选填02 复数（七大考点训练 真题模拟题练）-2025年高中数学二轮选填及解答突破讲练（新高考专用）

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【考点01 复数的实虚部及分类】
1．已知复数，则的实部为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【详解】，故其实部为.
故选：B.
2．已知复数，则的虚部为 .
【答案】
【详解】由题意可得，所以，故的虚部为.
故答案为：2.
3．已知，，若，为纯虚数，为实数，则（ ）
A．B．的虚部为C．D．
【答案】ACD
【详解】，故A正确；
，虚部为，故B错误；
为纯虚数，，即，故C正确；
为实数，，解得，故D正确.
故选：ACD
4．已知（为虚数单位）为实数，则实数的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【详解】由可得，
由于为实数，故，解得，
故选：D
5．复数，，若为实数，则 ．
【答案】
【详解】∵，
∵为实数，∴，即．
故答案为：.
【考点02 复数相等】
6．设为虚数单位，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
又，根据复数的相等，
故则
故选：B.
7．若，则 .
【答案】1
【详解】因为，
所以，即，
所以，解得.
故答案为：1.
8．若是虚数单位），则的值分别等于（ ）
A．4，B．4，C．0，D．0，
【答案】B
【详解】，，．
则，的值分别等于4，．
故选：B．
9．若复数z满足，则复数z的虚部是（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】C
【详解】设，根据题意，可得，
化简为，
根据复数相等，得，解得，
所以，即复数z的虚部是3.
故选：C
10．已知，且，则 ．
【答案】1
【详解】，
所以，解得.
故答案为：1
【考点03 复数的模】
11．已知是虚数单位，复数、在复平面内对应的点坐标分别为、，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，，，
.
故选：D.
12．已知复数，则 .
【答案】/
【详解】，
故.
故答案为：
13．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，得，
所以，
所以.
故选：B.
14．已知复数（为实数），若，则的值可能为（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】BC
【详解】由题意可知：，解得，
结合选项可知：BC正确；AD错误.
故选：BC.
15．已知复数，，且z在复平面上对应的点位于第二象限，则（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，
所以，解得，
又z在复平面上对应的点位于第二象限，所以．
故选：B.
【考点04 待定系数法求复数】
16．已知复数满足，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【详解】，则，则，
∴，∴，，
故选：B
17．已知模长均为1的复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】设，，由，得，
则，而，，
则，解得且，
对于AB，，，A正确，B错误；
对于CD，，，，C正确，D错误.
故选：AC
18．若，则复数z的实部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，依题意，，
即，于是，解得，，
所以复数的实部为.
故选：B
19．已知复数（a，，）满足，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【详解】将代入并整理得：
，
解得，所以，所以.
故选：D
20．若复数z的实部大于0，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】令，且，，
则
因为
根据复数相等有，解得：，．
所以.
故选：D.
【考点05 复数的几何意义】
21．已知复数，，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【详解】因为，
所以在复平面内对应的点为，位于第三象限，
故选：C.
22．在复平面内，复数，，则对应的点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】，
则其所对应的点的坐标为.
故选：C.
23．在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵，
由复数与对应的点关于虚轴对称，
∴．
故选：C.
24．在复平面内，向量对应的复数为，向星对应的复数为，则向量对应的复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以向量对应的复数为.
故选：D．
25．已知复数满足，若复数z在复平面上对应的点在第二或第四象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题可得，
，
因为复数z在复平面上对应的点在第二或第四象限，
故，
解得，
故选：A．
【考点06 复数范围内方程的根】
26．若（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，则（ ）
A．0B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】因为（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，所以，也是关于x的方程的一个根，
所以，由韦达定理得：
所以，.
故选：B
27．已知是关于的方程的一个根，，，则（ ）
A．B．16C．D．4
【答案】B
【详解】将代入方程，
得，解得，，
所以.
故选：B
28．若复数是方程的一个虚根，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【详解】因为方程的虚根成对出现，且互为共轭，所以一个根为时，另一个根必然为，
所以由根与系数的关系，.
故选：B.
29．已知虚数是方程的两个不同的根，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】由，得，则，
则.
故选：AC
30．已知方程的两个复数根分别为，，则 ．
【答案】
【详解】根据题意，，即，
解可得，，则，
故答案为：
【考点07 复数的轨迹问题】
31．已知复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】ACD
【详解】设，则其在复平面所对应的点坐标为，
由可得，
即，
由双曲线的定义可得，对应的点的轨迹是以为焦点的双曲线，
且焦点在轴上，，，，
则双曲线的标准方程为，
对于A，表示双曲线上的点到坐标原点的距离，
则双曲线上的点到坐标原点的距离最小值为顶点到原点的距离，即，
所以，故A正确；
对于B，由可得，且，
所以，，
则，故B错误；
对于C，若，则，所以，则，故C正确；
对于D，因为，则，又，所以，
由可得，则，故D正确；
故选：ACD
32．已知复数在复平面内表示一个圆周，则在复平面内表示的点构成的形状为：（ ）.
A．圆周B．椭圆周C．双曲线的一部分D．线段
【答案】D
【详解】表示点，故，
，由此可知表示：，在直线上，
又，所以表示一条线段.
故选：D.
