2024-2025学年安徽省六安市裕安区新安中学高一下学期3月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省六安市裕安区新安中学高一下学期3月月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角θ的终边经过点 2,−1，则sinθ=( )
A. 63B. − 63C. 33D. − 33
2.在四边形ABCD中，已知AB=−CD,AD−AB=AD，∠ABD=60 ∘，则四边形ABCD一定是( )
A. 等腰梯形B. 正方形C. 矩形D. 菱形
3.已知角α∈0,π，向量a=1, 3，b=csα,sinα，若a//b，则α=( )
A. 2π3B. π3C. π4D. π6
4.已知csα+π3= 66，则cs2α+2π3=( )
A. −35B. 35C. 23D. −23
5.若两个单位向量a,b满足a−3b=2a+b，则a与b夹角的余弦值为( )
A. 16B. 15C. 13D. 12
6.中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物，如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“马”“帅”“炮”“兵”分别位于A，B，C，D四点，则DB−DA⋅CD=( )
A. −3B. −32C. 3 22D. 3
7.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若 3a=b 3csC+sinC，且a+c=4，则b的最小值是( )
A. 3B. 2C. 2 2D. 2 3
8.在同一平面内，设|AB|=1，动点M满足AM2−BM2=c(c为常数)，则下列不正确的是( )
A. 若c=13，则存在满足条件的点M使得AM=2MB
B. ∀c∈R，点M构成的集合是垂直于线段AB的一条直线
C. 若c=1，则点M，A，B可构成一个直角三角形
D. 若c=3，则MBmin=1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组向量中，不可以作为基底的是( )
A. e1=0,0,e2=1,2B. e1=−1,2,e2=5,7
C. e1=3,5,e2=6,10D. e1=2,−3,e2=12,−34
10.如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θ(θ≠π2)角的两条数轴，e1，e2分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ斜坐标系.若OM=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做向量OM的斜坐标，记为OM=(x,y).在θ=5π6的斜坐标系中，a=( 3,2)，b=(−2, 3)，则下列结论中正确的是( )
A. a−2b=( 3+4,2−2 3)
B. |a|= 7
C. a⊥b
D. a在b方向上的投影向量为(− 313,326)
11.定义两个非零平面向量的一种新运算a∗b=|a||b|⋅sin⟨a,b⟩，其中⟨a,b⟩表示a,b的夹角，则对于两个非零平面向量a,b，下列结论一定成立的有( )
A. a在b上的投影向量为|a|sin⟨a,b⟩⋅b|b|
B. (a∗b)2+(a⋅b)2=|a|2|b|2
C. λ(a∗b)=(λa)∗b
D. 若a∗b=0，则a//b
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一艘船以4km/ℎ的速度沿着与水流方向成120∘的方向航行，已知水流速度为2km/ℎ，则经过2ℎ，船的实际航程为 km．
13.已知向量a=m,−3，b=2m,m+5，且a⊥a+b，则正数m= ．
14.在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=12DE,BE=λBA+μBC，则λ+μ= ；若F为线段BE上的动点，G为AF中点，则AF⋅DG的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数fx=sin2x+cs2x+2sinπ−xcsπ+xsin(9π2−x)+cs(13π2+x)．
(1)求f(5π12)的值；
(2)已知fα= 2，求sinα的值．
16.(本小题15分)
设a=1,1,b=sinx,csx,fx=a⋅b，求：
(1)fx的值域，周期；
(2)fx的对称轴、对称中心；
(3)fx的单调区间．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且csB=2a+b2c．
(Ⅰ)求C;
(Ⅱ)已知b=3，D为AB边上一点，且BD=2DA，∠ACD=∠ABC，求CD．
18.(本小题17分)
如图所示，在▵ABC中，∠BAC=120 ∘，AB=AC=3，点D在线段BC上，且DC=2BD.求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
19.(本小题17分)
在▵ABC中，设AB=a,AC=b,a=3,b=4,a,b=π3，点D是线段BC中点，点E是线段AC的靠近点C的三等分点．
(1)求cs∠EFD的值；
(2)请用a,b来表示CF
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.D
5.D
6.A
7.B
8.C
9.ACD
10.AD
11.BD
12.4 3
13.2
14.43；−518
15.解：(1)因为fx=sin2x+cs2x+2sinπ−xcsπ+xsin(9π2−x)+cs(13π2+x)
=sin2x+cs2x−2sinxcsxcsx−sinx=(csx−sinx)2csx−sinx=csx−sinx，
故f(5π12)=cs5π12−sin5π12=cs(π4+π6)−sin(π4+π6)
= 22( 32−12)− 22( 32+12)=− 22；
(2)由fα=csα−sinα= 2，可得 2cs(α+π4)= 2，即cs(α+π4)=1，
则有α+π4=2kπ,k∈Z，即α=−π4+2kπ,k∈Z，于是sinα=sin−π4=− 22．

