山东省聊城市2024-2025学年高三上册开学考试数学检测试题合集2套（含解析）

这是一份山东省聊城市2024-2025学年高三上册开学考试数学检测试题合集2套（含解析），共32页。试卷主要包含了若复数满足，则的虚部为，向量，，则在上的投影向量为，下列结论正确的有，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．
C．D．
2．向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．若平面截球所得截面圆的面积为，且球心到平面的距离为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．设m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
5．以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．这10人成绩的第百分位数是85，则（ ）
A．65B．70C．75D．80
6．自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱．已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．下列结论正确的有（ ）
A．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，恰有一个黑球与至少有一个红球是互斥事件
B．在标准大气压下，水在4℃时结冰为随机事件
C．若一组数据1，，2，4的众数是2，则这组数据的平均数为
D．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为400的样本进行调查．若该校一、二、三、四年级本科生人数之比为，则应从四年级中抽取80名学生
10．下列命题正确的是（ ）
A．若，则与，共面
B．若，则共面
C．若，则共面
D．若，则共面
11．在中，角所对的边分别为下列结论正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则
C．若，三角形面积，则
D．若，则为等腰三角形
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知向量与的夹角为，且，则实数的值为 .
13．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，则原△ABC的面积为 ．
14．某次联欢会上设有一个抽奖游戏，抽奖箱中共有四种不同颜色且形状大小完全相同的小球16个，分别代表一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项.其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖，从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率为，小华同学获得一次摸奖机会，则求他不能中奖的概率是 .
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15．已知复数（，是虚数单位）．
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围．
16．已知，.
(1)求与的夹角；
(2)求；
(3)若，，求的面积.
17．如图，三棱台中， 分别为的中点.
（Ⅰ）求证：平面 ；
（Ⅱ）若求证：平面平面 .
18．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，D为边上的一点，，且______，求的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
①是的平分线；②D为线段的中点．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）
19．党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态.为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；
（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；
（3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案，
方案一：每满80元可立减8元；
方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.
若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案更优惠.
1．B
【分析】根据复数模的运算和商的运算化简复数，然后根据虚部的概念求解即可.
【详解】因为，所以，
所以的虚部为.
故选：B
2．D
【分析】直接由投影向量公式求解即可.
【详解】在上的投影向量为.
故选：D.
3．C
【分析】根据给定条件，利用球的截面小圆性质及球的面积公式计算即得.
【详解】由平面截球所得截面圆的面积为，得此截面小圆半径，而球心到此小圆距离，
因此球的半径，有，
所以球的表面积.
故选：C
4．C
【分析】根据两平面的位置关系可判断A；根据线面平行的性质结合线线的位置判断B；根据线面的垂直的性质可判断CD.
【详解】在A中，若，，则，可能相交或平行，故A错误：
在B中，若，，则m与n相交、平行或异面，故B错误：
在C中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故C正确；
在D中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故D错误.
故选：C.
5．B
【分析】由样本数据第百分位的定义求解即可得出答案.
【详解】因为10人成绩的第百分位数是，
而，即第位与第位的平均值，
所以是这10人成绩的第百分为数.
故选：B.
6．D
【分析】利用独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式即可求解.
【详解】记“甲射中10环”为事件，“乙射中10环”为事件，，
甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为：
.
故选：D．
7．B
【分析】根据空间向量基本定理结合向量的线性运算，用基底表示即可.
【详解】连接，如图，
因为是的中点，所以
.
故选：B
8．B
【分析】由直线方向向量与平面法向量的位置关系得两平面的位置关系，由此即可得解.
【详解】由题意或.
故选：B.
9．CD
【分析】对于A，分别写出两个事件，根据互斥事件的概念判断；对于B，根据物理知识之间判断选项；对于C，根据众数和平均数公式计算结果；对于D，根据分层抽样的计算公式，计算结果.
【详解】对于A，恰有一个黑球包含的事件是“一黑一红”，至少有一个红球包含的事件是“一红一黑”和“两个红球”，两个事件有公共事件，所以不是互斥事件，故A错误，
对于B，在标准大气压下，水在4℃时结冰为不可能事件，故B不正确，
对于C，众数是2，所以，平均数，故C正确，
对于D，由条件可知名学生，故D正确.