33．i为虚数单位，若复数满足，复数满足，则的最小值为 ．
【答案】/
【详解】设，，
则，
由，得，
即，
则复数对应的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆面（包括边界）内，
设，，则，
由，得，
整理得，，
则复数对应的点是直线上一点，
又，
所以表示点与点之间的距离，
因为圆心到直线的距离为，
所以的最小值为.
故答案为：.
34．若复数z满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【详解】若复数z满足，则由复数的几何意义可知复数对应的点集是线段的垂直平分线，其中，
所以的最小值为.
故选：B.
35．已知复数（为虚数单位），则的最小值为（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】B
【详解】设，又，则，消去得，
所以复数z对应的复平面上的点在椭圆上，其右焦点为，，
表示复数与对应的点间的距离，即椭圆的点到右焦点的距离，
则最小值为，
所以的最小值为．
故选：B.
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）化简等于（ ）
A．1B．iC．-1D．
【答案】D
【详解】.
故选：D
2．（2024·江西·模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以，所以，故．
故选：D．
3．（2022·广东汕头·二模）已知复数z满足（i是虚数单位），则的值为（ ）
A．B．1C．D．2022
【答案】C
【详解】由已知可得，
因此，．
故选：C
4．（2024·江苏·二模）已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当，均为纯虚数时，设，，则有，
当时，显然，但是，都不是纯虚数”，
因此“，均为纯虚数”是“为实数”的充分不必要条件，
故选：A
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知是关于x的方程的一个根，，则（ ）
A．0B．2C．1D．4
【答案】D
【详解】因为是关于x的方程的一个根，，
所以是关于x的方程的一个根，
于是有，
故选：D
6．（2024·浙江·二模）已知，则（ ）
A．0B．C．1D．
【答案】C
【详解】因为，所以,
所以,
所以,
所以.
故选：C.
7．（2024·江西新余·模拟预测）已知复数满足：，为纯虚数，则这样的复数共有（ ）个.
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】法一：设，则的实部为且虚部不为，
，
则，，
因为，故，即，
则有，解得或或，
当时，，则，舍去；
当时，，即，则，舍去；
当时，，则，
故，即，共有两个.
综上所述，这样的复数共有两个.
法二：设的辐角为，，
表示将复数在复平面内逆时针旋转，
由几何图形的对称性：与在复平面内应关于轴对称，
则解得：或或或，
易知：时，，舍去，
故，故有两个不同的复数满足题意.
故选：B.
8．（2024·北京朝阳·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，由，可得，，
因为，所以，
所以，
所以，点在直线上，，
所以原点到的距离，
又，所以，所以，
所以与以为圆心，1为半径的圆总相切，
，所以的最小值为1的平方1，
所以，故A正确；B错误；
当时，，则，故C错误；
当时，，则，故D错误.
故选：A.
二、多选题
9．（2024·西藏拉萨·一模）已知复数，（为虚数单位），则（ ）
A．B．的虚部为
C．D．在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】AC
【详解】A选项：由，则，A选项正确；
B选项：的虚部为，B选项错误；
C选项：，，故，C选项正确；
D选项：，其在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限，D选项错误；
故选：AC.
10．（2024·25高三上·广东东莞·阶段练习）在复平面内，复数对应的向量分别为、，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【详解】设，则，
对于A，当时，，
则，故A错误；
对于B，，
，
所以，故B正确；
对于C，当时，，，
满足，但，故C错误；
对于D，当时，，
而，故D错误.
故选：ACD.
11．（2024·浙江杭州·模拟预测）设，则的值不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【详解】设，则，
可得，
所以，可知.
对于选项A：因为，故A不可能成立；
对于选项B：因为，方程组无解，故B不可能成立；
对于选项C：因为，方程组无解，故C不可能成立；
对于选项D：因为，解得，故D成立；
故选：ABC.
三、填空题
12．（2024·贵州黔南·一模）已知是虚数单位，复数满足，则 .
【答案】
【详解】，
所以.
故答案为：.
13．（2024·上海虹口·一模）已知非零复数满足，则的虚部为 ．
【答案】
【详解】设，则，
因为，，所以，解得或（舍去），
所以，则的虚部为.
故答案为：
14．（2024·吉林·模拟预测）复数满足，则 .
【答案】
【详解】设复数，
由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，
由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，
联立，解得，所以，
经检验，满足，
则.
故答案为：.
1．（2024·北京·高考真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意得.
故选：C.
2．（2024·全国·高考真题）设，则（ ）
A．−2B．2C．D．2
【答案】D
【详解】依题意得，，故.
故选：D
3．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．10D．
【答案】A
【详解】由，则.
故选：A
4．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ．
【答案】
【详解】.
故答案为：.
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】C
【详解】若，则.
故选：C.
6．（2024·广东江苏·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以.
故选：C.
7．（2023·全国·高考真题）（ ）
A．1B．2C．D．5
【答案】C
【详解】由题意可得，
则.
故选：C.
8．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ．
【答案】/
【详解】由题意可得.
故答案为：.
9．（2023·全国乙卷·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意可得，
则.
故选：B.
10．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，
由共轭复数的定义可知，.
故选：D
11．（2022·全国乙卷·高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得,即
故选:
12．（2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A．-1B．0 C．1D．2
【答案】C
【详解】因为，
所以，解得：．
故选：C.