2024-2025学年广西柳州市柳城县高二上学期入学考试数学检测试题合集2套（附解析）

这是一份2024-2025学年广西柳州市柳城县高二上学期入学考试数学检测试题合集2套（附解析），共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，则（ ）．
A．B．C．D．
2．在空间直角坐标系中，直线的方向量分别为，则（ ）
A．B．C．与异面D．与相交
3．设集合，若，则（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-1
4．某高校为宣扬中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛，在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（ ）

A．B组打分的极差小于A组打分的极差B．B组打分的中位数为75
C．A组的意见相对一致D．A组打分的众数为50
5．函数y=xcsx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．设为单位向量，且，则向量夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知角满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，三棱柱中，分别是的中点，平面将三棱柱分成体积为（左为，右为）两部分，则（ ）

A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．对于函数，下列选项中正确的有（ ）
A．在上单调递减
B．的图象关于原点对称
C．的最小正周期为
D．的最大值为2
10．已知，且，则下列正确的有（ ）
A．的最大值是B．的最小值是
C．的最大值是9D．的最小值是
11．已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．是奇函数
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．在如图所示的长方体中，已知，，则点的坐标为
．
13．已知函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是 .
14．平面立角坐标系中，是单位向量，向量满足，且对任意实数成立，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若为上一点，且，求的面积．
16．从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4．
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校800名男生身高的中位数；
(3)从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为x，y，记为事件E，求．
17．如图，四棱锥中，，，，侧面底面ABCD，E为PC的中点．
(1)求证：平面PCD；
(2)若，求二面角的余弦值．
18．已知函数是偶函数.
(1)求的值；
(2)若方程有解，求实数的取值范围；
(3)若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
19．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，，（解答本题时，这些不等式根据需要可以直接使用）．
(1)证明：当时，；
(2)设，若区间满足：当定义域为时，值域也为，则称区间为的“和谐区间”．试问是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】C
【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.
【详解】由题意得.
故选：C.
2．【答案】A
【分析】应用空间向量数量积的坐标运算，结合向量垂直表示即可确定直线的位置关系.
【详解】由，故，
所以.
故选：A
3．【答案】A
【解析】，则或或-1或2.
时，，舍；时，舍.，选A.
4．【答案】C
【详解】对于A：观察折线图可知，小组B的极差大于小组A的极差，故选项A错误；
对于B：小组B打分的分值按照从小到大排列为：36，55，58，62，66，68，68，70，75，
所以中间数为66，故中位数为66，故选项B错误；
对于C：小组A的打分成绩比较均匀，波动更小，故A小组意见相对一致，故选项C正确；
对于D：小组A打分的分值为：42，47，45，46，50，47，55，50，47，
所以小组A打分的分值的众数为47，故选项D错误．
故选：C．
5．【答案】A
【详解】因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误.
故选：A.
6．【答案】A
【分析】根据平面向量的数量积定义，数量积的运算律及向量模的计算方法即可求解.
【详解】由可得：，即.
因为为单位向量
所以.
所以，解得：.
故选：A
7．【答案】B
【分析】利用同角三角函数平方式，结合一元二次方程的解法，求得，根据三角函数诱导公式以及余弦二倍角公式，可得答案.
【详解】由，，，，解得，
，
故选：B.
8．【答案】A
【分析】由分别是的中点，可得（是三角形的面积，是三角形的面积），由棱台的体积公式可求得，再根据，求得，即可得答案.
【详解】解：设三角形的面积为，三角形与三角形的面积为，三棱柱的高为，
则有，，设三棱柱的体积为，
又因为①，②，
所以③，
由题意可知④，
由①②③④可得，
所以，
所以.
故选：A.
9．【答案】AB
【分析】A.令，利用正弦函数的性质判断；B.利用奇函数的定义判断；C.利用正弦函数的周期性判断；D；利用正弦函数的最值判断；
【详解】A.当时，，因为在单调递减，
所以在单调递减，故选项A正确；
B.因为，所以为奇函数，
所以的图象关于原点对称．故选项B正确；
C. 代入周期公式得，故选项C错误；
D. ，的最大值为1，故选项D错误.
故选：AB．
10．【答案】AB
【分析】由基本不等式逐项判断即可.
【详解】因为，
，，当且仅当时，等号成立，A正确；
，当且仅当，即时等号成立，B正确．
，当且仅当，即时等号成立，C错误；
由得，所以，D错；
故选：AB．
11．【答案】ACD
【分析】采用赋值法，利用已知条件，分析函数的有关性质即可判断.
【详解】对A,令，则，
化简可得，又因，
所以，故A正确；
对B,令，则，又因
化简可得f−x=fx，所以是偶函数，故B错误；
对C,令，则，因，
所以，故C正确；
对D,令，则，因，
所以，令，则①，
再令，②，由①②知，故D正确.
