精品解析：河南省信阳市等五市2025届高三下学期第一次联考数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1.本试卷共19道题，满分：150分，考试时间：120分钟.
2.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.
3.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
4.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（答字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
5.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
6.保持卷面清洁，不折叠、不破损.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，，，则是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且与的等差中项为4，则等于（ ）
A. B. C. D.
4. 若，，，则向量在向量上投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知角和的终边关于直线对称，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知定义在上函数与函数的图象有唯一公共点，则实数的值为（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
7. 某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 将椭圆上所有的点绕原点旋转角，得到椭圆的方程：，则下列说法中不正确的是（ ）
A. B.
C. 椭圆的离心率为D. 是椭圆的一个焦点
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在一次考试后的数学成绩分析中，分别采用简单随机抽样的方式抽取班的一组数据：，，，，，和班的一组数据：，，，进行分析.经计算，两组数据的平均数分别为，，方差分别为，.将两组数据合并为一组数据，则这组新数据的平均数和方差分别为（ ）
A. 平均数为85B. 平均数为86C. 方差为28D. 方差为52
10. 对于给定数列，如果存在常数p，q使得对于任意都成立，我们称数列是“数列”.下列说法正确的有（ ）
A. 若，，则数列是“数列”
B. 共，，则数列是“数列”
C. 若数列是“数列”，则数列不是“H数列”
D. 若数列满足，，t为常数，则数列前2024项的和为
11. 阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大物理学家、数学家、天文学家，他曾经定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线上两个不同点A，B横坐标分别为，，以A，B为切点的切线交于P点.关于阿基米德三角形PAB的说法正确的有（ ）
A. 若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上
B. 若为正三角形，则其面积为
C. 若，则的面积的最小值为
D. 一般情况下，的面积
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 展开式中的常数项为__________.
13. 已知三棱锥，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为_____.
14. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_____.
四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求；
（2）若，求的面积的最大值.
16. 2025年春节假期，文旅市场火爆.文化和旅游部公布的数据显示；春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长7.0%.某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额（单位：千元），得到与的数据如表所示：
（1）已知与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测春节假期第8天的营业额；
（2）如果该天营业额大于10（单位：千元），则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设表示“达标”的数据组数，求的分布列和数学期望.
参考公式：在线性回归方程中，，.
17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面ABCD，，.

（1）若为线段的中点，求证：平面.
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的正弦值.
18. 已知A，B两点坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点M，N.
（1）求曲线的方程；
（2）若以线段为直径的圆经过点.
①求证：直线过定点，并求出坐标；
②求三角形面积的最大值.
19. 已知函数，其导函数为.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，是函数的两个零点，求证：.
第天
1
2
3
4
5
6
7
营业额
7
9
10
12
16
19
11