黑龙江省哈尔滨市2023_2024学年高一数学下学期4月月考试题含解析

这是一份黑龙江省哈尔滨市2023_2024学年高一数学下学期4月月考试题含解析，共22页。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若(，是虚数单位)，则等于（）
A. B. C. D.
2. 已知中，内角所对的边分别为，若，则（）
A. B. 或
C. D. 或
3. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
4. 在中，其内角对边分别为，若，则的形状是（）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
5. 若两个非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣索菲亚教堂的高度约为（）
A. B. C. D.
7. 已知边长为2菱形中，，点为上一动点，点满足，则的最大值为（）
A. 0B. C. 3D.
8. 在锐角中，角的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是（）
A. 与共线
B. 单位向量
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 若，则
10. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（为三角形的面积，、、为三角形的三边）．现有满足，且的面积，则下列结论正确的是（）
A. 的周长为B. 的三个内角满足
C. 的外接圆半径为D. 的中线的长为
11. 已知，，是互不相等的非零向量，其中，是互相垂直的单位向量，，记，，，则下列说法正确的是（）
A. 若，则O，A，B，C四点在同一个圆上
B. 若，则的最大值为2
C. 若，则的最大值为
D. 若，则最小值为
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数________．
13. 在中，内角所对的边分别是，且，当时，的最大值是______．
14. 莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若是单位向量，且，求与的夹角.
16. 已知的内角的对边分别为，满足．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的周长和外接圆的面积．
17. 在中，角对边分别为，且．
（1）证明：为直角三角形；
（2）当时，求周长的最大值．
18. 如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.
（1）求大小;
（2）若,求的面积.
19. 如图，在中，已知边上的中点为边上的中点为相交于点．
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）过点作直线交边于点，求该直线将成的上下两部分图形的面积之比的最小值．哈尔滨市第九中学2023-2024学年度下学期
4月份月考高一学年数学学科试卷
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、学生代号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若(，是虚数单位)，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数相等的条件，求得的值，即可求解.
【详解】因为，即，所以，
所以.
故选：B.
2. 已知中，内角所对的边分别为，若，则（）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理求出，从而求出.
【详解】由正弦定理，即，解得，
又，所以或.
故选：D
3. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案.
详解】由题意知，三点共线，故,
且共线，
故不妨设，则，
所以，解得，
故选：D
4. 在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】由余弦定理化角为边得，即可判断三角形形状.
【详解】因为，所以由余弦定理得，
所以，所以，所以等腰三角形.
故选：A.
5. 若两个非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量模的关系式，可选择设，化简此式推得，求得，继而利用向量的夹角公式即可求得.
【详解】设，则.
由，可得，
故以为邻边的平行四边形是矩形，且，
设向量与的夹角为θ，则cs θ＝,
又，所以.
故选：D.
6. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣索菲亚教堂的高度约为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.
【详解】由题可得在直角中，，，所以，
在中，，，
所以，
所以由正弦定理可得，所以，
则在直角中，，即圣·索菲亚教堂的高度约为.
故选：B
7. 已知边长为2菱形中，，点为上一动点，点满足，则的最大值为（）
A. 0B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立如图平面直角坐标系，设，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得关于的表达式，从而得解.
【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，
则，
则，
由题意，设，则，
则，
所以，
因为，所以当时，的最大值为3.
故选：C
8. 在锐角中，角的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形面积公式及余弦定理得到，结合同角三角函数关系得到，，由正弦定理得到，且根据三角形为锐角三角形，得到，求出，利用对勾函数得到的最值，求出的取值范围.
【详解】由三角形面积公式可得：，故，
，故，
因为，所以，
解得：或0，
因为为锐角三角形，所以舍去，
故，，
由正弦定理得：
，
其中，
因为为锐角三角形
所以，故，所以，，
，，
令，则为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，
则，
又，
因为，所以，
则.
故选：C
【点睛】解三角形中求解取值范围问题，通常有两种思路，一是利用正弦定理将角转化为边，利用基本不等式进行求解，二是利用正弦定理将边转化为角，结合三角函数的图象，求出答案.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是（）
A. 与共线
B. 单位向量
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量共线、单位向量、投影向量和向量垂直的坐标表示依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，不存在实数，使得，则与不共线，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，在上的投影向量为，C错误；
对于D，，，D正确.
故选：BD.
10. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（为三角形的面积，、、为三角形的三边）．现有满足，且的面积，则下列结论正确的是（）
A. 的周长为B. 的三个内角满足
C. 的外接圆半径为D. 的中线的长为
【答案】AB
【解析】
【分析】对于选项A，由正弦定理得三角形三边之比，由面积求出三边，代入公式即可求出周长；
对于选项B，根据余弦定理可求得的值为，可得，可得三个内角，，成等差数列；
对于选项C，由正弦定理可得，外接圆直径；根据可求得，由可得的值；
对于选项D，由余弦定理得，在中，由余弦定理即可求得.
【详解】A项：设的内角、、所对的边分别为、、，
因为，所以由正弦定理可得，设，，，因为，所以，
解得，则，，，故的周长为，A正确；
B项：因为，
所以，，故B正确；
C项：因为，所以，由正弦定理得，，C错误；
D项：由余弦定理得，在中，，由余弦定理得，解得，D错误.
