2024-2025学年四川省成都市成华区嘉祥外国语高级中学高二（下）月考数学试卷（3月份）(含答案）

这是一份2024-2025学年四川省成都市成华区嘉祥外国语高级中学高二（下）月考数学试卷（3月份）(含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列{an}为等差数列，a4=5，a8=29，则{an}的公差为( )
A. 2B. 6C. 1D. 14
2.若1，a，3成等差数列；1，b，4成等比数列，则ab的值为( )
A. ±12B. 12C. 1D. ±1
3.已知数列{an}为等比数列，a1=8，公比q=12，则a1a2…an的最大值为( )
A. 16B. 32C. 64D. 128
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=5a2+6a1，则公比q为( )
A. 1或5B. 5C. 1或−5D. 5或−1
5.在等比数列{an}中，a2，a6是方程x2−8x+m=0两根，若a3a5=3a4，则m的值为( )
A. 3B. 9C. −9D. −3
6.已知等差数列{an}的公差不为零，若S9=3(a2+a6+ak)，则k=( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
7.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn=n+23n+4，则a3+a9b4+b6+b8=( )
A. 13111B. 2637C. 26111D. 1337
8.已知各项均为正数的等比数列{an}满足a10+a9=6a8，若存在两项am，an使得 aman=4a1，则1m+4n的最小值为( )
A. 4B. 23C. 32D. 9
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若a1+a3=5，a4+a6=135，则( )
A. a1=14B. q=3C. an=14×3n−1D. Sn=14(3n−1)
10.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且d≠0，a1，a4，a6成等比数列，则( )
A. S19=0B. a9=0
C. 当d0时，S10是Sn的最小值
11.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”).比如取正整数m=8，根据上述运算法则得出8→4→2→1→4→2→1.猜想的递推关系如下：已知数列{an}满足a1=5，an+1=an2,an为偶数3an+1,an为奇数，设数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是( )
A. a3=8B. a5=2C. S10=49D. S300=722
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆C：x216+y29=1，若C上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为______．
13.将数列{2n−1}与{3n−2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为______．
14.我国某西部地区要进行沙漠治理，已知某年(记为第1年)年底该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠.从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造成绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设第n年年底绿洲面积为an万平方千米，则数列{an}的通项公式为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}为等差数列，a2=11，a5=5．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}前n项和的最大值．
16.(本小题15分)
设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1=2an(n∈N∗)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=an,n为奇数n,n为偶数，数列{bn}的前n项和为Tn，求T2n．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，点O为AD的中点，∠APD=90°且AD=PB．
(1)求证：OB⊥平面PAD；
(2)若AD⊥PB，求平面PBC与平面PAD所成角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为 32，且过点D( 2, 22).
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点P(4,0)作与x轴不重合的直线l与椭圆E相交于M，N两点(N在P，M之间)，证明：直线MB与直线NA的交点的横坐标是定值．
19.(本小题17分)
设数列{an}的首项a1为常数，且an+1=3n−2an，(n∈N∗)
(1)证明：{an−3n5}是等比数列；
(2)若a1=32，{an}中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由；
(3)若{an}是递增数列，求a1的取值范围．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.D
5.B
6.C
7.C
8.C
9.BD
10.ACD
11.ABD
12.3
13.3n2−2n
14.an=0.8−0.5×0.8n−1
15.an=−2n+15；
49．
16.解：(1)当n=1时，a1=1；
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2an−2an−1即an=2an−1，
而a1=1≠0，故an≠0，anan−1=2，
所以{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以an=2n−1,a1=1满足通项，所以an=2n−1．
(2)当n为奇数时，bn=an=2n−1，当n为偶数时，bn=n，
T2n=(b1+b3+⋅⋅⋅+b2n−1)+(b2+b4+⋅⋅⋅+b2n)
=(20+22+⋅⋅⋅+22n−2)+(2+4+⋅⋅⋅+2n)
=22n−13+n2+n=4n−13+n2+n．
17.解：(1)证明：连接OP，BD，如图：

由底面ABCD为菱形，得∠BAD=60°，则AD=AB=BD，
又因为O为AD的中点，所以OB⊥AD，
因为在△APD中，∠APD=90°，O为AD的中点，所以PO=12AD=AO，
设AD=PB=2a，则OB= 3a，PO=OA=a，即PO2+OB2=4a2=PB2，所以OB⊥OP，
又因为OP∩AD=O，OP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以OB⊥平面PAD；
(2)因为AD⊥PB，AD⊥OB，OB∩PB=B，OB，PB⊂平面POB，所以AD⊥平面POB，
又因为PO⊂平面POB，所以PO⊥AD，
由(1)知，直线OA，OB，OP两两垂直，
以O为坐标原点，直线OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图：

设AD=2，则A(1,0,0)，D(−1,0,0)，B(0, 3,0)，P(0,0,1)，
所以PB=(0, 3,−1)，BC=AD=(−2,0,0)，OB=(0, 3,0)，
由(1)知，OB⊥平面PAD，则取与OB平行的向量n=(0,1,0)作为平面PAD的法向量，
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)，则BC⊥m，PB⊥m，
所以m⋅BC=−2x=0m⋅PB= 3y−z=0，解得x=0，令y=1，得z= 3，所以m=(0,1, 3)，
设平面PBC与平面PAD所成二面角为θ，显然θ为锐角，
则csθ=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m||n|=12，
所以平面PBC与平面PAD所成二面角的余弦值为12．
18.解：(1)由题意可得e=ca= 32，b2=a2−c2，2a2+12b2=1，
解得a=2，b=1，
所以椭圆E的标准方程为x24+y2=1．
(2)证明：设直线l：x=my+4，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x=my+4x24+y2=1，得(m2+4)y2+8my+12=0，
所以△=16m2−192>0，解得m>2 3或man成立，
即3n+15+(a1−35)×(−2)n>3n5+(a1−35)×(−2)n−1对任意自然数均成立．
化简得415×3n>−(a1−35)×(−2)n，
当n为偶数时a1>35−415×(32)n，
∵p(n)=35−415×(32)n是递减数列，
∴p(n)max=p(2)=0，即a1>0；
当n为奇数时，a1