2024-2025学年黑龙江省绥化市高二上学开学摸底考数学检测试题合集2套（附解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省绥化市高二上学开学摸底考数学检测试题合集2套（附解析），共31页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（ ）．
A．B．C．D．
2．在中，点D，N分别满足，，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．棱长为的正方体的内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．11月29日，江西新余仙女湖的渔民们迎来入冬第一个开捕日，仙女湖的有机鱼迎来又一个丰收年.七位渔民分在一个小组，各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（ ）
A．96种B．120种C．192种D．240种
5．若圆锥的轴截面是斜边为4的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．如图，已知正方体的棱长为1，点为上一动点，现有以下四个结论：①面面；②面；③当为的中点时，的周长取得最小值；④三棱锥的体积是定值，其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知，为椭圆（）的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．给出以下24个数据：
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.2 157.0
158.0 158.0 159.0 159.5 161.5 162.0 162.5 162.5
163.0 163.0 164.0 164.1 165.0 170.0 171.0 172.0
对于以上给出的数据，下列选项正确的为（ ）
A．极差为24.0B．第75百分位数为164.0
C．第25百分位数为155.2D．80%分位数为164.1
10．下列基本事实叙述正确的是（ ）
A．经过两条相交直线，有且只有一个平面
B．经过两条平行直线，有且只有一个平面
C．经过三点，有且只有一个平面
D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面
11．已知正六边形的中心为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．存在实数，使得D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知正三角形边长为2，若点在边上且满足，则
13．某班共有36名男生和24名女生，统计他们的体重数据（单位：kg），已知男生体重的平均数为65，方差为34，全体学生体重的平均数为59，方差为86，则该班女生体重的方差为 .
14．如图，小明在山脚测得山顶的仰角为45°，在山脚测得山顶的仰角为30°，测得，，是钝角，已知山脚和，在同一水平面上，则山的高度为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，四面体中，，D在棱上，，，，，证明平面PBC.
16．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，后画出如图的频率分布直方图.
观察图形的信息，回答下列问题：
（1）估计这次考试成绩的众数；
（2）估计这次考试成绩的及格率（分及以上及格）.
17．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别是平面AA1D1D、平面A1B1C1D1的中心，证明：
（1）D1Q∥平面C1DB；
（2）平面D1PQ∥平面C1DB．
18．在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若M是BC的中点，且，求△的面积.
19．已知复数满足.
（1）若是实数，求复数；
（2）求的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【分析】利用诱导公式和二倍角的正弦公式可求三角函数式的值.
【详解】，
故选D.
2．【答案】D
【分析】利用向量的线性运算，用表示.
【详解】在中，点D，N分别满足，，若，，
则
.
故选D.
3．【答案】A
【分析】计算出内切球的半径，结合球体表面积公式可求得结果.
【详解】棱长为的正方体的内切球的半径为，故该球的表面积为.
故选A.
4．【答案】C
【分析】先将甲乙捆绑成一个单元，再讨论其所排位置，运算求解.
【详解】由题意可知：丙必须在最中间（第4位），则甲乙排在第1、2位或2、3位或5、6位或6、7位，
故不同的排法有种.
故选C.
5．【答案】B
【分析】根据圆锥性质求出圆锥高、母线与底面半径关系，根据圆锥体体积公式求解.
【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，
因为圆锥的轴截面是斜边为4的等腰直角三角形，
所以，所以，
圆锥的高，
所以圆锥的体积为.
故选B.
6．【答案】A
【分析】化简复数再求出复数对应点即可判断象限.
【详解】,
对应点为,则z在复平面内对应的点位于第一象限.
故选A.
7．【答案】D
【分析】证得平面，根据平面与平面垂直判定，可知①正确；由平面平面，根据平面与平面平行的性质可知②正确；根据三点共线，线段和最小，可得③正确；由三棱锥等体积法可求得，可知④正确．
【详解】
连接,因为正方体，所以平面，且平面，所以，又因为，且，所以平面，平面，所以，同理，且，所以平面，且平面，所以平面平面，故①正确；
因为平面平面，且平面，所以面，故②正确；
的周长等于，而为体对角线是定值，所以周长最小即为最小，将平面展开到平面在同一个平面，如图：
当三点共线时，最小，则为的中点时，故③正确；
，故④正确.