故选：CD.
10．ABD
【分析】利用共面向量定理:即若一条向量用另外两条向量线性表示，则这三条向量一定共面，用此法可判断三条向量共面，再利用有公共点的三条向量共面，进而可判断四点共面，针对，可以利用线性运算转化为，再进行判断.
【详解】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的；
选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点，
所以共面；
选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量，
则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量，
此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的；
选项D，由可得，
则，即，
则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的；
故选：ABD．
11．BC
【分析】对于A，根据余弦定理，判定为锐角即可求解；
对于B，根据大角对大边，及正弦定理求解；
对于C，利用三角形的面积计算公式、余弦定理即可求解；
对于D，根据正弦定理的边角化，再利用倍角公式及角的范围即可求解.
【详解】对于A，由余弦定理得所以为锐角，但是角的大小不清楚，所以不能判定为锐角三角形，故A不正确；
对于B，在中，，则，由正弦定理得，，
即，故B正确；
对于C，由，，得，解得，由余弦定理得，所以， 故C正确；
对于D，由及正弦定理，得，即，
因为，所以或，解得或，所以为等腰三角形或为直角三角形，故D不正确.
故选：BC.
12．
【分析】根据可得，再根据平面向量的数量积公式求解即可
【详解】由可得，即，，代入可得，化简得
故
平面向量的垂直：
若向量，则
13．
【分析】利用“斜二测画法”判断平面图形的形状，然后求解面积即可．
【详解】水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B'O'＝C'O'＝2，，
可知原△ABC是等腰直角三角形，底边长为4，高为23，
则原△ABC的面积为：．
故答案为43．
本题考查斜二测画法，平面图形的面积的求法，考查计算能力．
14．
【分析】根据题意，求得个球中代表无奖的球的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求得结果.
【详解】从个球中任取一个小球，中二等奖或三等奖的概率为，
故可得代表二等奖和三等奖的球共有个，又代表一等奖的球有个，
故代表无奖的球有个，故小华同学获得一次摸奖机会，不能中奖的概率.
故答案为.
15．（1）；（2）．
【分析】（1）利用复数的除法公式计算并整理，再由纯虚数中实部为零，虚部不为零构建方程组，求得答案；
（2）由共轭复数和复数的加减法计算公式整理，再由复数的几何意义构建不等式组，求得答案.
【详解】（1），
因为为纯虚数，所以，解得．
（2）因为是的共轭复数，所以，
所以．
因为复数在复平面上对应的点位于第二象限，所以
，解得．
本题考查复数中利用纯虚数的定义求参数取值范围，还考查了由复数的几何意义求参数范围，属于基础题.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把展开，利用向量的夹角公式可得答案；
（2）可先将平方转化为向量的数量积计算可得答案；
（3）由与的夹角得到，利用三角形面积公式计算可得答案.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以，所以，
所以，
又，所以；
（2）因为，
所以；
（3）因为与的夹角，所以，
又，，
所以.
17．证明见解析
【分析】如下
【详解】（Ⅰ）证法一：连接设,连接，在三棱台中，分别为的中点，可得，所以四边形是平行四边形，则为的中点，又是的中点，所以,
又平面，平面，所以平面.
证法二：在三棱台中，由为的中点，
可得所以为平行四边形，可得
在ΔABC中，分别为的中点，
所以又，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面.
（Ⅱ）证明：连接.因为分别为的中点，所以由得，又为的中点，所以因此四边形是平行四边形，所以
又，所以.
又平面，，所以平面，
又平面，所以平面平面
考点：1.平行关系；2.垂直关系.
18．(1)
(2)选择①②，答案均为
【分析】（1）由正弦定理和得到，求出；
（2）选①，根据面积公式得到，结合余弦定理得到，求出面积；
选②，根据数量积公式得到，结合余弦定理得到，求出，得到面积.
