浙江省杭州第四中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

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1. 已知等差数列的前项和为，若，，则（）
A. 4 B. 2 C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用条件求得和的值，即可计算 .
【详解】设等差数列的公差为．
∵ ，∴ ，即．
又∵ ，∴ ，，∴ ．
故选：A．
2. 若函数在处的导数等于，则的值为（）
A. 0 B. C. a D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算可求解.
【详解】 .
故选：D.
3. 已知平面，其中点，，则下列各点中不在平面内的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合各个选项分别求出，计算的值是否为即可.
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【详解】选项 A：设，则，，
所以点在平面内，A 不符合题意；
选项 B：设，则，，
所以点在平面内，B 不符合题意；
选项 C：设，则，，
所以点不在平面内，C 符合题意；
选项 A：设，则，，
所以点在平面内，D 不符合题意；
故选：C
4. 已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别
交于、两点，点为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：分析可得，将直线和直线的方程建立，求出点的坐标，
再由，可得出、的等量关系，由此可求得该双曲线的离心率的值；
方法二：推导出，结合对称性可求出的值，求出的值，由此可得出该双曲线的
离心率的值.
【详解】方法一：因为，且为线段的中点，所以，，则，
不妨设点在第一象限，则直线的斜率为，
所以，直线的方程为，
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联立，解得，即点，
所以，，
化简可得，即，双曲线的离心率．
方法二：因为为中点，，则，所以，
又直线与直线分别为双曲线的两条渐近线，
得，所以，，
所以，故．
故选：C．
5. 已知数据，…，（，）的平均数、中位数、方差均为 4，则这组数据的极差
为（）
A 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】依题意根据平均数、方差均为 4 构造方程组，再由解方程可得，
即可求出这组数据的极差.
【详解】根据题意，不妨设，且，可得，
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由平均数为 4，得，即；
由方差为 4，得，即
；
联立，由可解得；
根据极差定义可得这组数据的极差为 .
故选：D
6. 已知圆锥的底面与圆台的上底面重合，圆锥的顶点在圆台的下底面上，且圆锥与圆台的母线长相等，设
圆台与圆锥的侧面积之比为，体积之比为，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圆锥、圆台的侧面积、体积公式计算可得．
【详解】设圆台的上、下底面半径分别为，圆锥和圆台的母线长均为，高为，
如图，由题意可知，所以，
，则 .
故选：C.
二、多选题（6*2=12）
7. 如图是函数的导函数的图象，则以下说法正确的为（）
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A. 是函数的极值点
B. 函数在处取最小值
C. 函数在处切线的斜率小于零
D. 函数在区间上单调递增
【答案】AD
【解析】
【分析】根据导函数图像判断函数的单调性，再根据选项逐一判断即可．
【详解】对于 A，由导函数的图象可知：当时，，时，
，
且仅当时，，
故函数在上函数单调递减；在函数单调递增，
所以是函数的极小值点，所以 A 正确；
对于 B，两侧函数的单调性不变，则在处不是函数的最小值，所以 B 不正确；
对于 C，由图像可知，所以函数在处的切线的斜率大于零，所以 C 不正确；
对于 D，由图象可得，当时，，当且仅当时等号成立，
所以函数在上单调递增，所以 D 正确，
故选：AD．
8. 下列说法命题正确的是（）
A. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则三点共线
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
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C. 已知，，则在上的投影向量为
D. 已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则
【答案】CD
【解析】
【分析】根据空间向量共线的充要条件计算可判定 A，利用空间向量研究线面关系可判定 B，根据数量积的
几何意义计算投影向量可判定 C，利用四点共面的推论可判定 D.
【详解】对于 A，易知，显然，所以不共线，即 A 错
误；
对于 B，由题意可知，所以不垂直，即 B 错误；
对于 C，在上的投影向量为，即 C 正确；
对于 D，由于四点共面，则，所以，即 D 正确.
故选：CD
三、填空题（6*3=18）
9. 已知数列满足，若对于任意都有，则实数 a 的
取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用数列单调性，分、讨论可得答案.
【详解】对任意的，都有，
数列单调递减，可知 .
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当时，若，单调递减，
而时，单调递减，
只需，解得，；
当时，若，单调递增，应舍去.
综上所述，实数 a 的取值范围是 .
故答案为： .
10. 若曲线在处的切线同时与圆相切，则 ______．
【答案】1 或
【解析】
【分析】先利用导数的几何意义求出在处的切线方程，再利用与圆相切可求得的值.
【详解】由，得，，则，
所以曲线在处的切线方程为，
依题意，直线与圆相切，
则圆心到直线的距离为，解得或，
故答案为：1 或
11. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，
若，则 ________．
【答案】8
【解析】
【分析】先设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，表达出
，，再由正弦定理得到，得到，代入
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两根之和，两根之积，列出方程，求出，进而求出， .
【详解】由题意得，，当直线的斜率为 0 时，与抛物线只有 1 个交点，不合要求，
故设直线的方程为，不妨设，
联立，可得，易得，
设，则，
则，
则，
，
由正弦定理得，，
因为，，
所以，，即，
又由焦半径公式可知，
则，即，
即，解得，
则，解得，
故，
当时，同理可得到 .
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故答案为：8
【点睛】方法点睛：解三角形中，当条件中有角平分线时，可利用正弦定理得到角平分线的性质，将角的
关系转化为边的比例关系，再进行求解.
四、解答题
12. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，若用 x 表示红色骰子正面朝上的点数，用 y 表示绿色骰子正
面朝上的点数，用表示一次试验的结果，设 “两个点数之和等于 8”， “至少有一颗骰子的点
数为 5”， “红色骰子上的点数大于 4”．
（1）判断事件 A，B 否相互独立；
（2）分别求事件和 C 的概率．
【答案】（1）不相互独立
（2）； .
【解析】
【分析】（1）求出事件 A，B，的基本事件以及个数，利用古典概型的公式计算出
，再由独立事件的定义判断即可；
（2）由得出，求出事件 C 的基本事件以及个数，利用古典概
型的公式计算概率即可.
【小问 1 详解】
解：由题可知，事件 “ ”，事件 “至少有一颗骰子的点数为 5”，
则事件的所有情况为：，共 5 种情况，
所以，
事件的所有情况为：，
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共 11 种情况，所以，
事件的所有情况为：，所以，
，所以与不相互独立.
【小问 2 详解】
，
事件 “ ”，事件的所有情况为：
，共 12 种情况，
所以 .
13. 已知等比数列的前项和为，且．
（1）求；
（2）若，求数列前项和．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的通项公式和前项和公式求解；
（2）由（1）求得数列的通项，再综合运用分组求和与错位相减法求得前项和
.
【小问 1 详解】
设等比数列的公比为，
由题意，得，解得，
∴ 或
【小问 2 详解】
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∵ ，由（1）知，，，
令 ①
则 ②
得
即
所以 .
14. 已知函数，其中，为自然对数底数.
（1）求的单调区间；
（2）设且，请判断与的大小，并证明.
【答案】（1）单调递减区间为和；单调递增区间为
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出导函数，利用导数法求得的单调区间即可．
（2）构造函数，利用多次求导的方法判断出的单调区间，从而判断出两者的大小关
系．
【小问 1 详解】
的定义域为，，，
令得，令得且，
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即区间和上，单调递减，
在区间上，单调递增，
所以的增区间为，减区间为，．
【小问 2 详解】
，证明如下：
令，则定义域为，
，
令，则，
则当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
则，所以在，上单调递增，
因为且，所以或，
所以恒成立，即，所以 .