故选D.
8．【答案】C
【分析】利用椭圆方程和已知条件求出椭圆上一点横坐标关于的表达式，再利用已知条件和椭圆的范围求出离心率的范围即可.
【详解】设，则，
所以，即，
把代入椭圆方程可得，消去得，整理可得，解得
又，整理得，解得
所以离心率的取值范围是.
故选C.
9．【答案】AD
【分析】根据极差百分位数的定义，确定所求数据，即可求解.
【详解】对A，由数据可得，极差为，故A正确；
对BCD，由，，，
可知样本数据的第25，75，80百分位数为第6，7位的平均数，第18，19位的平均数，第20项数据，分别为，，和164.1，故BC错误，D正确.
故选AD.
10．【答案】AB
【分析】根据基本事实以及推论即可逐项判断.
【详解】根据基本事实以及推论，易知A，B正确；
对于C项，若三点共线，经过三点的平面有无数多个，故C错误；
对于D，若这个点在直线外，则确定一个平面，若这个点在直线上，可有无数平面，故D错误；
故选AB.
11．【答案】ACD
【分析】对于ABC：根据正六边形的几何性质结合向量的线性运算分析判断；对于D：根据题意结合向量的数量积运算分析判断.
【详解】如图，不妨设正六边形的边长为1，
对于选项A：因为，故A正确；
对于选项B：因为，故B错误；
对于选项C：因为，
且，
可知，故C正确；
对于选项D：因为，
则，
，
所以，故D正确；
故选ACD.
12．【答案】
【解析】由得到、，再由可得答案.
【详解】
，
所以，所以，
.
故答案为：.
【关键点拨】本题考查了平面向量基本定理、数量积的运算，关键点是，的转化，考查了向量的基本运算.
13．【答案】
【分析】利用均值公式求得女生体重均值，应用方差公式及男生的体重方差和求全体学生的体重方差求解女生的体重方差.
【详解】设男生平均体重为，方差为，女生平均体重为，方差为，全体学生体重为，方差为，
则男生在班级中所占比重为，女生在班级中所占比重为，
故，，，，
所以，解得，
，解得.
故答案为：.
14．【答案】100
【分析】设，分别在和中求得和，在中利用余弦定理求得，再检验时不满足是钝角，时满足题意，即得答案.
【详解】在中，设，，，
在中，，，，
在中，由余弦定理，得，
即，
解得或，即或．
若，则，，所以是直角三角形，
而是直角三角形与是钝角矛盾，舍去.
若，则，而，故，满足是钝角.
所以．
故答案为：100.
15．【答案】证明见解析.
【分析】连接PD，证明，然后利用线面垂直的判定定理即可得到证明.
【详解】证明：连接PD
，，
∴由余弦定理，，
又
平面PBC.
16．【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据频率分布直方图中最高的小矩形，即可求出这次考试成绩的众数；（2）通过频率分布直方图，可估计该次考试中的及格率.
【详解】（1）因为第四组的频率最大，所以这次考试成绩的众数为；
（2）依题意，及以上分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为，
所以，抽样学生成绩的合格分及以上是.
17．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.
【解析】(1)D1Q∥DB且D1Q⊄平面C1DB，DB⊂平面C1DB，由线面平行判定定理可证D1Q∥平面C1DB
(2)同(1)，线面平行判定定理可证D1P∥平面C1DB，结合(1)结论且D1Q∩D1P＝D1，由面面平行判定定理可证平面D1PQ∥平面C1DB
【详解】证明：（1）由ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，可知D1Q∥DB，
∵D1Q⊄平面C1DB，DB⊂平面C1DB，
∴D1Q∥平面C1DB.
（2）由ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，D1P∥C1B，
∵D1P⊄平面C1DB，C1B⊂平面C1DB，
∴D1P∥平面C1DB，
由（1）知，D1Q∥平面C1DB，
又D1Q∩D1P＝D1
∴平面D1PQ∥平面C1DB.
【方法总结】本题考查了线面、面面平行的判定定理，由线面平行可证两相交直线平行一个平面，再根据面面平行的判定定理即证两平面平行
18．【答案】
【分析】由余弦定理及勾股定理易知△为等腰直角三角形，结合已知，在△中应用正弦定理求得，进而可得，最后由三角形面积公式求面积即可.
