中考数学一轮复习备考知识清单25 统计与概率

这是一份中考数学一轮复习备考知识清单25 统计与概率，共13页。学案主要包含了解法通法，规律总结，方法总结，技巧点拨等内容，欢迎下载使用。
全面调查与抽样调查
总体、个体、样本与样本容量
【注意】
（1）总体、个体与样本的考察对象是相同的，不同的是考察范围的大小；
（2）样本容量是样本中个体的数目，不带单位.
条形图、扇形图、折线图的对比
频数分布表
组距：把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距.
【注意】一般情况下，每小组的组距是相等的
组数：分成组的个数叫做组数.
频数：落在各个小组内的数据的个数叫做频数.
【注意】
（1）频数是指落在各个小组内的数据的个数，一般通过划记法得出每组的频数.
（2）各个小组的频数之和等于数据总数.
频数分布表：数据的频数分布表反映了在一组数据中各数据的分布情况.要全面地掌握一组数据，必须分析这组数据中各个数据的分布情况.
频数分布直方图
1.为了更直观形象地看出频数分布的情况，可以根据频数分布表画出频数分布直方图.画频数分布直方图的基本步骤如下：
（1）计算最大值与最小值的差，确定数据值的变化范围；
（2）决定组距和组数，当数据在100个以内时，按照数据的多少，常分成5~12组；
（3）列频数分布表；
（4）画频数分布直方图.
【注意】
（1）将数据进行分组，要做到不重不漏.“不重”是指一个数据只能分在其中的一个组内，不能再其他组中重复出现；“不漏”是指在分成的所有组内，每个数据都能分在其中的一个组内，不能遗漏.
（2）组距和组数的确定没有固定的标准，要凭借经验和所研究的具体问题来决定，根据问题的需要，各组的组距可以相同或不同.
2.频数分布直方图的构成
频数分布直方图由横轴、纵轴、小长方形三部分构成.
横轴表示分组情况，纵轴表示频数与组距的比值.因此，小长方形的面积=.
等距分组时，各小长方形的面积（频数）与高的比是常数（组距）.因此，画等距分组的频数分布直方图时，为画图与看图方便，通常直接用小长方形的高表示频数.
3.等距分组的频数分布直方图的具体画法：
（1）画两条互相垂直的轴：横轴和纵轴；
（2）在横轴上划分一些相互衔接的线段，每条线段表示一组，在每条线段的左端点表明这组的下限，在线段的右端点标明其上限；
（3）在纵轴上划分刻度，并用自然数标记；
（4）以横轴上的每条线段为底各作一个长方形立于横轴上，使各长方形的高等于相应的频数.
【注意】在画等距分组的频数分布直方图时，各长方形的宽度要一致，且相邻长方形之间没有间隙.
算术平均数
算术平均数：一般地，如果有个数，那么我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作，则.
【注意】
（1）一组给定的数据的平均数是唯一的；
（2）平均数的大小与所给数据里的每个数据都有关，其中任何一个数据的变动都会引起平均数的变动.
（3）平均数的单位与原数据的单位一致.
【重点】平均数的性质
若一组数据的平均数为，则
（1）数据的平均数为；
（2）数据的平均数为；
（3）数据的平均数为.
加权平均数
（1）一般地，若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数.
（2）在求个数的平均数时，如果出现次，出现次，···，出现次（这里），那么这个数的平均数也叫做这个数的加权平均数，其中分别叫做的权.
【注意】
（1）加权平均数的单位与原数据的单位一致；
（2）当一组数据中某些数据重复出现时，一般选用加权平均数公式来求平均数；
（3）在加权平均数公式中，分子是各数据与其权乘积的和，分母为权的和.
用样本平均数估计总体平均数
1.组中值：数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数叫做这个小组的组中值.
2.用样本的平均数估计总体的平均数：当所要考查的对象很多，或者对考查对象带有破坏性时，统计中常常通过用样本估计总体的方法来获得对总体的认识.例如，实际生活中经常用样本的平均数来估计总体的平均数.
中位数
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.
【注意】
（1）确定中位数时，一定要按照大小排序；
（2）一组数据的中位数时唯一的，它可能是这组数据中的某个数，也可能不是这组数据中的数；
（3）中位数的单位与原数据的单位一致.
众数
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
【注意】
（1）众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现的次数.
（2）众数的单位与原数据的单位一致.
（3）众数可能是一个或多个.在一组数据中，当出现次数最多的数据只有一个时，这组数据的众数只有一个；当出现次数最多的数据不止一个时，这组数据的众数就有多个；当每个数据出现的次数相同时，这组数据就没有研究众数的必要了.
