥OA，只要作出∠BCN＝∠AOB即可，然后再根据作一个角等于已知角的作法解答．
【解答】解：根据题意，所作出的是∠BCN＝∠AOB，
根据作一个角等于已知角的作法，是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选：D．
【点评】本题考查了基本作图，根据题意，判断出题目实质是作一个角等于已知角是解题的关键．
6．（3分）睡觉前小红在浴缸内缓缓放入温水，10分钟后关闭水龙头，小红洗澡时浴缸里的水还是溢出了一些，23分钟后泡澡结束，小红离开浴缸．下面正确反映出浴缸水位变化情况的图是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】C
【分析】根据题意10分钟关闭水龙头，说明从0至10分钟这段时间内，浴缸里的水从0开始逐渐升高；23分钟后泡澡结束，说明泡澡的时间大于放温水的时间；小红离开浴缸后，水位会下降一些．
【解答】解：A：图象说明泡澡的时间小于放入温水的时间，故A选项不符合题意；
B：图象说明浴缸里的水不是从0开始逐渐升高的，故B选项不符合题意；
C：图象说明浴缸里的水从0开始逐渐升高，泡澡的时间大于放入温水的时间，小红离开浴缸后，水位高度下降了一些，故C选项符合题意；
D：图象说明浴缸里的水不是从0开始逐渐升高的，小红离开浴缸后，水位高度没有下降，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了信息识别和判定函数图象，读图中有关信息时，一定要分析横轴与纵轴分别表示什么．
7．（3分）在实验课上，小亮利用同一块木板，测量了小车沿木板从不同高度h下滑的时间t，得到如表所示的数据，则下列结论不正确的是（ ）
A．在这个变化中，高度是自变量
B．当h＝40cm时，t约为2.66s
C．随着高度的增加，下滑时间越来越短
D．高度每增加10cm，下滑时间就减少0.24s
【考点】函数的表示方法；常量与变量．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】D
【分析】依据题意，根据列表法表示的函数，通过表格反映的规律，对每一个选项进行验证可以得解．
【解答】解：根据表格可知，高度是自变量，下滑时间是因变量，
∴A选项正确．
∵从表中的对应值可以看到当h＝40时，t＝2.66，
∴B选项正确．
∵从表中数据看到：当h由10逐渐增大到50时，t的值由3.25逐渐减小到2.56，
∴随高度增加，下滑时间越来越短．
∴C选项正确．
∵因为时间的减少是不均匀的，
∴D选项错误．
综上，只有D选项错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的表示方法，依据表格反映的规律回答问题是解题的关键．
8．（3分）在△ABC中，AD是BC边上的高的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】D
【分析】根据本题考查了三角形的高的定义判断即可．
【解答】解：A．AD不是BC边上的高，不符合题意；
B．AD不是BC边上的高，不符合题意；
C．AD不是BC边上的高，不符合题意；
D．AD是BC边上的高，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
9．（3分）下列各组图形中，不是全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】全等图形．
【专题】图形的全等；几何直观．
【答案】A
【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解．
【解答】解：观察发现，B、C、D选项的两个图形都可以完全重合，
∴B、C、D选项的两个图形都是全等图形，
A选项中两个图形不可能完全重合，
∴它们不是全等形．
故选：A．
【点评】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．
10．（3分）一个三角形的两边长分别为2和6，则第三边长可能是（ ）
A．1B．3C．4D．6
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．
【解答】解：设第三边为x，则6﹣2＜x＜6+2，
∴4＜x＜8，
所以第三边长可能是6．
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题填对得3分，共18分．只要求在答题纸上填写最后结果．
11．（3分）华为Mate60Pr于2023年8月29日开售，该款手机搭载的是华为自主研发的麒麟9000s芯片，该款芯片达到了7纳米工艺水平，1纳米＝0.000000001米，7纳米用科学记数法表示为： 7×10﹣9 米．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【答案】见试题解答内容
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
【解答】解：7纳米＝0.000000007米＝7×10﹣9米．
故答案为：7×10﹣9．
【点评】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（3分）古希腊一位庄园主把一边长为a米（a＞4）的正方形土地租给老农，第二年他对老农说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变”后来老农发现收益减少，感觉吃亏了．聪明的你帮老农算出土地面积其实减少了 16 平方米．
【考点】平方差公式的几何背景；列代数式．
【专题】实数；运算能力．
【答案】16．
【分析】由长方形和正方形的面积公式，根据“减少的面积＝边长变化前的面积﹣边长变化后的面积”，利用平方差公式计算即可．
【解答】解：a2﹣（a+4）（a﹣4）
＝a2﹣（a2﹣16）
＝16（平方米），
∴土地面积其实减少了 16平方米．
故答案为：16．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式并灵活运用是本题的关键．
13．（3分）如图，AB∥CD，EF⊥AB，垂足为点F，若∠1＝50°，则∠E＝ 40° ．
【考点】平行线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据平行线的性质求出∠2的度数，再由对顶角相等可得出∠3的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝50°，
∴∠2＝∠1＝50°．
∵∠2与∠3是对顶角，
∴∠3＝∠2＝50°．
∵EF⊥AB，
∴∠E＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