【详解】由题设，，故，
所以△为等腰直角三角形，而，
在△中，，则，可得，
所以，且M是BC的中点，则.
19．【答案】（1）复数或；（2）.
【分析】（1）利用实数概念及模长，即可得到复数；
（2）利用点与圆的位置关系，即可得到取值范围.
【详解】（1）设i ，、，则，
又是实数，
∴，又，
∴或，
∴复数或；
（2）
表示复数对应的点与对应的点间的距离，
而复数在以原点为圆心，半径为5的圆上，
如图所示，
，
∴.

2024-2025学年黑龙江省绥化市高二上学开学摸底考数学检测试题（二）
一、选择题：本题共8题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。
1．（5分）已知是直线l的方向向量，是平面α的法向量，则m＝（ ）
A．﹣4B．C．D．4
2．（5分）某学校高一年级选择“物化生”、“物化地”、“物化政”和“史政地”组合的同学人数分别为240，120，90和150．现采用分层抽样的方法选出40位同学进行一项调查研究（ ）
A．16B．10C．8D．6
3．（5分）已知1﹣tan15°＝tanα（1+tan15°），则tan2α＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）将函数f（x）＝sinxcsx图象上的所有点都向左平移个单位长度后（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）已知，，则＝（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则C＝（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，，，E是棱PD的中点，则点E到直线AB的距离是（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，直线A1D与平面ABC所成角的最大值是60°，点P在底面ABC内，且A1P＝4，则点P的轨迹长是（ ）
A．B．C．D．2π
二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，则选对的得部分分，有选错的得0分
（多选）9．（6分）已知复数z＝2﹣3i，则下列命题为真命题的有（ ）
A．z的虚部为﹣3
B．
C．
D．若z是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，则p+q＝9
（多选）10．（6分）已知向量，满足，则以下说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，，则向量在向量上的投影数量为
D．向量在向量上的投影向量为
（多选）11．（6分）某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图（ ）
A．该商场有20名销售员
B．该商场这个月有30%的销售员的销售额超过7万元
C．该商场这个月所有销售员销售额的平均数为7万元
D．该商场这个月所有销售员销售额的第80百分位数是8.5万元
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．（5分）若样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x10+1的标准差为4，则数据x1，x2，…，x10的方差为 ．
13．（5分）已知函数f（x）＝csx﹣2sinx，当f（x），sinx＝ ．
14．（5分）已知O是△ABC的外心，若，则内角C的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式及对称轴；
（2）先将f（x）的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移（x）的图像，求函数y＝g（x）上的单调递增区间．
16．（15分）在平行四边形ABCD中，，，AE和BF交于点P．
（1）若，求x的值；
（2）求的值．
17．（15分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A．
（2）若a＝2，，求△ABC的周长．
18．（17分）2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年不再组织开展高校自主招生工作．改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，校考过程中通过笔试，进入面试环节现随机抽取了100名同学的面试成绩，55），第二组[55，第三组[65，75），85），第五组[85，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求a，b的值．
（2）估计这100名同学面试成绩的众数及中位数（中位数精确到0.1）；
（3）已知样本落在第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为64和36，落在第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为82和75，求样本中这两组面试成绩的方差．
19．（17分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，AB＝AA1＝4，D，E分别在线段AC1，A1B上，且AD＝BE．
（1）证明：DE⊥AA1．
（2）求DE的长的最小值．
（3）当DE的长取得最小值时，求二面角A﹣DE﹣A1的正弦值．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。