方差
1.方差的概念：设有个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是
，我们用这些值的平均数来衡量这组数据波动性的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作.
2.方差的计算公式：若个数据的平均数为，则方差.
3.求方差的一般步骤：①求原始数据的平均数；②求原始数据中各数据与平均数的差；③将所得的差分别平方；④求③中所得数据的平均数.
4.方差的意义：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
【重点】
（1）方差是用来描述一组数据中的每一个数据与这组数据的平均数的偏离程度的量.经常用方差的大小来判断数据的稳定性.
（2）当两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时，通过比较两组数据的方差来说明数据的稳定性.
（3）方差的单位是原始数据单位的平方，只是一个单位，并无实际意义.
极差、平均差、标准差
1.极差：一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差.
2.平均差：一组数据中各个数据与其平均数的差的绝对值的平均数叫做这组数据的平均差，即平均差.
3.标准差：标准差是方差的算术平方根，即.
确定性事件与随机事件
【注意】一般地，判断事件的类型是在一定条件下进行的，不同的条件可能会导致不同的事件归类，如标准大气压下，水加热到100℃沸腾是必然事件，但当气压高于标准大气压时，水的沸点提高，水加热到100℃沸腾就不是必然事件了.
【重点】
（1）确定性事件在事件发生前是可以预知结果的，即事件的发生或不发生具有必然性；随机事件在事件发生前是不能预知结果的，也称为“偶然性事件”.
（2）一般地，描述真理或客观存在的事实的事件是必然事件；描述违背真理或客观存在的事实的事件是不可能事件.
概率
1.概率：一般地，对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记为.
2.概率的计算：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率.
【注意】试验需有以下两个共同特点时才能使用上述计算概率的方法：
（1）每一次试验，可能出现的结果只有有限个；
（2）每一次实验，各种结果出现的可能性相等.
3.概率的取值范围：
（1）当为必然事件时，；
（2）当为随机事件时，；
（3）当为不可能事件时，.
4.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1,；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0.
【重点】
（1）计算简单事件的概率的主要类型：①个数类型：如摸球、掷骰子等可以表示出所有可能出现的结果的试验；②面积类型：如果随机试验是向区域内掷一点，那么掷在区域（在内）内的概率.
（2）同一事件，发生的概率与不发生的概率之和为1.
（3）随机事件的概率从数值上反映了随机事件发生的可能性的大小.概率是一个常数，不会受重复试验结果的影响.
（4）事件发生的概率大，并不能说明事件一定发生，只能说明事件发生的可能性大；反之，事件发生的概率小，并不能说明事件一定不发生，只能说明事件发生的可能性小.
用直接列举法（枚举法）求概率
当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时，就可以直接列举出所有等可能的结果，再利用概率公式（在一次试验中，有种等可能的结果，事件包含其中的种结果）求事件发生的概率.
【注意】
（1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏.
（2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个；②每个结果出现的可能性相等.
（3）所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
用列表法求概率
1.列表法就是用表格的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
2.适用条件：当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法.
3.具体步骤：
（1）选其中的一次操作（或一个条件）为横行，另一次操作（或另一个条件）为竖列，列出表格；
（2）运用概率公式计算概率.
【注意】在运用列表法分析随机事件发生的概率时，注意行与列的意义及行、列中量的区别，如与表示不同的结果.
【重点】
（1）用列表法列举所有可能出现的结果时，要注意“放回”与“不放回”的区别.
（2）列表法适用的条件还可以理解为：各种结果出现的可能性相等，含有两次操作（如掷一枚骰子两次）或两个条件（如两个转盘）的事件.
用画树状图法求概率
1.画树状图法是用树状图的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
2.适用条件：当一次试验涉及两个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有等可能的结果，通常采用画树状图法.
【重点】
（1）用列举法求事件的概率包括直接列举法、列表法和画树状图法，用列举法求概率时，各种结果出现的可能性必须相同，必须列举出所有可能的结果，不能重复也不能遗漏.
（2）当试验包括两步时，用列表法比较方便，当然此时也可以用画树状图法；当试验包含三步或三步以上时，不能用列表法，用画树状图法比较方便.
（3）树状图中，从左到右（或从上往下），每一条路径都表示一种可能的结果，并且每种结果出现的可能性相同.
利用频率估计概率
1.概率：试验中，某事件发生的次数与总次数的比值叫做频率.
2.用频率估计概率：从长期实践中，人们观察到对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件发生的概率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性.因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.
适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般通过事件发生的频率来估计其概率.
计算方法：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定于某个常数，那么估计事件发生的概率.
