河北省石家庄二中教育集团2025届高三上学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份河北省石家庄二中教育集团2025届高三上学期期末考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知1+2i是关于x的方程x2−px+q=0的一个根，p,q均为实数，则p+q=( )
A. 7B. 3C. −1D. −3
2.已知菱形ABCD的边长为1，且∠BAD=60∘，AB=a，DB=b，AC=c，则a+b+c=( )
A. 2B. 2 3C. 3D. 4
3.已知直线ax−y+2=0与圆x−12+y2=4相交于A，B两点，若|AB|=2 3，则a=( )
A. 43B. 1C. −34D. −2
4.在x+1x−2x+3x−4x+5x−a展开式中，含x5的项的系数是6，则a=( )
A. −6B. −3C. 3D. 6
5.在数学中，有很多“若p，则q”形式的命题，有的是真命题，有的是假命题．例如：
①若x>−1，则x+1>2；②若一个三角形是等边三角形，则这个三角形是等腰三角形．
这里，命题①②都是省略了量词的全称量词命题．则命题①的否定为( )
A. 若x>−1，则x+1≤2B. 若x≤−1，则x+1≤2
C. ∀x>−1，x+1≤2D. ∃x>−1，x+1≤2
6.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：ℎ)间的关系为：P=P0e−kt，其中P0、k是正的常数．如果在前5ℎ消除了10%的污染物，那么污染物减少23大约需要花费( )ℎ(参考数据：lg3≈0.48)
A. 55B. 60C. 64D. 65
7.sin240∘+sin220∘+cs50∘cs70∘=( )
A. 1B. 2C. 14D. 34
8.已知平面上两定点A、B，则所有满足|PA||PB|=λ(λ>0且λ≠1)的点P的轨迹是一个圆心在AB上，半径为λ1−λ2⋅AB的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1表面上动点P满足PA=2PB，则点P的轨迹长度为( )
A. 2πB. 4π3+ 3πC. 4π3+ 3π2D. 2+ 3π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 随机变量X服从二项分布B3,12,Y=2X+1，则DY=3
B. 数据x1,x2,x3,⋯,xn的平均数为2，则3x1+1,3x2+1,3x3+1,⋯,3xn+1的平均数为6
C. 数据2，4，6，8，10，12，14的第60百分位数是10
D. 随机变量X服从正态分布N5,σ2，且P(20的焦点，过点F且倾斜角为60∘的直线交抛物线于A、B两点(点A在第一象限)，且OA⋅OB=−3(其中O为坐标原点)，点P在抛物线的准线上，动点H满足：PH=λPFλ>0，AH⋅PF=0，则PH⋅PF的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+(2n−1)an=(n−1)3n+1．
(1)求{an}的通项公式；
(2)在an和an+1之间插入n个数，使这n+2个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为dn，求数列{1dn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB1⊥平面BCC1B1，平面AB1C⊥平面ABC．