1．（5分）已知是直线l的方向向量，是平面α的法向量，则m＝（ ）
A．﹣4B．C．D．4
【分析】根据题意，由直线与平面平行的判断方法，可得关于m的方程，解可得答案．
【解答】解：根据题意，是直线l的方向向量，，
若l∥α，得，即2m﹣2﹣6＝0．
故选：C．
【点评】本题考查空间向量的应用，涉及平面的法向量，属于基础题．
2．（5分）某学校高一年级选择“物化生”、“物化地”、“物化政”和“史政地”组合的同学人数分别为240，120，90和150．现采用分层抽样的方法选出40位同学进行一项调查研究（ ）
A．16B．10C．8D．6
【分析】根据分层随机抽样的定义求解．
【解答】解：由题意可得，“物化地”组合中选出的同学人数为．
故选：C．
【点评】本题主要考查了分层随机抽样的定义，属于基础题．
3．（5分）已知1﹣tan15°＝tanα（1+tan15°），则tan2α＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用特殊角的三角函数值以及两角差的正切公式化简已知等式可得tanα的值，进而利用二倍角的正切公式即可求解tan2α的值．
【解答】解：因为1﹣tan15°＝tanα（1+tan15°），
所以tanα＝
＝
＝tan（45°﹣15°）
＝tan30°
＝，
所以tan2α＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，两角差的正切公式以及二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
4．（5分）将函数f（x）＝sinxcsx图象上的所有点都向左平移个单位长度后（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出结果．
【解答】解：函数f（x）＝sinxcsx＝图象上的所有点都向左平移，得到函数y＝（纵坐标不变）的图象．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
5．（5分）已知，，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合二倍角公式，以及正弦的两角和公式，即可求解．
【解答】解：，
则，
，
则，
故sin8（x﹣）＝＝，，
所以＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查二倍角公式，以及正弦的两角和公式，属于基础题．
6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则C＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意，根据B＝π﹣（A+C），利用三角恒等变换和正弦定理，即可求出csA与A的值，再求C的值．
【解答】解：△ABC中，csA+csB＝2sinAsinC，
所以csA﹣cs（A+C）＝csA﹣csAcsC+sinAsinC＝2sinAsinC，
所以csA＝csAcsC+sinAsinC＝cs（A﹣C），
因为c＝a，所以c＞a，所以A﹣C＜0，
所以A∈（0，），所以A+（A﹣C）＝0；
由c＝a，即sinC＝，所以sin2A＝；
所以6sinAcsA＝sinA，
又sinA≠0，所以csA＝，），所以A＝．
故选：C．
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了数学运算核心素养，是基础题．
7．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，，，E是棱PD的中点，则点E到直线AB的距离是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由线面垂直的判定定理，结合点到直线的距离的求法求解．
【解答】解：在正四棱锥P﹣ABCD中，，，
连接BD，取BD的中点O，
则PO⊥平面ABCD，
又E是棱PD的中点，
取DO的中点F，连接EF，
则EF⊥平面ABCD，
过F作FM∥AD，
则FM⊥AB，且M为AB的四等分点，
则AB⊥平面EMF，
则EM⊥AB，
则EM即为点E到直线AB的距离，
又＝，＝，
则＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了线面垂直的判定定理，重点考查了点到直线的距离的求法，属中档题．
8．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，直线A1D与平面ABC所成角的最大值是60°，点P在底面ABC内，且A1P＝4，则点P的轨迹长是（ ）
A．B．C．D．2π
【分析】根据题意易得∠A1DA即为直线A1D与平面ABC所成角，且当AD为等腰三角形ABC的底边上的高时，直线A1D与平面ABC所成角的最大，从而可得A1A＝，进而可得AP＝＝2，从而可求解．
【解答】解：∵AA1⊥平面ABC，
∴∠A1DA即为直线A4D与平面ABC所成角，
∵底面三角形ABC中，AB＝AC＝4，
∴BC＝，BC边上的高为h＝2，
∴tan∠A1DA＝≤＝＝tan60°＝，
∴A1A＝，又A1P＝6，
∴AP＝＝＝2，
∴点P的轨迹长是＝．
故选：C．
【点评】本题考查线面角的最值问题的求解，属中档题．
二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，则选对的得部分分，有选错的得0分
（多选）9．（6分）已知复数z＝2﹣3i，则下列命题为真命题的有（ ）
A．z的虚部为﹣3
B．
C．
D．若z是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，则p+q＝9
