湖北省新八校协作体2024-2025学年高三下学期2月联考数学试题 含解析

这是一份湖北省新八校协作体2024-2025学年高三下学期2月联考数学试题 含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
2.已知复数 在复平面内所对应的点位于第一象限，且 ，则复数 在复平面内所对应的点位于
( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.函数 ，则对任意实数 x，下列结论正确的是( )
A. 是偶函数，且在 R 上单调递增 B. 是奇函数，且在 R 上单调递增
C. 是奇函数，且在 R 上单调递减 D. 是偶函数，且在 R 上单调递减
4.已知向量 ， ，且 ，则 的面积为( )
A. B. C. D.
5.已知 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
6.如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是矩形， ， ，
，则该四棱锥的体积为( )
A. 1 B. 2 C. D.
7.费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点 P 为双
曲线 为焦点 上一点，点 P 处的切线平分 已知双曲线 ，O 为坐标原点，点
处的切线为直线 l，过左焦点 作直线 l 的垂线，垂足为 M，若 ，则双曲线 C 的离心率
为( )
第 1 页，共 1 页
（北京）股份有限公司
A. 2 B. C. D.
8.已知函数 的定义域为 R，且对任意 ，满足 ，且 ，则下
列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，
部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9.已知函数 ，若将 的图象向右平移 个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为
原来的 2 倍 纵坐标不变 ，得到函数 的图象，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的图象关于点 对称
C. 的图像关于直线 对称
D. 的图像与 的图像在 内有 4 个交点
10.函数 叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函数.已知函
数 ，则下列结论正确的是( )
A. 函数 在 上单调递减
B. 函数 既有极大值，也有极小值
C. 方程 有 2 个不同的实数解
D. 在定义域内，恒有
11.二元一次方程： 可以表示平面内所有的直线，二元二次方程
可以表示平面内所有的二次曲线.下列对二元二
次方程 所表示曲线的性质描述正确有( )
A. 曲线关于直线 对称
B. 曲线上点的纵坐标的范围是
C. 存在 ，使 与曲线相切
D. 过 的直线与曲线交于 A，B 两点， 的最小值为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
第 1 页，共 1 页
（北京）股份有限公司
12.现有 5 名志愿者被派往 A，B，C 三个小区参加志愿者活动，每个志愿者只能选其中一个小区， A 小区
安排 1 人， B 小区安排 2 人， C 小区安排 2 人.则不同的安排方案共有 种 用数字作答
13.已知直线 与曲线 相切，则直线 l 的方程为： .
14.在平面直角坐标系内，已知 ， ，若 的面积不超过 ，则满足
条件的整点 横纵坐标均为整数 的个数为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 13 分
在矩形 ABCD 中，点 E 在线段 CD 上，且 ， ，
求
若动点 M，N 分别在线段 EA，EB 上，且 与 面积之比为 ，试求 MN 的最小
值.
16. 本小题 15 分
秋收冬藏，穰穰满家.神州大地，又是一个丰收年 年我国粮食年产量首次迈上 万亿斤新台阶，实现
高位增产.某地农科院为研究不同土壤条件对大豆产量的影响，在该地区选取了一批试验田种植大豆，现随
机抽取了面积相等的 10 块试验田，得到各块试验田的亩产量 单位： ，并整理得下表：
亩产量
频数 1 3 2 4
现将亩产量不少于 200kg 的试验田记为“优等田”.
从这 10 块试验田中任选 3 块田，求恰有 1 块是“优等田”的概率;
以这 10 块试验田的检验结果来估计该地区不同土壤条件对大豆产量的影响，若从该地区随机抽取 3 块试
验田，记“优等田”的块数为 X，求 X 的分布列和期望.
17. 本小题 15 分
已知抛物线 的焦点到准线的距离为 1，过 x 轴下方的一动点 P 作抛物线 C 的两切线，
切点分别为 A，B，且直线 AB 刚好与圆 相切.设点 P 的轨迹为曲线 E，过点 的直线 l
与曲线 E 相交于 M，N 两点.
求抛物线的方程;
求点 P 的轨迹方程;
第 1 页，共 1 页
（北京）股份有限公司
设曲线 E 与 y 轴交点为 ，点 关于原点的对称点为 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，证
明： 是定值.
