湖南省湘西州凤凰县2025届九年级上学期12月学情诊断数学试卷(含解析)

这是一份湖南省湘西州凤凰县2025届九年级上学期12月学情诊断数学试卷(含解析)，共7页。试卷主要包含了将抛物线y＝x2+2x+3绕点，下列说法中，正确的个数是等内容，欢迎下载使用。

姓名: 准考证号:
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注意事项：
1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效。
2．答题前，考生须先将自己的姓名、准考证号分别在试题卷和答题卡上填写清楚。
3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌上，由监考老师统一收回。
4．本试卷三大题，20小题，满分100分，时量120分钟。
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一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，共24分，将每小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）
1．如图的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A．科克曲线 B．笛卡尔心形线 C．赵爽弦图 D．斐波那契螺旋线
2．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若菱形ABCD的一条对角线长为12，边CD的长是方程的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ）
A．20B．24C．28D．20或28
4．已知，则的值为（ ）
A．0B．4C．4或-2D．-2
5．将抛物线y＝x2+2x+3绕点（-1，0）旋转180°，得到的新抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
6．下列说法中，正确的个数是（ ）
（1）相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；
（2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；
（3）任意三点可以确定一个圆；
（4）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线；
（5）圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝25°，以C为旋转中心逆时针旋转后得到△DEC，且点B在边ED上，则旋转角的度数为（ ）
A．65°
B．60°
C．50°
D．40°
8．关于函数y＝|-x2-2x+3|，下列说法正确的个数有（ ）个
①此函数图象的对称轴为直线x＝1；
②该函数的最大值为4，最小值为0；
③该函数的图象与直线y＝4有3个交点；
④若点A（-1，y1），B（，y2），C（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3．
A．1个 B．2个 C．3个D．4个
二．填空题（每小题4分，共6小题，满分24分）
9．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 ．
10．抛物线与坐标轴的交点个数是 ．
11．若二次函数的图象经过原点，则m＝ ．
12．若实数x，y满足关系式6x2+y2＝6x，且t＝5x2+y2，则t的取值范围为 ．
13．在圆O中，弦AB＝8cm，半径为8cm，则弦AB所对的圆周角为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，3）绕点O逆时针旋转90°后得到的点A1，A1绕点O逆时针旋转90°后得到的点A2，以此类推，A2023坐标是 ．

三、解答题（共6小题，满分52分）
15．（6分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝-1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
16．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2），B（5，5），C（1，1）均在格点上．
（1）将△ABC向下平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；
（2）画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积．（结果保留π）

17．（8分）鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表：
（1）根据表中数据预测足球落地时，s＝ m；
（2）求h关于s的函数解析式；
（3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视为防守成功．若一次防守中，守门员位于足球正下方时，s＝24m，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．

（8分）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，
DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．
19．（12分）已知关于x的二次函数（a≠0，m为常数）的图象的顶点为M．
（1）若此二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
（2）已知以坐标原点O为圆心，r为半径的圆是以5，12，13为边长的三角形的内切圆．
①⊙O的半径r＝ ．
②我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”，若M是“完美点”，试判断点M与⊙O的位置关系．
20．（12分）如图，已知抛物线的顶点为A，且经过点B（3，-3）．
（1）求顶点A的坐标；
（2）在对称轴左侧的抛物线上存在一点P，使得∠PAB＝45°，求点P坐标；
（3）如图（2），将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

2024年初中学情诊断九年级数学参考答案及评分标准
一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．A． 2．B． 3．C． 4．B． 5．D． 6．B． 7．C． 8．A．
二、填空题（每小题4分，共6小题，满分24分）
9．． 10．3． 11．3． 12．0≤t≤5． 13．30°或150°． 14．（3，2）．
三．解答题（共6小题，满分52分）
15．解：（1）∵x2-2x-3＝0，解得x1＝3，x2＝-1，
∵x1≠x2+1，
∴方程x2-2x-3＝0不是“邻根方程”；………………（3分）
（2）设方程x2-（m+1）x+m＝0的两根分别为x1、x2（x1≥x2），
∴x1+x2＝m+1，x1x2＝m，
∵关于x的方程x2-（m+1）x+m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
（x-m）（x-1）＝0，x＝m，x＝１解得m＝0或m＝2．………………（6分）
16．（1）如图，△A1B1C1即为所求．点A1的坐标为（5，-3）．………………（1分）
（2）如图，△A2B2C1即为所求．点A2的坐标为（0，0）．………………（3分）

