2024-2025学年河南省漯河市高二上学期第一次月考数学检测试卷合集2套（附解析）

这是一份2024-2025学年河南省漯河市高二上学期第一次月考数学检测试卷合集2套（附解析），共32页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．复数的共轭复数是（其中i是虚数单位）（ ）
A．B．C．D．
2．在棱长为1的正方体中，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
4．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ）
A．B．
C． ，D．，
5．直线的一个方向向量是（ ）
A．B．C．D．
6．已知直线，且，则实数（ ）
A．1B．0或1C．0D．
7．设直线l的直线方程为，则直线l的倾斜角的范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在棱长为2的正四面体中，分别为棱的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知平面平面，且，则下列命题不正确的是（ ）
A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线
B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线
C．平面α内的任意一条直线必垂直于平面β
D．过平面α内的任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β
10．画出直线，并在直线l1外取若干点，将这些点的坐标代入，求它的值，观察有什么规律，同理，画出直线，观察规律，则下列点的坐标满足的有（ ）
A．B．C．D．
11．设，过定点A的动直线：与过定点B的动直线：交于点P，则下列说法正确的有（ ）
A．B．面积的最大值为
C．D．的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 .
13．三条直线，与不能围成一个三角形，则 .
14．已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数，，且的最大值为.
(1)求常数的值；
(2)求的最小值以及相应的值.
16．如图，在边长为2的正方形中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点

(1)求证
(2)求三棱锥的体积
17．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
(1)求证：平面.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(3)在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．设直线l的方程为
(1)求证：无论a为何值，直线l必过一定点P；
(2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A，B，当面积最小时，求的周长；
(3)当直线l在两坐标轴上的截距均为整数且斜率为正值时，求直线l的方程.
19．已知直线l1，l2的方程分别是，点A的坐标为（）.过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）.
(1)若，且A为线段MN中点，求实数a的值及的面积；
(2)是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由.
参考答案
1．【答案】B
【详解】，
所以的共轭复数是，
故选：B
2．【答案】C
【详解】
如图，连接，由正方体的性质可得，，
故到的距离为，
故选：C.
3．【答案】C
【详解】可以看成是线段上的点与点连线的斜率，
如图，易求得，，
所以得取值范围为.
故选：C.
4．【答案】D
【详解】因为，故，
故存在实数，使得，故，故，
故选：D.
5．【答案】A
【详解】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.
【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，
又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，
故选：A.
6．【答案】B
【详解】因为，且，
所以，即，解得：或.
故选：B
7．【答案】C
【详解】当时，直线的倾斜角为，
当时，由得到，
又易知，所以，即，
由的图像可知，，
综上，

故选：C.
8．【答案】D
【详解】因为分别为棱的中点且正四面体的棱长为2，
故，
而，，
故
，
故，故和夹角的余弦值为，
故选：D.
9．【答案】ACD
【分析】根据线面、面面关系逐一判断即可.
【详解】对于A，平面内取平行于交线的直线时，该直线与平面平行，不垂直于平面β内的任意一条直线，故A错误；
对于B，取平面内无数条与交线垂直的直线，平面内的已知直线与这无数条直线垂直，故B正确；
对于C，平面内取与平行的直线，不垂直于平面，故C错误；
对于D，若内的任意一点取在交线上，所作垂线可能不在平面内，所以不一定垂直于平面，故D错误.
故选：ACD
10．【答案】ABD
【详解】解：如图所示：
当点在直线的上方时，；
当点在直线的下方时， ；
当点在直线的上方时，；
当点在直线的下方时， ；
所以满足的有，，，
故选：ABD
11．【答案】BCD
【分析】由题意知直线分别过定点，，及，由勾股定理及两点间的距离公式即可求得，即可判断A的正误；再由三角形的面积公式及基本不等式可求得面积的最大值，可判断B正误；由基本不等式推论即可求得，可判断C的正误；由勾股定理及两点间的距离公式可求得，设，，在由三角函数，即可求得的最大值.
【详解】A中：直线：，令，则，则定点，
：，化简得，令，则，则，
当时，直线：，直线：，此时两直线垂直，
当，，显然，两直线垂直，
综上两直线互相垂直，则；
B中：，
当且仅当时等号成立，B对；
C中：由，知：知：，当且仅当时等号成立，C对.
对于D，在中，，
设，，，
所以，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：BCD．
12．【答案】
【详解】在中，，由余弦定理，
，
因为，所以，
又在中，，
所以.
故答案为：.
13．【答案】或或
【详解】当三条直线交于同一点时，
，即交点为.
将代入，得，解得；
当直线与平行，则，解得；
当直线与平行，则，解得.
故答案为：或或
14．【答案】/
【详解】因为，，
所以直线与间的距离为，又，故，
过作直线垂直于，如图，
则可设直线的方程为，代入，得，则，
所以直线的方程，
将沿着直线往上平移个单位到点，设，
则，解得或（舍去），则，
连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，
有，即四边形为平行四边形，
则，即有，
显然是直线上的点与点距离和的最小值，
因此的最小值，即的最小值，
而，
所以的最小值为.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)当时，
【详解】（1），
当时，，，
解得：.
（2）由（1）知：，且当时，，
当，即当时，.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由折叠可知三条直线两两垂直，利用线面垂直的判定定理，可先证明平面，再由线面垂直性质证求证；
（2）由折叠可知三条直线两两垂直，，可求解.
【详解】（1）正方形中，，，
折起后，有，，
平面，，∴平面，
∵平面PEF，∴.
（2）正方形中，，折叠后可知三条直线两两垂直，
，，
.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在；
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而得，再结合线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用空间向量夹角公式、线面角的定义进行求解即可；
（3）要使平面，则，由此列式求解可得.
【详解】（1）∵平面平面，且平面平面，
且，平面，
∴平面，
∵平面，∴，
又，且，平面，
∴平面；
（2）取中点为，连接，
又∵，∴．则，
∵，∴，则，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，，
设为平面的一个法向量，
则由，得，令，则．
设与平面的夹角为，
则；
（3）假设在棱上存在点点，使得平面.
设，，
由（2）知，，，，则，，
，
由（2）知平面的一个法向量．
若平面，则，
解得，又平面，
故在棱上存在点点，使得平面，此时.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)，，，，
【详解】（1）由得，
令，解得，
所以不论为何值，直线必过一定点.
（2）由，
令，得，
令，得，
由，解得，
，
当且仅当，即时等号成立，
此时，，
所以得周长为.
（3）直线在两坐标轴上的截距均为整数，即，均为整数，
所以，均为整数，又斜率为正值即，即，
，
所以直线的方程为，，，.
19．【答案】(1)，
(2)存在，
【详解】（1）