故选：ACD
12．【答案】
【分析】
根据已知条件求出长方体的长、宽、高，即可得点的坐标.
【详解】
在长方体中，已知，，
所以，，，
所以点的坐标为，
故答案为：
13．【答案】或
【分析】将复合函数看做，，然后分和两种情况讨论内外函数的单调性，根据单调性列不等式求解即可.
【详解】复合函数可以看做，，
当时，外函数单调递增，所以内函数在上单调递减，则，解得；
当时，外函数单调递减，所以内函数在上单调递增，则，解得；
综上所述，或.
故答案为：或.
14．【答案】
【分析】利用平方的方法化简已知不等式，然后根据一元二次不等式恒成立的知识求得正确答案.
【详解】由，
所以，对任意实数成立，
所以，即，
即，所以.
故答案为：
【点睛】本题是一个综合性的题目，一个是数量积的运算，包括模的处理方法，一个是一元二次不等式恒成立问题，包括一元二次不等式的解法，还需要对主参变量进行确定.
15．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出，再由正弦定理求出.
（2）根据给定条件，利用三角形面积公式，结合面积关系计算即得.
【详解】（1）在中，由余弦定理，得，
即，而，解得，由正弦定理得，
所以.
（2）依题意，由三角形面积公式得，
所以．
16．【答案】(1)0.06
(2)174.5cm
(3)
【分析】（1）由频率和（即小矩形的面积和）为，求得结果即可；
（2）频率分布直方图中的中位数两侧矩形的面积和（频率）各占；
（3）由古典概型的计算公式分别计算基本事件总数和事件E包含的基本事件个数，求解即可.
【详解】（1）第六组的频率为，
则第七组的频率为；
（2）由图知，身高在的频率为，
在的频率为，
在的频率为，
在的频率为，
由于，，
设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，
由，得，
所以这所学校800名男生身高的中位数为174.5cm；
（3）样本身高在第六组的人数为4，设为a，b，c，d，
在第八组的人数为，设为A，B，
则从中随机抽取两名男生有：，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，
当且仅当随机抽取的两名男生在同一组时，事件E发生，所以事件E包含的基本事件为，，，，，，共7种情况，
所以．
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）取中点，通过证明四边形为平行四边形，得出，再证明和得出平面，即可证明；
（2）取中点，过作交延长线于，可得为二面角的平面角，设即可求出.
(1)
取中点，连接，
因为为中点，所以且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，交线为，，平面，
所以平面，又平面，所以，
又，为中点，所以，
又，平面，所以平面，
所以平面；
(2)
取中点，在平面内过作交延长线于，连接，
因为，所以，
又平面平面，交线为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以平面，因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
设，则，，
所以二面角的余弦值为.
18．【答案】(1)
(2)
(3)存在，-1
【分析】（1）根据偶函数的定义，结合对数运算，可求得答案；
（2）根据（1）的结果，写出函数的解析式，利用基本不等式求出其值域，即可求得实数的取值范围；
（3）整理化简，采用换元法将问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题求解,讨论二次函数图象的对称轴和区间的位置关系，可求得最值,判断是否存在问题.
【详解】（1）函数是偶函数，
，即,
,即，
.
（2）由（1）可知： ，
方程有解，即有解，
即有解，而，当且仅当时取等号，
故，
实数a的取值范围是
（3）假设存在满足条件的实数m，
由题意，可得
令，则，
令，
函数的图象开口向上，对称轴为直线，
当，即时，
，解得；
当，即时
，解得（舍去）；
当，即时，
，解得（舍去）.
综上，存在实数m使得的最小值为0，此时实数m的值为-1.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)存在，“和谐区间”为
【分析】（1）根据题目中给的公式即可证明.
（2）通过对的取值进行分情况讨论，结合的单调性以及（1）的结论，即可求得唯一的和谐区间.