（3）由勾股定理得，B1C1＝，
∴△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积为
．………（6分）
17．解：（1）由表格可知，s＝9时和s＝21时，h相等，s＝12时，s＝18时，h相等，抛物线关于s＝15对称，
∵当s＝0时，h＝0，
∴s＝30时，h＝0，故答案为：30．………………（2分）
（2）由（1）知，抛物线关于s＝15对称，设h＝a（s-15）2+5，
把（12，4.8）代入上述解析式，
∴a（12-15）2+5＝4.8，解得，
∴，即；………………（5分）
（3）不能防守成功，
理由如下：当s＝24m时，（m），
∵3.2＞2.6，
∴这次守门员不能防守成功．………………（8分）
18．（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠OAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠EAD，
∴EA∥OD，
∵DE⊥EA，
∴DE⊥OD，∵点D在⊙O上，
∴直线DE与⊙O相切． ………………（４分）
（2）作DF⊥AB，垂足为F，如图2所示：
∴∠DFA＝∠DEA＝90°，
在△EAD和△FAD中，
，
∴△EAD≌△FAD（AAS），
∴AF＝AE＝8，DF＝DE，
∵OA＝OD＝5，
∴OF＝3，
在Rt△DOF中，，
∴DE＝DF＝4． ………………（8分）
解：（1）∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴Δ＝（4am）2-4a（4am2-m+2）＝0，
∴m＝2；………………（3分）
（2）①∵以5，12，13为边长的三角形是直角三角形，
∴，解得r＝2；………………（6分）
②y＝ax2+4amx+4am2﹣m+2＝a（x+2m）2-m+2，
∴顶点为（-2m，-m+2），
∵点M是“完美点”，
∴﹣2m＝-m+2，
解得 m＝-2，
∴点M（4，4），………………（10分）
由①知，⊙O的半径为2，则点M在⊙O外．………………（12分）
20．解：（1）依题意-32+3m+m-2＝﹣3
∴m＝2，
∴y＝-x2+2x＝-（x-1）2+1
∴顶点A（1，1）；………………（2分）
（2）过B作BQ⊥BA交AP于Q，过B作GH∥y轴
分别过A，Q作AG⊥GH于G，QH⊥GH于H，
∠AGB＝∠ABQ＝∠BHQ＝90°，
∴∠ABG＝∠BQH．
∵∠PAB＝45°，∴BA＝BQ．
在△ABG和△BQH中，，
∴△ABG≌△BQH （AAS），
∴AG＝BH＝3-1＝2，BG＝QH＝1-（-3）＝4
∴Q（-1，-5）
∴直线AP的解析式为y＝3x-2联立抛物线与AP，
得∴-x2+2x＝3x-2∴x1＝1（不符合题意的解要舍去），x2＝-2
∴P（-2，-8）；………………（8分）
（3）在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是为定值，
∵直线OA的解析式为y＝x，
∴可设新抛物线解析式为y＝-(x-a)2+a
联立抛物线与OA，，
∴-(x-a)2+a＝x，
∴x1＝a，x2＝a-1，x1-x2＝1；y1＝x1＝a，y2＝x2＝a-1，y1-y2＝1；
即C，D两点横坐标的差是常数1，C，D两点纵坐标的差是常数1，
，
∴在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是定值．………………（12分）
s/m
…
9
12
15
18
21
…
h/m
…
4.2
4.8
5
4.8
4.2
…