14．（3分）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 20 °．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】20．
【分析】由平行线的判定“同位角相等，两直线平行”可知，∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，即∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°即可．
【解答】解：当∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，
∵∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，
∴∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，熟知相关定理是解题基础．
15．（3分）一个角的余角比它的补角的还少40°，则这个角为 30 度．
【考点】余角和补角．
【专题】方程思想；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设这个角的度数为x，由题意列出方程90°﹣x＝，从而解决此题．
【解答】解：设这个角的度数为x．
由题意得，90°﹣x＝．
∴x＝30°．
∴这个角为30°．
故答案为：30．
【点评】本题主要考查余角与补角，熟练运用方程思想以及余角和补角的定义是解决本题的关键．
16．（3分）长方形的周长为24cm，其中一边长为x cm（其中x＞0），面积为y cm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为 y＝（12﹣x）x ．
【考点】函数关系式．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先利用x表示出长方形的另一边长，然后利用长方形的面积公式求解．
【解答】解：长方形的一边是xcm，则另一边长是（12﹣x）cm．
则y＝（12﹣x）x．
故答案为：y＝（12﹣x）x．
【点评】本题考查了列函数关系式，理解长方形的边长、周长以及面积之间的关系是关键．
三、解答题：本题共8小题，满分72分．在答题纸上写出必要的文字说明或演算步骤．
17．（8分）计算：
（1）﹣12x6y÷3x2y+（3x2）2；
（2）（4x﹣y）2+（2x+y）（2x﹣y）．
【考点】整式的混合运算．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】（1）5x4；
（2）20x2﹣8xy．
【分析】（1）先计算乘方，再计算除法，最后合并同类项；
（2）利用完全平方公式和平方差公式展开，最后再合并同类项．
【解答】解：（1）原式＝﹣4x4+9x4
＝5x4；
（2）原式＝16x2﹣8xy+y2+4x2﹣y2
＝20x2﹣8xy．
【点评】本题考查了整式的混合运算，解题关键是掌握整式混合运算顺序和运算法则．
18．（7分）下面是两位同学进行整式运算的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
化简：[（a+2b）（a﹣2b）﹣（a﹣2b）2]÷2b．
任务一：仔细检查小颖同学解题的过程，回答下列问题．
（1）第①处用到的乘法公式是 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ；（用字母表示公式）
（2）第②处错误的原因是 完全平方公式运用错误 ；
任务二：
（3）小明逆用乘法对加法的分配律，简便了运算，但其过程不完整，请你补全小明的过程．
【考点】整式的混合运算；完全平方公式；平方差公式；整式的除法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】任务一：（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）完全平方公式运用错误；
任务二：2a﹣4b．
【分析】任务一：（1）根据平方差公式，即可解答；
（2）根据完全平方公式，即可解答；
任务二：逆用乘法对加法的分配律进行计算，即可解答．
【解答】解：任务一：（1）第①处用到的乘法公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）第②处错误的原因是完全平方公式运用错误；
故答案为：（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）完全平方公式运用错误；
任务二：[（a+2b）（a﹣2b）﹣（a﹣2b）2]÷2b
＝（a﹣2b）[（a+2b）﹣（a﹣2b）]÷2b
＝4b（a﹣2b）÷2b
＝2（a﹣2b）
＝2a﹣4b．
【点评】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，整式的除法，准确熟练地计算是解题的关键．
19．（8分）将长为40cm，宽为15cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为5cm．
（1）根据图，将表格补充完整；
（2）设x张白纸粘合后的总长度为y cm，求y与x之间的关系式；
（3）你认为白纸粘合起来的总长度可能为2025cm吗？为什么？
【考点】一次函数的应用；规律型：图形的变化类．
【专题】规律型．
【答案】（1）180；
（2）y＝35x+5；
（3）不能使黏合的纸片总长为2025cm，理由见解析．
【分析】（1）根据图形结合题意可得答案；
（2）根据题意和所给图形可得出答案；
（3）把y＝2025代入（2）式时，看x的值是否为整数即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可得，
5张白纸黏合后的长度为：40×5﹣5×4＝180（cm），
故答案为：180；
（2）根据题意和所给图形可得出：y＝40x﹣5（x﹣1）＝35x+5，
（3）不能．理由如下：
令y＝2025得：2025＝35x+5，
解得：x≈57.7．
∵x为整数，
∴不能使黏合的纸片总长为2025cm．
【点评】本题考查的是函数关系式及探索图形变化的规律性知识，结合图形理清数量之间关系是解决此题关键．
20．（8分）如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，D、F分别为垂足，G是AB上一点，且∠1＝∠2．试说明：∠AGD＝∠ABC．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】证明过程见解答．
【分析】先判断BD∥EF，可证得∠1＝∠DBC，利用内错角相等可证明GD∥BC，进而根据平行线的性质可证明结论．