【详解】（1）由题意，得，所以，
所以当时，．
（2）对于函数，有，
①若，则由，知，矛盾，故不存在“和谐区间”；
②同理时，也不存在，
下面讨论，
③若，则，故最小值为，于是，
所以，
所以最大值为2，故，
此时的定义域为，值域为，符合题意．
④若，当时，同理可得，舍去，
当时，在上单调递减，
所以，于是，
若，即，则，
故，
与矛盾；
若，同理，矛盾，
所以，即，
由（1）知当时，，
因为，所以，从而，，从而，矛盾，
综上所述，有唯一的“和谐区间”．
【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
2024-2025学年广西柳州市柳城县高二上学期入学考试数学检测试题（二）
一、单选题（本大题共8小题）
1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2．若是空间的一个基底，则下列向量不共面的为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知一组数据为，则该组数据的方差为（ ）
A．B．C．6D．7
4．已知的三个顶点分别为，且，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．在正四棱柱中，，设，则（ ）
A．2B．C．4D．8
6．在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A．6B．4C．3D．2
7．已知向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
8．现有7张分别标有的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为，剩下的2张卡片数字之和为，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为12，则和可能分别是（ ）
A．三棱锥和四棱柱B．四棱锥和三棱柱
C．四棱锥和四棱柱D．五棱锥和三棱柱
10．已知复数，则（ ）
A．B．
C．的虚部为3D．
11．抛掷质地均匀的骰子两次，事件“第一次出现偶数点”，事件“第二次出现奇数点”，事件“两次都出现偶数点”，则（ ）
A．A包含CB．A与B相互独立
C．B与C互为对立事件D．B与C互斥但不对立
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知复数是纯虚数，则实数 .
13．《易经》是中国传统文化中的精髓，易经八卦分别为乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑，现将乾､坤､巽三卦按任意次序排成一排，则乾､坤相邻的概率为 .
14．在四棱锥中，底面为菱形，，点到的距离均为2，则四棱锥的体积为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）；
(2)若认定评分在80,90内的学生为“运动爱好者”，评分在90,100内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率.
16．在棱长为2的正方体中，为的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求三棱锥的体积.
17．在中，角的对边分别是，已知.
(1)证明：.
(2)若的面积为1，求.
18．已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）.
(1)若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率；
(2)若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率.
19．如图，圆台的上底面直径，下底面直径，母线.
(1)求圆台的表面积与体积；
(2)若圆台内放入一个圆锥和一个球，其中在圆台下底面内，当圆锥的体积最大时，求球体积的最大值.
参考答案
1．【答案】A
【分析】先进行复数的乘法运算，再根据复数的代数形式确定对应点与所在象限即可.
【详解】，
复数对应的点为，
故复数对应的点位于第一象限.
故选：A.
2．【答案】B
【分析】根据空间基底的概念对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，是空间的一个基底，
A选项，由于，所以共面，A选项错误.
B选项，由于不存在实数，使得，
所以不共面，所以B选项正确.
C选项，由于，所以共面，C选项错误.
D选项，由于，
所以共面，D选项错误.
故选：B
3．【答案】A
【分析】先求出这组数据的平均数，再代入方差公式计算即得.
【详解】的平均数为：，
且，
故这组数据的方差为：.
故选：A.
4．【答案】D
【分析】利用向量垂直的充要条件,列方程求解即得.
【详解】由可得，，
因，故，解得.
故选：D.
5．【答案】C
【分析】由题意可得，进而计算可求的值.
【详解】在正四棱柱中，，
.
故选：C.
6．【答案】B
【详解】因为，所以，而，
在中，，所以，故，
由余弦定理得，代入,
得，故，
故，故B正确.
故选B.
7．【答案】B
【分析】根据投影向量的计算公式，结合已知条件，直接求解即可.
【详解】由题可知：，
故在方向上的投影向量为.
故选：B.
8．【答案】D
【分析】依据题意，将转化为，再结合古典概型公式求解即可.
【详解】因为，所以，
故，而，所以，解得，
所以求的概率即可，从7张卡片抽2张，
基本事件有，
，
共有个基本事件，且设的概率为，
符合题意的事件有，
，共9种，所以，故D正确.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查概率，解题关键是合理消元，转化条件，然后利用古典概型公式得到所要求的概率即可．
9．【答案】AD
【分析】根据题意，结合空间几何体的结构特征，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由三棱锥的顶点数为4个，四棱柱的顶点数为8个，
所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意；
对于B中，由四棱锥的顶点数为5个，三棱柱的顶点数为6个，
所以两个几何体的顶点数之和为11个，不符合题意；
对于C中，由四棱锥的顶点数为5个，四棱柱的顶点数为8个，
所以两个几何体的顶点数之和为13个，不符合题意；
对于D中，由五棱锥的顶点数为6个，三棱柱的顶点数为6个，
所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意.
故选：AD.
10．【答案】BCD
【分析】先由复数除法得复数的简化形式，对于A，由共轭复数概念即可得解；对于B，由复数模长公式即可得解；对于C，由复数的虚部概念可得解；对于D，由复数乘法以及共轭复数定义即可得解.
【详解】由题得，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，复数的虚部为3，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
11．【答案】ABD
【分析】先由题得，，，对于A，由包含事件定义即可得解；对于B，由相互独立事件的乘法公式去计算和即可判断；对于C和D，由互斥事件和对立事件的定义即可判断.