(1)证明：B1C1⊥平面AB1C；
(2)若B1C=1，B1C1= 3，B1A= 2，求直线A1C与平面ABC所成的角的正弦值．
17.(本小题15分)
某校高一学生共有500人，年级组长利用数字化学习软件记录每位学生每日课后作业完成的时长，期中考试之后统计得到了如下平均作业时长n与学业成绩m的数据表：
(1)试判断：是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小于3小时有关？
(2)常用LBA=PBAPBA表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比．已知该校高一学生女生中成绩优秀的学生占比25%，现从所有高一学生中任选一人，A表示“选到的是男生”，B表示“选到的学生成绩优秀”，若LBA=0.2，求PA．
附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，Pχ2≥3.841≈0.05．
18.(本小题17分)
已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为2 3，短轴长为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点A1,0的直线交椭圆C于M、N两点，动点P与M、N、A四点不共线，设直线PM、PN、PA的斜率分别为k1、k2、k3，且满足：2k3=k1+k2.证明：点P在定直线上，并求出该直线．
19.(本小题17分)
帕德近似是法国数学家亨利⋅帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在计算机数学中有着广泛的应用．给定自然数m,n，我们定义函数fx在x=0处的m,n阶帕德近似为：Rx=a0+a1x+⋅⋅⋅+amxm1+b1x+⋅⋅⋅+bnxn，且满足：f0=R0，f′0=R′0，f20=R20，⋅⋅⋅，fm+n0=Rm+n0.其中f2x=f′x′，f3x=f2x′，⋅⋅⋅，fm+nx=fm+n−1x′，已知fx=lnx+1在x=0处的2,2阶帕德近似为Rx=a+x+12x2b+x+16x2．
(1)求实数a,b的值；
(2)证明：x>0时，fx>Rx；
(3)已知x1,x2,x3是函数gx=xlnx−kx2−1的三个不同的零点，求实数k的取值范围，并证明：x1+x2+x3>3k−3．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.B
5.D
6.B
7.D
8.C
9.AC
10.ACD
11.BD
12.−8
13.e2
14.5
15.解：(1)由题意，得a1=1．
由a1+3a2+5a3+⋯+(2n−1)an=(n−1)3n+1， ①
得a1+3a2+5a3+⋯+(2n−3)an−1=(n−2)3n−1+1(n≥2)， ②
①− ②，得(2n−1)an=[(n−1)3n+1]−[(n−2)3n−1+1]=(2n−1)3n−1(n≥2)，
所以an=3n−1(n≥2)．
又因为当n=1时，上式也成立，
所以{an}的通项公式为an=3n−1．
(2)由题可知dn=an+1−ann+1=3n−3n−1n+1=2⋅3n−1n+1，得1dn=12⋅n+13n−1，
则Tn=12⋅230+12⋅331+12⋅432+⋯+12⋅n3n−2+12⋅n+13n−1， ③
13Tn=12⋅231+12⋅332+12⋅433+⋯+12⋅n3n−1+12⋅n+13n， ④
③− ④，得
23Tn=1+12(13+132+⋯+13n−1)−12⋅n+13n
=1+12⋅13(1−13n−1)1−13−12⋅n+13n
=54−2n+54⋅13n，
解得Tn=158−2n+58⋅3n−1．
16.【详解】(1)过B1作B1H⊥AC于H，
因为面AB1C⊥面ABC，面AB1C∩面ABC=AC，B1H在平面AB1C内，
所以B1H⊥面ABC，而BC⊂平面ABC，故B1H⊥BC，
因为AB1⊥面BCC1B1，BC在面BCC1B1内，
所以AB1⊥BC，B1H,AB1为面AB1C内两条相交直线，
所以BC⊥面AB1C．
因为在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形，
所以BC//B1C1，所以B1C1⊥面AB1C．

(2)解法一：由(1)可知：直线B1A，B1C1，B1C两两垂直，
由题意B1C=1，B1C1= 3，B1A= 2，
可得：AA1=BB1=CC1=2，AC= 3，AC1= 5
所以在平行四边形CAA1C1中，由性质可得：AC12+CA12=2AC2+AA12
可得：CA1=3．
由(1)知：B1H⊥面ABC，由直角三角形AB1C面积AB1×B1C=AC×B1H，
可得：B1H= 2 3，
所以点B1到面ABC的距离为 2 3．
又因为A1B1//AB，而A1B1⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以A1B1//面ABC，所以点A1到面ABC的距离为 2 3．
设直线A1C与面ABC所成的角为θ，则sinθ=B1HA1C= 23 3= 69．
故直线A1C与面ABC所成的角的正弦值为 69．
解法二：