【分析】由复数的基本概念及复数模的公式判断即可．
【解答】解：z＝2﹣3i，
z的虚部为﹣3，故A正确；；
z•i10＝（2﹣8i）•（﹣1）＝﹣2+6i，，故C错误；
若z是关于x的方程x4+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，
则也是关于x的方程x2+px+q＝7（p，q∈R）的另一个根，
∴，解得，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数模的求法，是基础题．
（多选）10．（6分）已知向量，满足，则以下说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，，则向量在向量上的投影数量为
D．向量在向量上的投影向量为
【分析】由平面向量数量积的运算，结合投影向量的运算逐一判断即可．
【解答】解：已知向量，满足，
即，
即，
对于选项A，若，，
则，
即或m＝8，
即选项A错误；
对于选项B，若，
则，
则，
则，
即选项B正确；
对于选项C，若，，
则向量在向量＝＝，
即选项C正确；
对于选项D，向量上的投影向量为＝，
即选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了投影向量的运算，属中档题．
（多选）11．（6分）某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图（ ）
A．该商场有20名销售员
B．该商场这个月有30%的销售员的销售额超过7万元
C．该商场这个月所有销售员销售额的平均数为7万元
D．该商场这个月所有销售员销售额的第80百分位数是8.5万元
【分析】根据统计图，统计即可求解AB，根据平均数的计算即可求解C，根据百分位数的计算即可求解D．
【解答】解：对于A，由统计图可知该商场有1+2+8+7+3+5+1＝20名销售员；
对于B，该商场这个月销售额超过7万元的销售员有2+2+1＝6名，
占总人数的百分比为，故B正确；
对于C，该商场这个月所有销售员销售额的平均数为，故C错误；
对于D，因为20×80%＝16，
所以该商场这个月所有销售员销售额的第80百分位数是8万元，则D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．（5分）若样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x10+1的标准差为4，则数据x1，x2，…，x10的方差为 4 ．
【分析】根据方差的性质求解．
【解答】解：设数据x1，x2，…，x10的方差为s2，
所以样本数据2x1+2，2x2+8，…，2x10+1的方差为5s2，
所以＝4，
解得s2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了方差的性质，属于基础题．
13．（5分）已知函数f（x）＝csx﹣2sinx，当f（x），sinx＝ ．
【分析】根据两角之差的正弦公式化简函数表达式，可得f（x）＝sin（φ﹣x），其中φ满足tanφ＝2，然后根据正弦函数的性质，求出f（x）取最大值时sinx的值．
【解答】解：根据题意，可得f（x）＝（sinx）
＝（sinφcsx﹣csφsinx）＝，其中sinφ＝．
若f（x）取得最大值，则sin（φ﹣x）＝1+2kπ．
所以x＝φ﹣﹣6kπ，可得sinx＝sin（φ﹣．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角恒等变换公式、正弦函数的最值及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
14．（5分）已知O是△ABC的外心，若，则内角C的最大值是 ．
【分析】由平面向量数量积的运算及三角形外接圆的性质，结合投影的定义及余弦定理求解．
【解答】解：设△ABC的三边AB、AC，b，a，
已知O是△ABC的外心，
则＝＝＝＝，
＝＝＝，
又，
则，
则a2+b2＝7c2，
由余弦定理可得：＝，
即，
即内角C的最大值是．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了投影的定义及余弦定理，属中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式及对称轴；
（2）先将f（x）的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移（x）的图像，求函数y＝g（x）上的单调递增区间．
【分析】（1）根据f（x）的最值求出A＝2，利用三角函数的周期公式，列式算出ω＝2，然后根据当x＝时，f（x）有最大值，求出φ＝，可得函数f（x）的解析式，进而根据正弦函数的对称性求出f（x）的对称轴方程；
（2）根据函数图象平移公式，可得g（x）＝sin（2x﹣），然后利用正弦函数的单调性，求出g（x）在x∈上的单调递增区间．
【解答】解：（1）由题意得A＝2，f（x）的周期T满足＝，
由＝π，f（x）＝5sin（2x+φ），
由x＝时，f（x）有最大值+φ＝，取k＝0．
所以f（x）＝2sin（2x﹣），
令2x﹣＝+kπ（k∈Z）+（k∈Z）；
（2）将f（x）的图像纵坐标缩短到原来的倍，可得y＝）的图象，
再所得图象向左平移个单位f（x+）﹣）的图像，
所以g（x）＝sin（8x﹣），令+6kπ≤2x﹣≤，
解得﹣+kπ≤x≤．所以g（x）在R上的递增区间为[﹣，+kπ]（k∈Z）．
分别取k＝0、3，与区间，得[﹣，，π]，
所以g（x）在x∈上的单调递增区间是[﹣，，π]．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质、正弦函数的单调性与最值、函数图象的变换公式等知识，属于中档题．
