专题32 数列的概念与简单表示法-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版

这是一份专题32 数列的概念与简单表示法-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版，共11页。
【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】4
【考点1】由an与Sn的关系求通项4
【考点2】由数列的递推关系式求通项公式5
【考点3】数列的性质6
【分层检测】7
【基础篇】7
【能力篇】9
【培优篇】10
考试要求：
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
知识梳理
1.数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
5.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
2.在数列{an}中，若an最大，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1.))
真题自测
一、单选题
1．（2023·北京·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
2．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
3．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·浙江·高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
考点突破
【考点1】由an与Sn的关系求通项
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，则（ ）
A．190B．210C．380D．420
2．（2024·江苏苏州·二模）已知数列的前项和为，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·湖北黄冈·二模）数列满足：，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．是等比数列
C．D．
4．（2024·安徽淮北·二模）已知数列的前项和分别为，若，则（ ）
A．B．
C．的前10项和为D．的前10项和为
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，满足，则 ；数列满足，数列的前项和为，则的最大值为 ．
6．（2024·浙江嘉兴·二模）设数列的前项和为，等比数列的前项和为，若，，则 .
反思提升：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))转化为关于an的关系式，再求通项公式.
(2)Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
【考点2】由数列的递推关系式求通项公式
一、单选题
1．（2024·河南·三模）已知函数满足：，且，，则的最小值是（ ）
A．135B．395C．855D．990
2．（23-24高三上·湖北·阶段练习）定义：在数列中，，其中d为常数，则称数列为“等比差”数列.已知“等比差”数列中，，，则（ ）
A．1763B．1935C．2125D．2303
二、多选题
3．（23-24高三下·甘肃·开学考试）已知数列满足，则（ ）
A．是等差数列
B．的前项和为
C．是单调递增数列
D．数列的最小项为4
4．（2024·山东烟台·一模）给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（ ）
A．存在，使得恒成立
B．存在，使得恒成立
C．对任意，总存在，使得
D．对任意，总存在，使得
三、填空题
5．（23-24高二上·广东河源·期末）已知正项数列满足，则 .
6．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ．
反思提升：
(1)形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
(2)形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为eq \f(an＋1,an)＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a2,a1)·a1代入求出通项.
(3)形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
(4)形如an＋1＝eq \f(Aan,Ban＋C)(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
【考点3】数列的性质
一、单选题
1．（2024·山东济宁·三模）已知数列中，，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2024·天津·二模）已知数列为不单调的等比数列，，数列满足，则数列的最大项为（ ）．
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·浙江绍兴·二模）已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，且，，则（ ）
A．数列是递增数列B．数列是递减数列
C．若数列是递增数列，则D．若数列是递增数列，则
4．（2022·吉林长春·模拟预测）意大利数学家列昂纳多•斐波那契提出的“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列满足.若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列，记的前项和为，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
5．（2024·湖北武汉·二模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则 ；若，则的最大值为 ．
6．（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）已知数列的通项公式为，且为递减数列，则实数的取值范围是 .
反思提升：
1.解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.
2.求数列最大项与最小项的常用方法
(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大(小)项，否则，利用作差法.
(2)利用eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)确定最大项，利用eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)确定最小项.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·四川广安·二模）已知数列满足，（），则（ ）
A．B．C．D．2
2．（2024·广东深圳·二模）已知n为正整数，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，若，，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·山西·模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层球的个数构成一个数列，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（2024·云南·二模）记数列的前项和为为常数.下列选项正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．存在常数A、B，使数列是等比数列
D．对任意常数A、B，数列都是等差数列
6．（2024·云南昆明·一模）在数列中，，，，记的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
7．（2022·广东·模拟预测）已知数列满足，为其前n项和，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列中，，当时，，则数列的通项公式为 ．
9．（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）数列满足，则 .
10．（2023·四川乐山·三模）已知数列满足，，则 ．
四、解答题
11．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知数列中，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
12．（2024·山西·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·四川宜宾·二模）在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的和为（ ）
A．3B．2C．1D．0
二、多选题
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知数列满足，则下列结论成立的有（ ）
A．
B．数列是等比数列
C．数列为递增数列
D．数列的前项和的最小值为
三、填空题
3．（2023·湖南邵阳·二模）已知数列满足，，设数列的前项和为，则数列的通项公式为 ， ．
四、解答题
4．（2024·全国·高考真题）记为数列的前项和，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·北京东城·二模）设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（ ）
A．若为等差数列，则为内和数列
B．若为等比数列，则为内和数列
C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列
D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列
二、多选题
2．（22-23高二上·江苏常州·期末）在边长为2的等边三角形纸片中，取边的中点，在该纸片中剪去以为斜边的等腰直角三角形得到新的纸片，再取的中点，在纸片中剪去以为斜边的等腰直角三角形得到新的纸片，以此类推得到纸片，，……，，……，设的周长为，面积为，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
3．（2024·吉林·模拟预测）“冰天雪地也是金山银山”，2023-2024年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观．若这16处景观分别用表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达有 种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中，记，则 （结果用表示）.
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项
间的大
小关系
递增数列
an＋1＞an
其中
n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列