【详解】（1）由正弦定理知，，
∵，
代入上式得，
∵，∴，，
∵B∈0,π，∴．
（2）若选①：由平分得，，
∴，即．
在中，由余弦定理得，
又，∴，
联立得，
解得，（舍去），
∴．
若选②：因为，
所以，
即，得，
在中，由余弦定理得，
即，
联立，可得，
∴．
19．（1）2；（2）；（3）应该选择方案二更优惠.
【分析】（1）由题意可求出金额在“水果达人”的人数30人和消费金额在“水果达人”的人数20人，然后利用分层抽样的比求出5人中消费金额不低于100元的人数为人；
（2）由（1）可知抽取的5人中消费金额在的有3人，分别记为，，，消费金额在的有2人，记为，，即可列出所有的基本事件共有10种，其中满足条件的有7种，从而可求出概率；
（3）由题意可得该游客要购买110元水果，分别计算两种方案所需支付金额，即可得解.
【详解】解：（1）由图可知，
消费金额在“水果达人”的人数为：人，
消费金额在“水果达人”的人数为：人，
分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，这5人中消费金额不低于100元的人数为：人；
（2）由（1）得，
消费金额在的3个“水果达人”记为，，，
消费金额在的2个“水果达人”记为，，
所有基本事件有：
，，，，，，，，，共种，
2人中至少有1人购买金额不低于100元的有种，
所求概率为.
（3）依题可知该游客要购买110元的水果，
若选择方案一，则需支付元，
若选择方案二，则需支付元，
所以应该选择方案二更优惠.
此题考查了频率分布直方图，古典概型，函数等基础知识，考查了数据分析能力，运算求解能力，考查了化归与转化思想，属于中档题.
山东省聊城市2024-2025学年高三上学期开学考试数学检测试题（二）
第I卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．2,3C．D．
2．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（ ）

A．B．
C．D．
6．函数的图象大致为（ ）
A．B． C．D．
7．若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若函数有三个零点a，b，c，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
第II卷
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．以下说法正确的是（ ）
A．“，”的否定是“，”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为
D．“，”是真命题，则
10．若实数、满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．
B．在上单调递增
C．若、，且，则
D．把的图象向右平移个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知幂函数的图象通过点，则 ．
13．若，且，则的最小值为 ．
14．在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15．函数的值域为，的定义域为．
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围．
16．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点．
(1)求的值；
(2)已知为锐角，，求．
[2023•新课标I卷]
17．已知在中，A+B=3C,2sinA−C=sinB．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
18．已知函数．
(1)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断；
(2)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．依据上述结论，证明：的图象关于点成中心对称图形．
19．已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且．
(1)求的值及函数在上的最小值；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
1．C
【分析】利用补集和交集的概念求出答案.
【详解】，故.
故选：C
2．B
【分析】由三角函数周期性，奇偶性逐一判断每一选项即可求解.
【详解】对于A，是奇函数不满足题意，故A错误；
对于B，若，首先定义域为关于原点对称，
且，所以是偶函数，
又，所以是周期函数，故B正确；
对于C，画出函数的图象如图所示：
由此可知函数不是周期函数，故C错误；
对于D，若，则，所以不是偶函数，故D错误.
故选：B.
3．A
【分析】由的正切值，求出正弦及余弦值，即可得出结果.
【详解】因为，且，
所以，则，.
则.
故选：A.
4．D
【分析】直接判断的范围，再比较大小.
【详解】利用对数函数的性质可得,,
利用诱导公式可得
所以.
故选：D
5．A
【分析】设，由，可求得、的值，由题意得出函数的最小正周期，可求得的值，然后由结合的取值范围可得出的值，由此可得出与时间（单位：）之间的关系式.
【详解】设，
由题意可知，，，解得，，
函数的最小正周期为，
则，
当时，，可得，
又因为，则，故，
故选：A.
6．C
【分析】由解析式判断出函数的奇偶性，再带入特殊点逐一排除即可.
【详解】由函数可知定义域为,且定义域关于原点对称.
因为，
所以函数为奇函数，故排除选项B;
因为，故排除选项A;
因为，故排除选项D.
故选：C.
7．B
【分析】根据三角函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】当时，，
由于是三角形的一个内角，所以，
则，
由于函数在区间上单调，
所以，解得，
即的取值范围为.