16．（15分）在平行四边形ABCD中，，，AE和BF交于点P．
（1）若，求x的值；
（2）求的值．
【分析】（1）以为基底表示出，然后根据列式解出x的值；
（2）由（1）推导出且，然后根据三角形面积公式求解，可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得，
结合，且，可得；
（2）由（1）可得，则，即．
因为，即，
所以，整理得，即．
【点评】本题主要考查平面向量的线性运算法则、两个向量平行的条件、平行线的性质与三角形面积公式等知识，属于中档题．
17．（15分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A．
（2）若a＝2，，求△ABC的周长．
【分析】（1）由辅助角公式可得，由于A是三角形的内角，可得A的范围，继而可得出角A的值；
（2）由题意利用正弦定理把边化成角得，根据B，C∈（0，π），可得csB＝，继而求得角B的值，结合（1）的结论，由和差公式可求得sinC，再利用正弦定理可求出b和c，即可得出三角形的周长．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∵A∈（2，π），
∴，
∴，
∴；
（2），即，
由正弦定理可得，
∵B，C∈（0，
∴sinB≠5，sinC≠0，
∴csB＝，
∴，
又∵，
∴＝，
由正弦定理可得，，即，
解得b＝，c＝，
故△ABC的周长为3+．
【点评】本题考查了正弦定理和三角函数的恒等变换，属于中档题．
18．（17分）2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年不再组织开展高校自主招生工作．改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，校考过程中通过笔试，进入面试环节现随机抽取了100名同学的面试成绩，55），第二组[55，第三组[65，75），85），第五组[85，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求a，b的值．
（2）估计这100名同学面试成绩的众数及中位数（中位数精确到0.1）；
（3）已知样本落在第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为64和36，落在第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为82和75，求样本中这两组面试成绩的方差．
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，建立方程，即可求解；
（2）根据众数与平均数的概念，即可求解；
（3）根据加权平均数与方差的概念，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可知：10（a+0.045+0.020）＝6.7，（2a+b+6.045+0.020）×10＝1，
解得a＝2.005，b＝0.025；
（2）估计这100名同学面试成绩的众数为＝70分；
∵前几组的频率依次为8.05，0.25，
估计这100名同学面试成绩的中位数为≈69.4分；
（3）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为x1，x7，，且两组频率之比为，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为，
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为[]＝，
故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是．
【点评】本题考查频率分布直方图的性质，众数与中位数的求解，加权平均数与方差的求解，属中档题．
19．（17分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，AB＝AA1＝4，D，E分别在线段AC1，A1B上，且AD＝BE．
（1）证明：DE⊥AA1．
（2）求DE的长的最小值．
（3）当DE的长取得最小值时，求二面角A﹣DE﹣A1的正弦值．
【分析】（1）利用空间向量法证明线线垂直；
（2）利用两点之间距离和二次函数最值解出答案；
（3）利用空间向量法计算面面夹角的正弦值；
【解答】证明：（1）取O，F分别为线段A1C1，AC的中点，连接OB3，OF，
在三棱柱ABC﹣A1B1C5中，AA1⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，
所以OB1⊥A4C1，OF∥AA1，
又AA6⊥OB1，AA1⊥A5C1，
所有OF⊥A1C2，OF，A1C1是平面AA6C1C内两条相交直线，
所以OB1⊥平面AA4C1C，又OF⊂平面AA1C5C，
所以OB1⊥OF，因此A1C2，OB1，OF两两互相垂直，
以为O原点，以OA1，OB5，OF的方向分别为x，y，z轴的正方向，
因为AB＝AA1＝4，设，
则，
所以，
因为，
所以DE⊥AA1；
解：（2）由（1）可知：
，
令，根据二次函数的最小值可知，
当时，y取最小值为，
所以DE的长的最小值为5；
（3）当DE的长取得最小值时，即，
则，
，
设平面ADE的法向量为，
则，即，令x＝1，则，
设平面A8DE的法向量为，
则，即，令x7＝1，则，
设二面角A﹣DE﹣A6的平面角为θ，
所以，
所以，
二面角A﹣DE﹣A7的正弦值．
【点评】本题考查了向量法在解决立体几何中的空间角，空间距离，空间位置关系上的应用，属于中档题．