【解答】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，
∴BD∥EF，
∴∠1＝∠DBC，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DBC，
∴GD∥BC，
∴∠AGD＝∠ABC．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键．
21．（9分）先观察下列各式，再解答后面问题：
（x+5）（x+6）＝x2+11x+30；
（x﹣5）（x﹣6）＝x2﹣11x+30；
（x﹣5）（x+6）＝x2+x﹣30；
（x+5）（x﹣6）＝x2﹣x﹣30．
（1）乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？
（2）根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来；
（3）试用你写的公式，直接写出下列两式的结果．
①（m+100）（m﹣99）＝ m2+m﹣9900 ；
②（y﹣300）（y﹣84）＝ y2﹣384y+25200 ．
【考点】规律型：数字的变化类；因式分解﹣十字相乘法等；一元二次方程的一般形式．
【专题】规律型；创新意识．
【答案】（1）两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项；
（2）（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab；
（3）①m2+m﹣9900；②y2﹣384y+25200，
【分析】（1）根据乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项之间的规律作答；
（2）根据（1）中呈现的规律，列出公式；
（3）根据（2）中的公式代入计算．
【解答】解：（1）乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为：
两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项；
（2）公式为：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab；
（3）①（m+100）（m﹣99）
＝m2+（100﹣99）m+100×（﹣99）
＝m2+m﹣9900；
故答案为：m2+m﹣9900；
②（y﹣300）（y﹣84）
＝y2+（﹣300﹣84）y+（﹣300）×（﹣84）
＝y2﹣384y+25200．
故答案为：y2﹣384y+25200．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，规律型：数字的变化类，掌握规律是解题的关键．
22．（10分）某公交车每月的支出费用为7000元，票价为每人2元（不考虑任何优惠），设每月有x人乘坐该公交车，每月的收入与支出的差额为y元．
（1）请直接写出y与x之间的关系式；
（2）列表表示：当x的值分别为3000，3300，3600，3900，4200，4500时，y的值；
（3）该公交车每天早上6：00开班，晚上21：00收班，其中除去午餐1小时外，其余时间都在正常运行，且每一个往返准点运行120分钟．若每月按30天计算，求该公交车每次往返平均需乘坐多少人，每月盈利可达到3080元？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝2x﹣7000；
（2）﹣1000，﹣400，200，800，1400，2000；
（3）24．
【分析】（1）根据“收入与支出的差额＝票价×乘坐人数﹣每月的支出费用”作答即可；
（2）分别将x的值代入（1）中得到的关系式，求出对应y的值即可；
（3）设该公交车每次往返平均需乘坐m人，每月盈利可达到3080元，根据题意求出每天往返个数，再根据“收入与支出的差额＝票价×乘坐人数﹣每月的支出费用”列方程并求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，得y＝2x﹣7000，
∴y与x之间的关系式为y＝2x﹣7000．
（2）当x＝3000时，y＝2×3000﹣7000＝﹣1000；
当x＝3300时，y＝2×3300﹣7000＝﹣400；
当x＝3600时，y＝2×3600﹣7000＝200；
当x＝3900时，y＝2×3900﹣7000＝800；
当x＝4200时，y＝2×4200﹣7000＝1400；
当x＝4500时，y＝2×4500﹣7000＝2000．
（3）设该公交车每次往返平均需乘坐m人，每月盈利可达到3080元．
根据题意，每天往返的个数为（15﹣1）÷2＝7（个），
当2（7m×30）﹣7000＝3080时，解得m＝24，
∴设该公交车每次往返平均需乘坐24人，每月盈利可达到3080元．
【点评】本题考查一次函数的应用，根据“收入与支出的差额＝票价×乘坐人数﹣每月的支出费用”写出y与x之间的关系式是解题的关键．
23．（10分）如图，直线AD与AB、CD相交于A、D两点，EC、BF与AB、CD相交于E、C、B、F，如果∠1＝∠2，∠B＝∠C．说明∠A＝∠D．
【考点】平行线的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】要证明∠A＝∠D，只需证明AB∥CD．根据已知的∠1＝∠2和对顶角相等，可以得到BF∥CE．再根据平行线的性质和∠B＝∠C，就可得到∠C＝∠AEC，从而完成证明．
【解答】解：∵∠2＝∠AGB，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠AGB．
∴CE∥BF，
∴∠B＝∠AEC．
∵∠B＝∠C，
∴∠C＝∠AEC．
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠D．
【点评】本题考查了平行线的判定和平行线的性质及对顶角相等．
24．（12分）我们学过的乘法公式可以借助于图形来帮助解释、理解、记忆．
（1）请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式；
（2）请用两种不同的方法探究代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab的数量关系．
方法一：代数方法．
方法二：拼图的方法．（用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个正方形，画出你拼摆过程中能说明这几个式子数量关系的草图．）
（3）利用（2）中结论，当a﹣b＝9，ab＝﹣8时，求（a+b）2的值．
【考点】完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，方法见解析；（3）49．
