中考数学一轮复习备考知识清单15 特殊三角形

这是一份中考数学一轮复习备考知识清单15 特殊三角形，共9页。学案主要包含了等腰三角形的性质及判定，等边三角形的性质及判定，线段的垂直平分线，角平分线的性质及判定，直角三角形的性质及判定，勾股定理及其逆定理的应用等内容，欢迎下载使用。
一、等腰三角形的性质及判定
等腰三角形的性质
等腰三角形的判定
二、等边三角形的性质及判定
等边三角形的概念及性质
等边三角形的判定
三、线段的垂直平分线
四、角平分线的性质及判定
角平分线的性质
角平分线的判定
五、直角三角形的性质及判定
含角的直角三角形的性质
直角三角形的判定
（1）有一个角等于的三角形是直角三角形（定义）；
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；
（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足
，那么这个三角形是直角三角形；
（4）一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形，图中若，则是以为直角的直角三角形（应用时，需先证明）
（5）面积：，其中为两直角边，为斜边，为斜边上的高
（6）拓展：内切圆半径，外接圆半径，其中为两直角边长，为斜边长.
六、勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理
勾股定理的证明
【注意】
（1）探索勾股定理时找面积相等是关键.其一般步骤为：拼出图形—写出图形面积的代数式—找出等量关系—恒等变换—推导出命题结论.
（2）图形通过切割、拼接后，只要没有重复，没有空隙，面积就不会改变
勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别
【延伸】
设三角形的三边长分别为（为最长边的长）.如果，那么这个三角形是直角三角形；如果，那么这个三角形是钝角三角形；如果，那么这个三角形是锐角三角形.
方法点拨
考向一 等腰三角形
1.与等腰三角形有关的问题
解与等腰三角形的边有关的问题时，常利用三角形的三边关系确定能否构成三角形.当已知等腰三角形的边不能确定是腰还是底时，要分类讨论，还要考虑三角形的存在性，即两腰之和大于底边.
解与等腰三角形的角有关的问题时，常利用三角形的内角和定理，遇到顶角、底角未知或仅知道两角之差但不确定大小关系时，还要注意分类讨论.
【方法总结】构造等腰三角形的两个基本模型
（1）“角平分线+平行线”构造等腰三角形
如图①所示，过的平分线上的一点，作，交于点，则.
或如图②所示，过上的一点，作，交反向延长线于点，则.
（2）“角平分线+垂线”构造等腰三角形
如图①所示，过的平分线上的一点，作，交于点，交与点，则.
或如图②所示，过过的平分线上的一点，作于点，于点，则.
2.用等腰三角形的性质证明边角关系
要证明一个角是另一个角的2倍，可作出等腰三角形顶角的平分线，把大角分为两个相等的小角，由等腰三角形的“三线合一”可得到直角三角形，在两个直角三角形中，由两锐角互余可解决问题.
3.等腰三角形的性质和判定的综合应用
要证明在同一个三角形中的两条线段相等，可考虑等腰三角形的判定——“等角对等边”；要证明同一个三角形中的两个角相等，可考虑等腰三角形的性质——“等边对等角”.
4.解等边三角形问题
等边三角形时三边都相等的特殊的等腰三角形，等边三角形又叫正三角形.等边三角形具有等腰三角形的一切性质，并且还具有如下性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于；所有边上的高、中线与所有角平分线都相等.
解与等边三角形有关的问题时，一般都要运用等边三角形中特殊的角、三条边中任意两边都相等进行推理或计算.
【方法总结】
解等边三角形问题时，常把等边三角形问题转化为含角的直角三角形问题来解决.
考向二 直角三角形
1.解求直角三角形的边长的问题
求直角三角形的边长时常用到以下性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
（2）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）.
求直角三角形的边长常用到的方法，要根据题目已知条件及图形特征灵活运用，并运用勾股定理进行推理或计算.
（1）当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线或中点（构造斜边上的中线）时，可以考虑应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.
（2）善于在直角三角形中发现特殊角度产生的作用，如应用“角所对的直角边等于斜边的一半”“含角的直角三角形时等腰直角三角形，斜边上的高等于斜边的一半”等等.
（3）在解与直角三角形的边有关的问题时，通常考虑应用勾股定理.
2.解与直角三角形内角的度数有关的问题
遇到求直角三角形内角度数的问题时，常用“三角形内角和定理”“直角三角形两锐角互余”以及“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”来求解.
【方法总结】
在解与直角三角形内角的角度有关的问题时，可以利用“直角三角形的两锐角互余”或由边长的特殊关系来推特殊角度.
3.解勾股定理的证明问题
勾股定理的证明方法有很多种，而“面积法”是常用的证明方法.