因为直线 l过点，且斜率为，所以直线的方程为，
因为直线与分别交于点，所以 ，
由 ，解得 ，即 ，
由 ，解得 ，即，
又因为的纵坐标均为正数，所以 ，即，
因为 ，所以
若时，，，
又因为点为线段中点，所以解得，
所以，，所以，的面积．
（2）假设存在满足题意的，使得的值与无关，
由（1）知：， 且，
因此，，
所以，
因为 ，所以当时，为定值，
所以存在实数，使得的值与无关．
2024-2025学年河南省漯河市高二上学期第一次月考数学检测试卷（二）
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
3．已知直线与平行，则（ ）
A．1B．C．0D．1或
4．如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．直线与直线在同一平面直角坐标系内的图形可能是（ ）．
A．B．
C．D．
6．两圆与的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．1
7．已知实数 x，y 满足方程 y＝−x2+4x−1 ，则 yx 的最大值为（ ）
8．已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．若三条直线不能围成一个三角形，则实数的值可以为（ ）
A．B．0C．1D．2
10．已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的半径为4
B．直线过定点
C．直线与圆的相交弦长的最小值为
D．直线与圆的交点为，则面积的最大值为2
11．已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则（ ）
A．直线与所成角的取值范围是
B．三棱锥的体积为定值
C．
D．的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．直线与直线之间的距离为 ．
13．已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
14．已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，当最小时，直线的方程为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，且．
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值．
16．已知平面上有两点，和直线.
(1)求过点的圆的切线的方程；
(2)动点在直线上运动，求的最小值.
17．已知直线过定点．
(1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
(2)设为上的一个动点，求中点的的轨迹方程．
18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由．
19．常用测量距离的方式有3种．设，定义欧几里得距离；定义曼哈顿距离，定义余弦距离，其中（为坐标原点）．
(1)若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)若，求的取值范围；
(3)动点在直线上，动点在函数图象上，求的最小值.
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角.
【详解】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为.
故选:A
2．【答案】B
【分析】利用空间向量的线性运算法则求解.
【详解】
.
故选B.
3．【答案】B
【分析】由两直线平行的条件求解．
【详解】因为，所以解得.
故选：B．
4．【答案】C
【详解】化为空间向量问题，以作为基底，则
，
设向量和的夹角为，
则直线和夹角的余弦值等于.进行向量运算
因为四面体为正四面体，所以且夹角均为，
所以
.
故选：C.
【法二】分别以所在的直线为轴
建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，
得
得.
设向量和的夹角为，
则直线和夹角的余弦值等于.
进行向量运算得..
故选：C
【法三】连接，易得，
则直线和夹角即为直线和所成角或其补角，
设正方体的棱长为2，
则中，，
由余弦定理得，.
故选：C
5．【答案】D
【详解】根据直线方程斜截式与图像的关系进行判断即可．
6．【答案】B
【详解】两圆的圆心分别为,半径均为1，故圆心距离为,故两圆相交，
圆与圆的公共弦所在的直线方程为：
，即，
圆的圆心到公共弦的距离：
，圆的半径，
公共弦长．
故选：B．
7．【答案】 C
【详解】 方程 y＝−x2+4x−1 化为 x－22＋y2＝3y≥0 ，表示的图形是一个半圆，令 yx＝k ，即 y＝kx ，如图所示，当直线与半圆相切时， k＝3 (负值舍去)，所以 yx 的最大值为 3 .
8．【答案】B
【分析】先求出点的轨迹方程，再判断两圆的位置关系，即可求出的取值范围.
【详解】因为点为直线与直线的交点，
