中考数学一轮复习备考知识清单14 三角形及其全等

这是一份中考数学一轮复习备考知识清单14 三角形及其全等，共7页。学案主要包含了三角形的三边关系及角的关系，与三角形有关的重要线段，命题，全等三角形的性质与判定等内容，欢迎下载使用。
一、三角形的三边关系及角的关系
二、与三角形有关的重要线段
三、命题、定理与反证法
四、全等三角形的性质与判定
方法点拨
考向一 三角形
1.解三角形的三边关系问题
三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.利用三角形三边之间的关系可以解决以下两类问题：（1）判断三条线段能否组成三角形：三条线段中，如果较短的两条线段之和大于最长的线段，那么这三条线段能组成一个三角形.（2）确定三角形第三边的取值范围：三角形两边为，则第三边必满足，由此便可确定第三边的取值范围.
【方法总结】
判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段之和大于最长的线段，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.
在给出一组线段，判断它们能否围成三角形时，应先分类讨论确定有多少种选择，再根据三角形的三边关系逐一进行验证.
2.求等腰三角形的边长问题
解决已知等腰三角形的周长和一边长求另两边长问题的方法：当题目没有明确已知边是底边还是腰时，则已知边可能是底边，也可能是腰，此时要分类讨论，并利用三角形的三边关系对每种情况进行检验，看能否组成三角形；若已经明确已知边是腰或底边，则不需要分类讨论.
3.解与三角形的高、中线有关的问题
三角形的高和中线是三角形中的两条重要线段.①从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高；利用三角形的高可解决三角形相关角度的计算和面积计算的问题.钝角三角形由两条高线在三角形外部，对于无附图的几何题一般需要进行分类讨论.②三角形的顶点和它对边中点的连线叫作三角形的中线，三角形的每条中线把三角形分成两个等底同高的三角形，因此这两个三角形的面积相等.
【方法总结】
由三角形的高可得的角，与三角形内角和、外角和相联系可解决三角形相关角度的计算问题，同时三角形的高是计算三角形面积的重要条件.
4.求三角形内、外角的度数的问题
求三角形内角或外角的度数时，常用到的理论依据有两点：一是三角形内角和定理，即三角形的内角和等于；二是三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
【方法总结】
若已知三角形外角的度数，常运用三角形外角的性质求三角形中某个内角的度数.
5.与三角形内、外角平分线有关的问题
当题目中出现三角形的内角或外角的平分线时，常运用三角形外角与内角的关系以及三角形的内角和解决问题.
【规律总结】
三角形内角、外角平分线相交构成的角有如下规律：
（1）（两个内角的平分线）如图所示，在中，与的平分线交于点，则.
（2）（一个内角的平分线和一个外角的平分线）如图所示，在中，的平分线与的平分线交于点，则.
（3）（两个外角的平分线）如图所示，和是的两个外角，与的平分线交于点，则.
6.与三角形中位线有关的问题
连接三角形两边中点的线段，叫作三角形的中位线.三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.三角形中位线分得的三角形两部分的面积比为1:3.当已知三角形两边的中点时，可考虑运动三角形中位线定理，得相应线段的数量关系与位置关系.
7.构造三角形中位线的方法
中位线具有平移角度、倍分转化的功能.在遇到与中点相关的题目时，有时需要通过添加辅助线构造三角形中位线，常用的构造方法有：
①如图（1），若已知一边中点，则取另一边中点；
②如图（2），若已知两边中点，则连接第三边；
③如图（3），若已知一边中点，则将另一边倍长，再连接第三边；
④如图（4），若已知一条线段与角平分线垂直，则延长这条线段构造等腰三角形，结合已知条件得到中位线.
考向二 全等三角形
1.利用全等三角形的性质解决问题
（1）利用全等三角形的性质解决线段问题时，先根据全等三角形的对应边相等，得出线段之间的相等关系，然后运动线段的和差进行转化，再根据等式性质、等量代换等，可证得结论或求出线段的长.
（2）利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系时，一般是判断直线是否平行或垂直，首先利用全等三角形的性质证明对应角相等，再结合平行线的判定或垂直的定义进行证明.