【注意】用频率估计概率时，必须做足够多的试验才能使频率趋于稳定，并且每次试验必须在相同条件下进行，试验次数越多，得到的频率值就越接近概率，规律就越明显，此时可以用频率的稳定值估计事件发生的概率.
3.频率与概率的区别与联系
【重点】
用频率估计的概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验中反映的规律并不意味着在每一次的试验中一定出现.也就是说，即是某事件发生的概率非常大，但在一次试验中，也不一定发生；即使某事件发生的概率非常小，但在一次试验中，也可能发生.
方法点拨
考向一 统计初步
1.解平均数、中位数和众数的问题
平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势，平均数的大小与这组数据中的每个数据都有关，中位数与数据的排列顺序有关，众数主要研究数据出现的次数.
在实际问题的情境中选择恰当的数据代表对数据作出评判或决策，有时需要根据题目给出的数据代表（如“从平均数和众数相结合看”）对数据作出评判.在一组数据中，若无极端值，且这组数据比较接近，则可用平均数表示这组数据的集中情况；在一组数据中，若存在极端值，则平均数不能准确表示这组数据的集中情况，而中位数受极端值的影响较小，故可用中位数表示这组数据的集中情况；当一组数据中有个别数据多次重复出现，以至于其他数据的作用相对较小时，可用众数表示这组数据的集中情况.
【解法通法】求一组数据的平均数的两种方法
（1）定义法：表示这组数据的平均数，其中表示数据的总个数，表示各个数据.
（2）新数据法：当所给数据都在某个常数附近波动时，通常取接近这组数据的平均数的较“整”的数，计算各数据与的差，分别得到，则有.
2.解一组数据的方差问题
设有个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是我们用这些值的平均数，即用来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作.
方差反映一组数据的波动大小，方差越大，数据的波动越大.
【规律总结】
（1）若的平均数为，方差为，则的平均数为，方差仍为；
（2）若的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为；
（3）若的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为.
3.调查方式的选择问题
调查分为全面调查（普查）和抽样调查，全面调查（普查）数据准确，但耗时费力；抽样调查工作量较小，但数据欠准确.选择全面调查（普查）还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用.一般来说，对于具有破坏性、无法进行全面调查（普查）、全面调查（普查）的意义或价值不大的调查，应选择抽样调查；对于精确地要求高、事关重大的调查往往选用全面调查（普查）.
4.与总体、个体、样本和样本容量有关的问题
要考查的全体对象是总体，每一个考查对象是个体，抽取的部分个体是总体的一个样本，样本中个体的数目是样本容量.
5.解频数、频率与直方图的问题
频数是指在数据统计中每个对象出现的次数，频数分布反映了样本数据落在各个范围内数目的多少；频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值，频率分布反映了样本数据在各个范围内所占的比例.各小组的频数之和等于数据总数，各小组的频率之和等于1.
6.解统计图问题
常用的统计图有扇形统计图、条形统计图和折线统计图.扇形统计图能清晰地体现出各部分占总体的百分比，条形统计图能得到每小组的频数，折线统计图能看出数据的变化趋势，解决问题时要根据需要选择合适的统计图.
【点拨】绘制扇形统计图的步骤
（1）计算各部分在总体中所占的百分比；
（2）计算各部分对应扇形的圆心角的度数即该部分占总体的百分比；
（3）取适当的半径画圆，在圆内画出各个扇形；
（4）在扇形统计图中标出各部分的名称和所占的百分比.
考向二 概率
1.解确定事件和随机事件的识别问题
事件的分类情况如下：
【划重点】
（1）随机事件发生的可能性有大小之分，可以用“可能性极小”“不太可能”“可能”“很可能”“可能性极大”等来描述.
（2）我们说两个事件发生的可能性一样，是指这两个事件发生的可能性的大小相同.
（3）不大可能发生的事件是指事件发生的可能性很小，但还是有可能发生，因此它是随机事件；不可能事件是可以预知、确定一定不会发生的事件.
【方法】比较随机事件发生的可能性大小的方法
比较随机事件发生的可能性大小时，可在相同的条件和总数一定的情况下，通过可能出现的结果数进行比较，结果数越多，则这个事件发生的可能性越大.
2.解概率意义的理解问题
一般地，对于一个随机事件，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率.一个概率很大的事件在某一次试验中不一定会发生，一个概率很小的事件在某一次试验中不一定不会发生.
【方法总结】
如果用表示一个事件（记作）发生的概率，那么.特别地，当为必然事件时，；当为不可能事件时，；当为随机事件时，.无论一个随机事件发生的概率有多大（如99%），也不能说明改时间一定会发生.