故选：AB．
11. 已知，，是互不相等的非零向量，其中，是互相垂直的单位向量，，记，，，则下列说法正确的是（）
A. 若，则O，A，B，C四点在同一个圆上
B. 若，则的最大值为2
C. 若，则的最大值为
D. 若，则的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A选项，，后由可得答案.
对于B选项，由A分析可知，O，A，B，C四点在同一个圆上.又，则其长度为圆上弦的长度.
对于C选项，由题可得A，B，C均在以为圆心、1为半径的圆上，设，又，则.
表示出后可得答案.
对于D选项，由结合C选项分析，得，
又由，可得，后由重要不等式可得答案.
【详解】对于A选项，如图，若，则，所以，又，所以，所以O，A，B，C四点在同一个圆上，故A正确；
对于B选项，若，由A选项知，O，A，B，C四点在同一个圆上，
又，则其长度为圆上弦的长度.当线段为该圆的直径时，最大，且最大值等于，故B错误；
对于C选项，由题可得A，B，C均在以为圆心、1为半径的圆上，
设，又，则
.其中.
则
，
当时取等号.故C错误.
对于D选项，由C选项分析结合可知.
又，则
，
则由重要不等式有：.
得，当且仅当时取等号.故D正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：本题涉及向量，三角函数.判断A，B选项关键为能由得到，从而可以得到O，A，B，C四点在同一个圆上.
判断C，D选项关键，为利用A，B，C在单位圆上设出其坐标，后利用向量坐标表示结合三角函数，不等式知识解决问题.
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据已知结合复数的定义列式，即可解出答案．
【详解】复数的实部与虚部互为相反数，
，解得．
故答案为：
13. 在中，内角所对的边分别是，且，当时，的最大值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】由同角的三角函数关系解方程得到，再由余弦定理结合基本不等式求出结果即可.
【详解】因为，即，
解得，
因为，所以
由余弦定理可得
，当且仅当时取等号，
所以最大值是3，
故答案为：3.
14. 莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为，再利用三角形的几何意义求解即可.
【详解】设为的中点，为的中点，如图所示，
则
，
在正三角形中，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以的最小值为：
.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若是单位向量，且，求与的夹角.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）设，由，且，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）由，求得，利用向量的夹角公式，求得，即可求解.
【小问1详解】
解：设，因为，且，
可得，解得或，
所以或.
【小问2详解】
解：因为，且为单位向量，可得，，
又因为，可得，所以，
则，
因为，所以.
16. 已知的内角的对边分别为，满足．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的周长和外接圆的面积．
【答案】（1）；
（2）的周长为8，外接圆的面积为.
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理，将题干条件进行转化，得到，再根据三角形内角和为以及诱导公式，即可求得角的大小；
（2）由正弦定理可以直接得到外接圆半径进而得到外接圆面积；由三角形面积公式得到的值，再利用余弦定理求得的值，进而得到的周长.
【小问1详解】
由正弦定理得，即，
又因为，所以，
所以，又因为，所以，
所以，.
【小问2详解】
由正弦定理得，所以外接圆半径，
所以外接圆面积为，
，所以，
由余弦定理得，
即，解得，
所以的周长的周长为.
17. 在中，角的对边分别为，且．
（1）证明：为直角三角形；
（2）当时，求周长的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由降幂公式和余弦定理解三角形可得；
（2）利用三角函数把边长表示成角，再用辅助角公式表示出周长，最后利用正弦函数的值域求出最值.
【小问1详解】
证明：因为，即，
由余弦定理可得，
化简可得，
所以为直角三角形.
【小问2详解】
由（1）可得为直角三角形的斜边，
所以两直角边长分别为，
所以设周长为，则，
因为，
所以，即时，周长取得最大值，最大值为.
18. 如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.
（1）求的大小;
（2）若,求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）因为是的角平分线,所以,在中利用余弦定理求出的长,再次利用余弦定理即可求出的大小.
（2）在中,由正弦定理求出的长,再根据四边形内角和为可得到,从而求出的值,再利用三角形面积公式求解即可.
【小问1详解】
因为是的角平分线,所以,
在中,根据余弦定理得,
所以,
则,
因为,
所以.
【小问2详解】
因为,所以,
在中,由正弦定理得,
在四边形中,,
所以,
则.
19. 如图，在中，已知边上的中点为边上的中点为相交于点．
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）过点作直线交边于点，求该直线将成的上下两部分图形的面积之比的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）在中利用余弦定理求解；
（2）建立平面直角坐标系，根据，得到点坐标，再根据向量夹角的坐标运算即可得到两向量夹角的余弦值；
（3）根据中线得到是的重心，设出线段的比例关系，表示出上下两部分的面积之比，用向量共线的条件消去变量，最后得到面积之比的最小值.
【小问1详解】
中，，，，
由余弦定理得，解得（负值舍去）.
【小问2详解】
以为坐标原点，以为轴，以过且与垂直为轴建立平面直角坐标系，如图，
则，，设，
由得，由得，
解得（负值舍去），所以，
又因为边上的中点为，边上的中点为，所以，，
所以，，
则，，，
所以，
即与夹角的余弦值为.
【小问3详解】
因为为的中点，为的中点，所以、是的中线，
所以与的交点是的重心，则，
设，，
则，
因为、、三点共线，所以，得，
又因为，，所以，，，
所以，，
即，所以，
，
所以上下两部分面积之比，
因为，所以，
所以上下两部分图形的面积之比的最小值为.