（3）利用全等三角形的性质得对应角相等，再结合三角形内角和定理找出所求角与已知角的关系，利用角的和差关系求出角的度数.
（4）全等三角形的面积相等，两个全等三角形的位置不同，但图形的形状、大小相同.
2.解三角形全等的判定问题
证明两条线段相等（或两个角相等）的常用方法是证明这两条线段（或两个角）所在的三角形全等.判定两个三角形全等的一般方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”，对于直角三角形还有“HL”.三角形全等的判定方法的选择：
（1）当已知两边分别相等时，可找两边的夹角或第三边，利用“SAS”或“SSS”来证明两个三角形全等.
（2）当已知两个角分别相等时，可找这两个角的夹边或找任意一组等角的对边，利用“ASA”或“AAS”来证明两个三角形全等.
（3）当已知一角及其对边分别相等时，可找任意一角，利用“AAS”来证明两个三角形全等.
（4）当已知一角及其一邻边分别相等时，可找任意一角利用“AAS”或“ASA”来证明两个三角形全等，也可以找这个角的另一邻边，利用“SAS”来证明两个三角形全等.
（5）在直角三角形中除了利用“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”，还可以利用“HL”来证明两个三角形全等.
3.证明线段的和差关系或位置关系
证明线段的和差问题，通常采用“截长补短法”，即一种是在“和线段”上截取一部分等于一个“分线段”，再证剩余部分等于另一“分线段”，这种方法叫“截长法”；另一种是延长“分线段”，使其等于“和线段”，再证延长部分等于另一“分线段”，这种方法叫“补短法”.
4.三角形全等的开放性问题
一般三角形全等的判定方法有“SSS”“SAS”“AAS”“ASA”，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则可再找两角的夹边相等或一组对应边相等；若已知一边一角，则找另一组角，或找夹这个角的另一组边相等.
5.运用角平分线的性质解决问题
①证明线段的和差问题：要证一条线段等于另两条线段的和，可采用转化法，即将“大量”分成两部分，证它们分别等于两个“小量”.过角的平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得到线段相等.
②解决面积问题：这类题考查角平分线的性质及三角形的面积，通常是先由角平分线的性质求出三角形的高进而利用三角形的面积公式求出三角形的面积.
③实际应用：这类题考查的是角平分线上的点到角两边的距离相等的性质、三角形的面积及做辅助线.利用三角形的面积求出其中一条高的长度是解题的关键.
分类
按角分：
按边分：
性质
三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
角的关系：
（1）内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
（2）内外角关系：
a.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
如图，
b.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
如图，
边角关系：在同一个三角形中，等边对等角，等角对等边（大边对大角，小边对小角）
三角形具有稳定性
名称
图形
性质
重要结论
中线
三角形的三条中线的交点在三角形的内部，这个点称为重心.中线将三角形分成两个面积相等的三角形
高
，
即
锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；
直角三角形的三条高的交点是直角的顶点；
钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部，这个点称为垂心
角平分线
三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，这个点称为内心
中位线
且
中位线所截得的三角形与原三角形相似，其相似比为1:2，面积比为1:4
命题
定义
判断一件事情的语句，叫作命题
分类
题设成立时，结论一定成立的命题叫作真命题
题设成立时，结论不一定成立的命题叫作假命题
组成
命题都是题设和结论两部分组成的
互逆命题
一个命题的题设和结论分别为另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题
基本事实
公认的真命题成为基本事实
定理
有些命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫作定理，在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫作证明
反证法
定义：不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫作反证法
证明步骤：假设命题的结论不正确从假设的结论出发推出矛盾否定假设，肯定原命题的结论正确
概念
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形
性质
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
（2）全等三角形的周长相等，面积相等；
（3）全等三角形对应的中线、高、角平分线、中位线都相等
判定
边边边（）：三边分别相等的两个三角形全等
边角边（）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
角边角：（）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
角角边（）：两角对应相等，且其中一组等角的对边相等的两个三角形相等
斜边、直角边（）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
【提示】判定一般三角形全等，无论用哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中最少要有一组对应边相等