3.解简单随机事件发生的概率问题
一般来说，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率，当无法用个数量化时，可用求事件的概率.求简单随机事件发生的概率一般利用概率公式直接计算.
4.用列举法求概率的问题
画树状图或列表是列举所有机会均等的结果的重要方法，通过画树状图或列表，把所有机会均等的结果一一列出，有利于帮助我们分析问题，并且可以避免出现重复和遗漏.
【解法通法】用列表法求概率
当试验含有两个因素，且可能出现的结果比较多时，用直接列举法易出错，为了不重不漏地列出所有可能的结果，用列表法较好.用列表法求概率的步骤：（1）列表，即通过表格计数，确定所有等可能的结果数和关注的结果数；（2）利用概率公式计算出时间的概率.
列表时，将第一张可能出现的结果作为横行（竖列），第二张可能出现的结果作为竖列（横行），注意排除不符合题意的情况.
【解法通法】用画树状图法求概率
当试验有三步时，适合采用画树状图的方法列举出所有可能的结果，用画树状图求概率的步骤：（1）将第一步可能出现的种等可能的结果写在第一层；（2）若第二步有种等可能的结果，则在第一层的每个结果下画出个分支，将这种结果写在第二层，依次类推，画出第三层；（3）根据树状图求出所关注事件包含的结果数及等可能的结果数，再利用概率公式求解.
5.用频率估计概率的问题
频率是试验值，具有随机性，是不确定的，因此，只能近似地反映事件出现可能性的大小；概率是理论值，是由事件的本质所决定的，是确定的，可求的，它能精确地反映事件出现可能性的大小.
【技巧点拨】用频率估计概率的方法
对于一个随机事件，当试验的所有可能的结果不是有限个，或各种可能发生的结果的可能性不相等时，可以使用大量重复试验得出的频率来估计事件发生的概率.求出每次试验结果的频率，所有表示频率的数据的集中趋势指向的那个数值近似于事件发生的概率.
【技巧点拨】用频率估计概率确定试验对象个数的方法
利用频率估计概率求试验对象的个数时，通常先设出所求的个数，然后利用频率与概率的关系，结合概率公式列方程求解.
6.判断游戏是否公平的问题
判断游戏是否公平，就是判断游戏双方获胜的概率是否相等.若相等，则游戏就是公平的；否则，游戏就是不公平的.另外，不公平游戏规则的修改，即修改游戏规则使双方获胜的概率相等.
全面调查
抽样调查
定义
考查全体对象的调查叫做全面调查
只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种方法称为抽样调查
方法
问卷调查、访问调查、电话调查等
（1）简单随机抽样；（2）分层抽样
适用范围
当调查范围小、调查不具有破坏性、数据要求准确全面时，一般采用全面调查
当调查对象涉及面大、范围广，受条件限制或具有破坏性时，一般采用抽样调查
优点
（1）结果准确；（2）能全面了解数据
（1）调查范围小；（2）节省时间、人力、物力；（3）受限制少
缺点
（1）调查范围广，工作量大；（2）受客观条件限制
（1）结果不如全面调查准确；（2）不能全面了解数据
概念
举例
总体
所考察对象的全体
为了了解一批节能灯的使用寿命，从中抽取8只节能灯进行调查，其中总体是这批节能灯的使用寿命，个体是这批节能灯中每只节能灯的使用寿命，样本是从中抽取的8只节能灯的使用寿命，样本容量是8
个体
组成总体的每一个考察对象
样本
从总体中所抽取的一部分个体
样本容量
样本中个体的数目
统计图
相关概念
优点
图示
扇形统计图
各组百分比之和为1；
各组所在扇形的圆心角的度数=各组所占百分比×360°
可以直观地反映部分占总体的百分比大小，一般不表示具体的数量
条形统计图
各组数量之和=样本容量
未知组数量=样本容量已知组数量之和
能清楚地表示每个项目的具体数目及反映事物某一阶段属性的大小变化；易于比较数据之间的差别
折线统计图
各组频数之和=样本容量
能清楚地反映同一事物在不同时期的变化情况
事件类型
定义
举例
确定性事件
必然事件
在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件.
在一个只装有红球的袋中摸球，摸出红球.
不可能事件
在一定条件下，必然不会发生的事件，称为不可能事件.
在一个只装有红球的袋中摸球，摸出白球.
随机事件
（不确定性事件）
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
在一个装有红球和白球的袋中摸球，摸出红球.
频率
概率
区别
试验值或使用时的统计值
理论值
与试验次数的变化有关
与试验次数的变化无关
与试验人、试验时间、试验地点有关
与试验人、试验时间、试验地点无关
联系
试验次数越多，频率越趋向于概率