故选：B
8．B
【分析】画出函数和的图象，得到，，且，化简得到，利用基本不等式求出最小值.
【详解】画出的图象和的图象，如下：
由题意得，，且，
即，，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：B
函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
9．ACD
【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A，根据充分条件和必要条件的定义可判断B选项；由扇形的弧长与面积公式可求C，对二次项系数进行讨论，分为和两种情形，结合判别式可得结果判断D.
【详解】对于A，“，”的否定是“，”，故A正确；
对于B，即，解得，
因为所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误；
对于C，扇形弧长为，圆心角为，所以扇形的半径长为，
则该扇形面积为，故C正确；
对于D，因为“，”是真命题，即，对恒成立.
当时，命题成立；
当时，，解得，
综上可得，，故D正确；
故选：ACD.
10．BC
【分析】利用指数函数的单调性可得出，利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断B选项；利用对数函数的单调性可判断C选项；利用中间值可判断D选项.
【详解】因为函数为上的增函数，由，可得，
对于A选项，当时，，A错；
对于B选项，因为，则，
所以，，B对；
对于C选项，因为，则，可得，
所以，，
因为对数函数为上的减函数，故，C对；
对于D选项，，D错.
故选：BC.
11．ACD
【分析】利用图象求出函数的解析式，可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断B选项；利用余弦型函数的对称性可求出的值，代值计算出的值，可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项.
【详解】对于A选项，由图可知，，
函数的最小正周期满足，可得，则，
则，
又因为，可得，
因为，则，所以，，可得，
所以，，A对；
对于B选项，当时，，
所以，在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，
由可得，
所以，函数在区间内的图象关于直线对称，
若、，且，则，
所以，，C对；
对于D选项，把的图象向右平移个单位长度，
可得到函数的图象，
再将所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
则，D对.
故选：ACD.
12．##0.5
【分析】由幂函数的定义，结合函数过求得函数解析式，进而可得的值.
【详解】设幂函数的解析式为
∵幂函数过点
∴
∴
∴该函数的解析式为，
∴.
故
13．8
【分析】利用基本不等式和一元二次不等式求解.
【详解】因为若，且，则，
又因为，所以，
令，则，即，解得或（舍去），
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8.
故8.
14．
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．
【详解】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故．
本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用对数函数的单调性求出函数在上的最大值和最小值，即可得出集合；
（2）求出集合，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】（1）解：因为在上单调递减，
所以，当时有最大值，且最大值为，
当时，有最小值，最小值为，
所以．
（2）解：由，得，解得，
所以，，
因为，所以，解得．
故实数的取值范围．
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的定义求出的值，利用诱导公式以及弦化切可求得所求代数式的值；
（2）求出的值，利用两角差的正弦公式求出的值，结合角的范围可求得角的值.
【详解】（1）解：因为角的终边过点，所以，
则，，．
．
（2）解：因为角的终边过点，所以为第四象限角，即，
又因为为锐角，则，可得，
因为，则，
因为，所以．
则
．
所以．
17．(1)
(2)6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.
【详解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由=sinAcsC+csAsinC=22(31010+1010)=255，
由正弦定理，，可得，
，
.
18．(1)单调递减，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用单调性得定义证明即可；
（2）构造，只需证明为奇函数即可.
【详解】（1）函数在上单调递减．证明如下：
任取，且，
．
因为，且，
所以，，
所以，即，
故函数在上单调递减．
（2）证明：设，
则．
因为函数定义域为，
且，
所以为奇函数．
故的图象关于点成中心对称图形．
19．(1)，最小值为
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据题中信息求出函数的最小正周期，可得出的值，即可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的基本性质可求出函数在上的最小值；
（2）设，可得出，设，可知在上恒成立，可得出关于的不等式组，解之即可.
【详解】（1）解：函数
， 则，
因为、是函数的图象与直线的两个相邻交点，且，
所以，函数的最小正周期为，则，
可得．
由，得，所以，，
所以，，故函数在上的最小值为．
（2）解：设，因为，所以．
因为不等式恒成立，
设，
所以在上恒成立．
则，即，
解得，故的取值范围为．