由(1)可知：直线B1A，B1C1，B1C两两垂直，故以B1为坐标原点，分别以B1C1，B1C，B1A所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
因为B1C=1，B1C1= 3，B1A= 2，
所以A0,0, 2，B− 3,1,0，C0,1,0，A1 3,−1, 2，CA1= 3,−2, 2
设面ABC的法向量为m=x,y,z，CA=0,−1, 2，BC= 3,0,0
由m⋅CA=0m⋅BC=0可得：−y+ 2z=0x=0，令z=1，得y= 2，
所以m=0, 2,1
所以csm,CA1=m⋅CA1mCA1=− 23 3= 69，
故直线A1C与面ABC所成的角的正弦值为 69．

17.【详解】(1)2×2列联表数据如下：
χ2=50080×280−20×1202100×400×200×300≈83.3≥3.841
所以有95%的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小于3小时有关．
(2)设PA=x，则PA=1−x，
由PBA=0.25，得PB∩A=0.25PA=0.251−x，
而PB=PB∩A+PB∩A=0.2，则PA∩B=0.25x−0.05．
又LBA=PBAPBA=0.2，于是PBA=0.2PBA，
得PB∩APA=0.2PB∩APA，即PB∩A=0.2PB∩A，
而PA=PB∩A+PB∩A=x，因此PA∩B=x6，
由0.25x−0.05=x6，得x=0.6，所以PA=0.6．

18.【详解】(1)由题意知，b=1，c= 3，a= b2+c2=2，所以椭圆C方程为：x24+y2=1．
(2)设Mx1,y1、Nx2,y2、Px0,y0，
当直线MN斜率为0时，不妨令M2,0、N−2,0，
则：k1+k2=y0x0−2+y0x0+2=2x0y0x02−4=2k3=2y0x0−1，
因为P、M、N、A四点不共线，所以y0≠0，解得x0=4．
当直线MN斜率不为0时，设直线MN的方程为x=ty+1．
联立x=ty+1x24+y2=1，得t2+4y2+2ty−3=0，Δ=16t2+48>0，
由韦达定理得y1+y2=−2tt2+4y1y2=−3t2+4．

于是，k1+k2=y0−y1x0−x1+y0−y2x0−x2=2x0−1y0−x0−1+ty0y1+y2+2ty1y2x0−12−tx0−1y1+y2+t2y1y2
=2x0−1y0t2+4+x0−1+ty02t−6tx0−12t2+4+2x0−1t2−3t2=2x0y0t2+2x0−8t+8x0−1y0x02−4t2+4x0−12．
因为2k3=2y0x0−1，由k1+k2=2k3得：
2x0y0x0−1t2+2x0−8x0−1t+8x0−12y0=2x02−4y0t2+8x0−12y0．
整理得：−2x0−8y0t2+2x0−8x0−1t=0，即2x0−8x0−1t−y0t2=0，
因为P、M、N、A四点不共线，所以x0−1t−y0t2≠0，所以x0=4，
综上，点P在定直线x=4上．
【点睛】关键点睛：根据斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行正确的数学运算是解题的关键．

19.【详解】(1)依题意可知，f0=0，R0=ab，因为f0=R0，所以a=0．
此时，Rx=3x2+6xx2+6x+6b，因为f′x=11+x，R′x=6x+1x2+6x+6b−3xx+22x+6x2+6x+6b2，
所以f′0=1，R′0=1b，因为f′0=R′0，所以b=1；
故a=0，b=1．
(2)设ℎx=fx−Rx=ln1+x−3x2+6xx2+6x+6x>0，
所以ℎ′x=11+x−12x2+3x+3x2+6x+62=x41+xx2+6x+62>0，故ℎx在0,+∞单调递增，
由ℎ0=0，所以x>0时，ℎx>0，即fx>Rx．
(3)因为gx=xlnx−kx2−1=xlnx−kx−1x，x>0
令φx=lnx−kx−1x，所以等价于x1,x2,x3是φx的三个不同的零点，
不妨设00时，令sx=−kx2+x−k，Δ=1−4k2，
若Δ=1−4k2≤0，即k≥12，sx≤0恒成立，即φ′x≤0，
此时φx在0,+∞单调递减，此时φx不存在三个不同的零点；
若Δ=1−4k2>0，即0