18. 本小题 17 分
如图，在平面四边形 ABCD 中， 为等腰直角三角形， 为正三角形， ，
，现将 沿 AC 翻折至 ，形成三棱锥 ，其中 S 为动点.
证明：
若 ，三棱锥 的各个顶点都在球 O 的球面上，求球心 O 到平面 SAC 的距离;
求平面 SAC 与平面 SBC 夹角余弦值的最小值.
19. 本小题 17 分
已知函数 ，
求 在 处的瞬时变化率;
若 恒成立，求 a 的值;
求证： ，
第 1 页，共 1 页
（北京）股份有限公司
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意，得 ，
所以
故选：
2.【答案】C
【解析】解：设 ，因为复数 在复平面内所对应的点位于第一象限，所以 ，
，
又 ，所以 ，即 在复平面内所对应的点位于第三象限.
故选：
3.【答案】B
【解析】解： ，
是奇函数.
函数的定义域为 R，
是增函数， ，是增函数，
故选：
4.【答案】A
【解析】解：因为 ，所以 ，
故 ，解得
故 ， ，
又因为 为直角三角形，
则面积 ，
故选：
5.【答案】A
第 1 页，共 1 页
（北京）股份有限公司
【解析】解：根据题意，可得 ，
将 代入，得 ，
所以 ，可得
所以
故选：
6.【答案】B
【解析】解：如图，分别取 AB，CD 的中点 E，F，连接 PE，PF，EF，
则 ， ，且 ，PE， 平面 PEF，
可知 平面 PEF，且 平面 ABCD，
所以平面 平面 ABCD，过 P 作 EF 的垂线，垂足为 O，即 ，
由平面 平面 ， 平面 PEF，
所以 平面 ABCD，
由题意可得： ， ， ，则由余弦定理得， ，
故 ，可得 ， ，
所以四棱锥的高为
故该四棱锥的体积
故选：
7.【答案】B
第 1 页，共 1 页
（北京）股份有限公司
【解析】解：如图，
延长 交 延长线于点 N，
因为点 M 是 的角平分线上的一点，且 ，
所以点 M 为 的中点 三线合一 ，所以 ，
又点 O 为 的中点，所以 ，
故 ，
所以 ，即 ，代入点 得 ，
所以
故选：
8.【答案】D
【解析】解：因为 ，
由累加法得： ， ， ，
所以 ，所以 ，
故 故 A，B 错误;
再由累加法得： ， ， ，
所以 ，故 ，故 C 错误，D 正确.
故选
9.【答案】BD
【解析】解：对于 将函数 的图象向右平移 ，可得函数
的图象;
第 1 页，共 1 页
（北京）股份有限公司
再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 得到函数 的图象，故 A 错误;
对于 令 ， ，得 ， ，所以 的图象关于点 对称，故 B 正确
;
对于 令 ， ，得 ， ，故 C 错误;
对于 分别画出 与 在 内的图像，可知有 4 个交点，故 D 正确;
故选：
10.【答案】BCD
【解析】解：对于 A， ，定义域为 ，则 ，
所以当 或 时， ，当 或 时， ，
即函数在 和 上单调递增，在 和 单调递减.
当 时， ， ， ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
又 ， ，
所以函数 的大致图象如下所示，故 A 错误;
第 1 页，共 1 页
（北京）股份有限公司
对于 B，函数 的极大值为 1， 的极小值为 ，故 B 正确；
对于 C，令 ，则 有 1 个零点 ，故方程 有两个实数解，故 C 正确；
对于 D，构造 ，所以 关于点 对称，故 ，
即 ，化简得 ，故 D 正确.
故选：
11.【答案】ABD
【解析】解：对 将 x 换成 y，y 换成 x，方程不变，故方程 ，所表示曲
线关于直线 对称，故 A 正确;
对
，
，故 B 正确；
对 联立 ，可得：
，
第 1 页，共 1 页
（北京）股份有限公司
即 ，有唯一交点，无论 m 为何值， 与曲线均不
相切，故 C 错误；
对 【方法一】由 A 选项可知，曲线关于 对称，
故联立 ，化简得 ，解得
， ，
故 的最小值为
【方法二】若直线斜率不存在，则 ，即
，解得： ， ；
若直线斜率存在，联立 ，
得：
，
所以 ，
，
令 ，故当 ，
第 1 页，共 1 页
（北京）股份有限公司
取最小值 2，此时 ，
故 D 正确.