证明勾股定理的方法是用两种不同的方法表示同一个图形的面积，列出含有的等式，利用整式的运算法则把等式整理后得到.
4.解最短路径问题
在立体图形上，求其表面上某两点间的最短距离，通常将立体图形转化为平面图形，将路径转化为线段.在平面图形中，连接这两个点所得到的线段的长（根据“两点之间线段最短”），即为立体图形表面上某两点间的最短距离.要注意题干中要求的行进路线，不可想当然地展开.当路线不明确时，还需分类讨论再计算对比.
图形
数学语言
文字描述
在中，因为，所以
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
①因为，
所以平分，且.
②因为，
所以，且平分.
③因为，平分，所以，且
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）
特别提醒
（1）应用“等边对等角”“三线合一”的前提是在同一个等腰三角形中，不能乱用.
（2）“三线合一”中“三线”指的是顶角平分线、底边上的高、底边上的中线，而腰上的高、中线及该腰的对角的平分线不一定重合
等腰三角形的判定方法
图形表示
几何推理
注意事项
定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形
为等腰三角形
这是根据等腰三角形的定义进行判断的，任何一个图形的定义都是它的一种判定方法
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）
“等角对等边”在同一个三角形内证两条边相等应用比较广泛，往往通过计算三角形各角的度数，也可得到角相等，在运用时要找准“边”与“角”
定义
性质
等边三角形
三条边都相等的三角形叫作等边三角形，也叫正三角形
（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
（2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，三条对称轴的交点称为“中心”.
（3）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质
知识详解
（1）等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合（三线合一），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴.
（2）所有的等边三角形都是等腰三角形，但并不是所有的等腰三角形都是等边三角形
等边三角形的判定方法
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形.
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.
（3）有一个叫角是60°的等腰三角形是等边三角形
知识详解
（1）等边三角形的定义是等边三角形的一种判定方法.
（2）“三个角都相等的三角形是等边三角形”也可理解为“有两个角等于60°的三角形是等边三角形”.
（3）第三种判定方法是在等腰三角形的条件下，60°的角无论是顶角还是底角都成立
线段的垂直平分线
图形
性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
直线是线段的垂直平分线，为上一点，则；反过来，若，则点在线段的垂直平分线上
判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
知识详解
（1）由线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，比利用两三角形全等证明更简捷.线段的垂直平分线的性质在求线段的长及平面图形的周长中都有广泛的应用.
（2）线段的垂直平分线的判定是画线段垂直平分线的依据
内容
符号语言
图形
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
如果点在的平分线上，且于点，于点，那么
知识详解
（1）性质中的距离是指点到角两边的垂线段的长.
（2）性质中有两个条件：一是点在角的平分线上，二是这个点到角两边的距离，即这个点到角的两边的垂线段的长度，两者缺一不可.
（3）利用角的平分线的性质证明线段相等，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角平分线的线段”.
（4）应用角平分线的性质解题的格式：
平分，于点，于点，
.
（5）角平分线的性质的作用：由于角平分线的性质的结论是两条线段相等，因此角平分线的性质常被用来证明两条线段相等
内容
符号语言
图形
角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
如果点为内一点，于点，于点，且，那么点在的平分线上
知识详解
（1）角平分线的性质与判定的关系：点在角的平分线上（角的内部的）点到角的两边的距离相等.要正确理解，明确条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的交换，性质是证明两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据.
（2）应用角平分线的判定解题的格式：
于点，于点，，
平分
具体内容
图例
含角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半
在中，，，是斜边的中点，则有
知识详解
（1）将两个含角的全等直角三角形的长直角边重合（如图），可得到一个等边三角形，即可证明这条性质的正确性.
（2）应用模式：在中，
.
（3）该性质是含有角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质，更不能应用.
（4）这个性质主要用于计算线段长和证明线段的倍分关系.
（5）在有些题目中，若给出的角是，往往运用一个外角等于它和不相邻的两个内角和，找出的角后，再利用这个性质解决问题
文字语言
符号语言
图示
变式
应用
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么.
方法
图形
证明
“赵爽弦图”
因为大正方形的边长为，所以大正方形的面积为.又大正方形的面积，所以.
刘徽“青朱出入图”
设大正方形的面积为，则.根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得，所以
加菲尔德总统拼图
设梯形的面积为，则.因为，所以
毕达哥拉斯拼图
由图（1）得大正方形的面积由图（2）得大正方形的面积 ，比较两式易得
勾股定理
勾股定理的逆定理
条件
在中，.
在中，.
结论
区别
勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”到“数”
勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”.
联系
两者都与三角形的三边有关系