【分析】（1）观察题图，根据阴影部分的面积不变得结论；
（2）通过计算阴影部分的面积，发现三组量间关系；
（3）把已知代入（2）的结论求解即可．
【解答】解：（1）图1、阴影部分的面积：
各个部分之和的面积等于大正方形面积：a2+2ab+b2＝（a+b）2；
图2、阴影部分的面积：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
图3、阴影部分的面积：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
（2）代数法：
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
则（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
拼图法：如图4：
∵，
，
∴（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．
（3）∵a﹣b＝9，ab＝﹣8
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
＝92+4×（﹣8）
＝81﹣32
＝49．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式及变形，看懂和理解题图是解决本题的关键．
考点卡片
1．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
2．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
3．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
4．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
5．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
6．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
7．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
8．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
9．整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
10．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
11．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
12．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
13．常量与变量
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如π是常量．
14．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
15．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
16．函数的表示方法
函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．
17．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
18．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
19．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
20．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
21．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
22．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
23．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
24．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
25．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
26．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/27 21:35:14；用户：实事求是；邮箱：18347280726；学号：37790395

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小颖的方法：
解：原式＝÷2b
＝（a2﹣4b2﹣a2﹣4b2）÷2b
＝﹣8b2÷2b
＝4b.
小明的方法：
解：原式＝（a﹣2b）[（a+2b）﹣（a﹣2b）]÷2b
＝…
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题号
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3
4
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6
7
8
9
10
答案
C
B
C
A
D
C
D
D
A
D
高度h/cm
10
20
30
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50
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下滑时间t/s
3.25
3.01
2.81
2.66
2.56
…
小颖的方法：
解：原式＝÷2b
＝（a2﹣4b2﹣a2﹣4b2）÷2b
＝﹣8b2÷2b
＝4b.
小明的方法：
解：原式＝（a﹣2b）[（a+2b）﹣（a﹣2b）]÷2b
＝…
白纸张数
1
2
3
4
5
…
纸条长度
40
180
110
145
y＝35x+5
…
x的取值范围
表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n
1≤|a|
＜10
整数的位数﹣1
|x|＜1
a×10﹣n
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）