【详解】由题意可知，，，
且，，，
对于A，由上可知A包含C，故A正确；
对于B，，，故，故B正确；
对于C和D，设事件“抛掷质地均匀的骰子两次”，则，
故由和知B与C互斥但不对立，故C错误，D正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：先明确与“抛掷质地均匀的骰子两次”有关的各事件所包含的可能情况，再根据包含事件、互斥事件以及对立事件的概念和概率乘法公式去计算相关概率即可判断得解.
12．【答案】1
【分析】根据纯虚数满足的特征即可列式子求解.
【详解】由于复数是纯虚数，所以且，故，
故答案为：1
13．【答案】
【分析】使用列举法，结合古典概型概率公式可得.
【详解】将乾､坤､巽排成一排有：
（乾,坤,巽），（乾,巽,坤），（坤,乾,巽），
（坤,巽,乾），（巽,乾,坤），（巽,坤,乾）,共6种可能.
乾､坤相邻的有：（乾,坤,巽），（坤,乾,巽），（巽,乾,坤），（巽,坤,乾），共4种.
所以乾､坤相邻的概率为.
故答案为：.
14．【答案】/
【分析】首先可得为等边三角形，过点作底面的垂线，与底面交于点，作，分别垂直于，，即可证明平面，从而得到，，依题意可得，即可求出，再由锥体的体积计算可得.
【详解】因为且底面为菱形，所以为等边三角形，
过点作底面的垂线，与底面交于点，作，分别垂直于，，
因为，所以，又平面，平面，
所以，，平面，所以平面，
平面，所以，，则，
因为点到的距离均为，所以，则，
，
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是证明，，从而得到.
15．【答案】(1)，中位数是分
(2)
【分析】（1）根据频率之和为求得，根据中位数的求法求得中位数.
（2）先按分层抽样计算出、抽取的人数，然后利用列举法求得所求概率.
【详解】（1）依题意，，解得.
前三组的频率为，
所以中位数为分.
（2）的频率为，的频率为，两者的比例是，
所以抽取的名学生中，中的有人，记为；
在中的有人，记为；
从中抽取人，基本事件有，
共种，其中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的是：
，共种，故所求概率为.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，后求出关键点坐标，后借助向量夹角公式求出，进而得出异面直线与所成角的余弦值.
（2）运用等体积转化法，借助向量求到平面的距离，再用三棱锥体积公式计算即可.
【详解】（1）如图，正方体中, 为的中点，连接交于O，连接，
根据正方体的性质，知道垂直于上下底面，且，则两两垂直.
则可以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系.
由于棱长为2，则面对角线为.
因此涉及的关键点坐标为，
则.
则，
则异面直线与所成角的余弦值为的余弦值为.
（2）根据题意，知道，显然.
由正方体结构特征知，面，则到平面的距离为.
故.
故三棱锥的体积为.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据和差角公式可得，即可利用正弦定理边角互化求解，
（2）根据面积公式可得，进而可得，由余弦定理即可求解.
【详解】（1）由可得，
故，,
即,
由正弦定理可得，故
（2）由可得，故
结合得,故，
又,故，
故，
由余弦定理可得
18．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）使用列举法，结合古典概型概率公式可得；
（2）先求2个小球上标号相同的概率，然后由对立事件的概率关系可得.
【详解】（1）分别记6个小球为，从中任取3个小球有：
，共20种.
3个小球上标号均不相同的有：
共8种，
所以取出的3个小球上标号均不相同的概率为.
（2）每次取球都有6种取法，所以总的取法有种取法.
2个小球上标号相同的取法有：
共12种取法，
所以2个小球上标号相同的概率为，
所以取出的2个小球上标号不相同的概率.
19．【答案】(1)表面积为，体积为
(2)
【分析】（1）根据圆台表面积以及体积公式计算可得结果；
（2）利用圆锥与圆台的位置关系求得圆锥体积最大值，再根据圆内切条件可得球的最大半径为，即可求得球体积的最大值.
【详解】（1）由上、下底面直径可得上底面面积为，下底面面积，
圆台侧面积为；
所以圆台的表面积为.
取圆台轴截面，易知为等腰梯形，高为，即为圆台的高；
可得圆台的体积为.
（2）如下图所示：
圆锥的高为，当其底面圆的半径最大时，其体积最大；
圆锥底面圆的最大半径为，此时底面右侧以为直径刻画最大圆，
而，则圆台上底面与该圆可得一个倾斜的圆柱，且轴截面为菱形，
当球与上述倾斜圆柱轴截面各边都相切时，其体积最大，
易知为等边三角形，可得，
作于点，易知，
因此球的直径为时，体积最大，此时圆台的高也能满足条件，
所以球体积的最大值为.