所以由可得，且过定点，过定点，
所以点的轨迹是以点与点为直径端点的圆(去除)，圆心为，
半径.
而圆的圆心为，半径为，
所以两个圆心的距离，且，所以两圆相离，
所以的最大值为：，
因为不在圆上，故，
所以的取值范围是.
故选B.
【关键点拨】本题解决的关键是根据直线垂直以及过定点得到点的轨迹是圆，从而得解.
9．【答案】ACD
【详解】当三条直线交于一点时不能围成三角形：由，
解得和的交点的坐标为，
由在上可得，解得，
因为与的相交，所以当三条直线有两条直线平行时不能围成三角形，
当时，，解得，
当时，，解得，
显然与不可能重合.
综上，或或，这三条直线不能围成三角形，
∴实数的取值可以是或或.
故答案为：ACD.
10．【答案】BCD
【详解】解：对于A：圆，即，圆心为，半径，故A错误；
对于B：直线，即，令，得，即直线过定点，故B正确；
对于C：因为，所以直线所过定点在圆的内部，不妨设直线过定点为，
当直线与圆的相交弦最小时，与相交弦垂直，
又因为，所以相交弦的最小为，故C正确；
对于D：设圆心到直线的距离为，则，则，
所以
，当且仅当，即时取等号，故D正确．
故选：BCD．
11．【答案】AC
【详解】对于A，由，异面直线与所成角即为与所成角，
又为等边三角形，当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，
当与线段的中点重合时，与所成角取最大值，
故与所成角的范围，故A正确.
对于B，因为，平面，平面，
所以平面，所以直线上任意一点到平面的距离相等，
所以点到平面的距离等于点到平面，
所以，故B错误；
对于C，，
设，
所以，
当时，有最小值为；当或时，有最大值为；
故，所以，所以，
则，故C正确；
对于D，将旋转到平面内，如图所述，旋转到，
且最小值为：，故D错误.
故选：AC.
12．【答案】/
【详解】的方程可化为，与平行，
由平行直线之间的距离公式可得
.
故答案为：.
13．【答案】
【详解】因为向量的夹角为钝角，
则，解得，
当共线时，由，即，解得，
所以当夹角为钝角时.
故答案为：.
14．【答案】
【详解】由，得到，圆心为，半径为，
由题易知，所以四边形的面积，
又，
所以当最小时，即PC最小，此时，
所以直线的方程为，即，
由，解得，即，
所以，得到，
则以为圆心，为半径的圆的方程为，
又是圆与圆的公共弦，
两圆方程相减得到，所以直线的方程为，
故答案为：.
15．【答案】(1)9；
(2).
【详解】（1）解：因为，
所以，解得，
所以，
则，
所以；
（2）解：，
，
，
设向量与夹角为，
所以，
所以向量与夹角的余弦值为．
16．【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）方法一：过点且斜率不存在的直线为，
圆的圆心到直线的距离，
即直线与圆相切，故满足题意；
当过点且斜率存在的直线为y=kx−1，
若直线y=kx−1与圆相切，
则，解得，此时满足题意的直线为，
综上所述，所求切线的方程为或.
方法二：所求切线经过点，设其方程为.
则该直线到点的距离为，即.
所以，此即，得.
故或，从而所求切线的方程为或.
（2）方法一：如图所示：
设点关于直线的对称点，显然，
则，解得，所以的坐标为−2,3，
设与直线交于点，
则，等号成立当且仅当重合，
所以的最小值为.
方法二：设Px,y，则，从而.
故
.
从而
.
当，时，有，.
所以的最小值是.
17．【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）因为直线恒过定点，
若截距为，即直线经过原点，则，此时直线的方程为，
若截距不为，不妨设直线方程为，代入，得，此时直线方程为，
则求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或．
（2）设Mx,y，，则，得到，所以，
又点在上，所以，整理得，
故的轨迹方程为.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在；的长为或
【详解】（1）连接，交于点，连接，
点是的中点，点是的中点，
所以,平面,平面，
所以平面；

（2）如图，以向量，，为轴的正方向建立空间直角坐标系，
即，，，则，
设平面的法向量，则，
令得，所以平面的法向量，
平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为；

（3）由（2）知，，，，
，，，
，
由（2）知平面的法向量，
设直线与平面的夹角为，
则
整理得，解得或
故当时，；当时，
则的长为或．
19．【答案】(1)2，
(2)
(3)
【详解】（1），
因，
则
（2）因，
令则，
即与有交点，
也即半圆与直线有交点，
如图，先计算直线与半圆相切和经过点时的情况.
由圆心到直线的距离解得，，
由图知此时，即；
又由，代入点，解得，.
由图知，要使两者有交点，需使此时，
因 ，则有；
（3）设动点，则
，
因，所以，
①当时，，
此时，当且仅当时取得；
②当时，，
此时；
③当时，，
此时，
又，
所以，
综合得，
当时取等号．
即的最小值为.
A．0
B．1
C． 3
D．2