故选：
12.【答案】30
【解析】略
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】24
【解析】略
15.【答案】解： 【方法一】设 ，则 ， ，而 ，
在 中，由余弦定理得 ，
化简得 ，
解得 或 舍去 ，
所以 ；
【方法二】作 ，垂足为 F，设 ， ， ，
则 ， ，又 ，
所以 ，解得 舍去 ，所以 ；
设 ， ，由 ，由题： ，
，又 ，
，
由余弦定理得： ，当且仅当 时取等
号，
第 1 页，共 1 页
（北京）股份有限公司
的最小值为
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解： 设抽取的 3 块试验田中恰有 1 块是“优等田”为事件 A，则 ，
因此，从 10 块试验田中任选 3 块田，恰有 1 块是“优等田”的概率为
由题意可知，从这 10 块试验田中任选 1 块田，恰好是“优等田”的概率为 ，
由题可知 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，则 X∽ ，
， ，
， ，
X 0 1 2 3
P
故
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解： 依题意， ，故抛物线的方程为
设 ， ， ， ，
可得 ，化为 ，
同理 PB 方程为： ，
设 ，则有 ， ，
说明 ， 都在直线 上，
即 AB 方程： ，又 AB 与圆 相切，
第 1 页，共 1 页
（北京）股份有限公司
，可化为 ，
点轨迹方程为 ；
依题意， ， ，
设直线 l 的方程为 斜率存在 ， ， ，
由 消去 y 并整理得 ，
则 ， ，即 ，
由直线 l 与双曲线的下支交于 M，N 两点，得可得 ，解得 ，
所以 ，
故 ，为定值.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解： 证明：取 AC 的中点为 E，连结 SE，BE，
，且 AC 的中点为 E， ，
又 ，且 AC 的中点为 E， ，
第 1 页，共 1 页
（北京）股份有限公司
又 ，SE， 面 SBE， 面 SBE，
面 SBE， ；
当 时，由 ≌ 得 ，
取 BS 的中点 O，连接 OA，OC，
故点 O 到 A、B、C、S 四点的距离相等，
故 O 点即为三棱锥 外接球的球心.
因为 ， ，故 ， ， ，
设 S 到平面 ABC 的距离为 ， B 到平面 SAC 的距离为 ，
由等体积法得 得 ，
而 ，所以 ，
故 ，从而 ，
故 O 点到平面 SAC 的距离为
以 B 为原点，BC，BA，BZ 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 ，过点 S 作平面 ABC 的垂线，
垂足为 O，
设 ，即为翻折过程中所旋转的角度，则 ，
， ，
第 1 页，共 1 页
（北京）股份有限公司
故 ， ， ， ，
，
设平面 SBC 的法向量 ，
则
取 ，则 ，
设平面 SAC 的法向量 ，
则
取 ，则 ， ，
，
设平面 SAC 与平面 SBC 夹角为 ，
，
，
令 ，显然 ，
，
当且仅当 ，即 时取等号.
故平面 SAC 与平面 SBC 夹角的余弦值的最小值为 ，此时
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
第 1 页，共 1 页
（北京）股份有限公司
19.【答案】解： ，则 ，
在 处的瞬时变化率为
令 ， ，由条件知 恒成立，
因为 ，又 的图像在定义域上是连续不间断的，
所以 是 的一个极大值点，则 ，又 ，
所以 ，得 ，
下证当 时， 对任意 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增，在 上单调递减，
，即 ，而 ，
所以，当 时， 恒成立.
综上，若 恒成立，则
由 可知 ，
先证 ， ，
令 ， ， ，
则 在 上单调递减， ，即 ， ，
所以 ，
再证 ，
令 ，
，
所以 在 上单调递增，
则 ，即 ，
第 1 页，共 1 页
（北京）股份有限公司
令 即得 ，
又 ，得 ， ， ，
所以 ，
综上， ，
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
第 1 页，共 1 页
（北京）股份有限公司