16.解：(1)由a=1,1,b=sinx,csx，
则fx=a⋅b=sinx+csx= 2sinxcsπ4+sinπ4csx= 2sinx+π4，
易知fx∈− 2, 2，最小正周期T=2π，则周期为2kπ，k∈Z且k≠0．
(2)由(1)可得fx= 2sinx+π4，
令x+π4=π2+kπ，k∈Z，解得x=π4+kπ，k∈Z；
令x+π4=kπ，k∈Z，解得x=−π4+kπ，k∈Z．
所以函数fx的对称轴为直线x=π4+kπ，k∈Z；对称中心为−π4+kπ,0，k∈Z．
(3)由(1)可知fx= 2sinx+π4，
令−π2+2kπ≤x+π4≤π2+2kπ，k∈Z，解得−3π4+2kπ≤x≤π4+2kπ，k∈Z；
令π2+2kπ≤x+π4≤3π2+2kπ，k∈Z，解得3π4+2kπ≤x≤5π4+2kπ，k∈Z
所以函数fx的单调递增区间为−3π4+2kπ,π4+2kπ,k∈Z；单调递减区间为π4+2kπ,5π4+2kπ,k∈Z．

17.解：(Ⅰ)由csB=2a+b2c可得csB=2sinA+sinB2sinC，
即2sinCcsB=2sin(B+C)+sinB，
所以2sinBcsC+sinB=0，
又因为sinB≠0，
所以csC=−12，
因为C∈(0,π)，
所以C=2π3;
(Ⅱ)由题可知，△ADC与△ACB相似，
则ADAC=ACAB，
设AD=t，
则AB=3t，
因为t3=33t，
故t= 3，
所以AB=3 3，
在△ABC中，AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cs2π3，
解得BC=3，
所以∠A=∠B=π6，
则△ADC为等腰三角形，
所以CD=AD= 3．
18.解：(1)设AB=a，AC=b，
则AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC=23a+13b．
∴|AD|2=AD2=23a+13b2=49a2+2×29a⋅b+19b2=49×9+2×29×3×3×cs120 ∘+19×9=3，
∴AD= 3．
(2)设∠DAC=θ，则向量AD与AC的夹角为θ．
∵csθ=AD⋅ACADAC=23a+13b⋅b 3×3=13b2+23a⋅b3 3=13×9+23×3×3×cs120 ∘3 3=0，
∴θ=90 ∘，即∠DAC=90 ∘．

19.解：(1)cs∠EFD=csBE,AD=BE⋅ADBE⋅AD，注意到BE=BA+AE=−AB+23AC,AD=12AB+12AC，
所以BE⋅AD=−12AB2+13AC2−16AB⋅AC=−12⋅32+13⋅42−16⋅3⋅4⋅12=−16，
BE= −AB+23AC2= 32+49⋅42−43⋅3⋅4⋅12= 733，
AD=12 AB+AC2=12 32+42+2⋅3⋅4⋅12= 372，
所以cs∠EFD=BE⋅ADBE⋅AD=−1 73⋅ 37=− 27012701；
(2)由三点共线，可设CF=λCB+1−λCE=μCD+1−μCA⇒λ−μ2CB=1−μ−1−λ3CA，
由于CB,CA不共线，所以只能λ−μ2=01−μ−1−λ3=0⇒λ=25μ=45,
所以CF=25CB+35CE=25CB+15CA=25CA+AB+15CA=25AB−35AC=25a−35b．