上海市宝山区上海师范大学附属中学宝山分校2024-2025学年高一下学期3月教学评估测试 数学试卷（含解析）

这是一份上海市宝山区上海师范大学附属中学宝山分校2024-2025学年高一下学期3月教学评估测试 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）
1. 已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是______.
【答案】2
【解析】
【分析】由扇形的周长和面积，可求出扇形的半径及弧长，进而可求出该扇形的圆心角.
【详解】设扇形的半径为，所对弧长为，则有，解得，故.
故答案为：2.
【点睛】本题考查扇形面积公式、弧长公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
2. 已知，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用同角基本关系式，结合正余弦的齐次式法即可得解.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
3 已知，且，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意利用两角和差公式分析求解.
【详解】因为，
由题意可得，即，
且，可知.
故答案为：.
4. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式对所求进行化简，把条件代入求值即可.
【详解】
又，所以原式
故答案为：
5. 定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，的最小正周期是，且当时，，则的值为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用函数的周期性和奇偶性即可得解.
【详解】因为既是偶函数，又是周期函数，其最小正周期是，
又当时，，
所以.
故答案为：.
6. 若函数的图像关于直线对称，则实数=_____.
【答案】
【解析】
【分析】由的图象关于直线对称，可得，从而可求得．
【详解】解：的图象关于直线对称，
，即，
．
故答案为
【点睛】本题考查正弦函数的对称性，关键在于对的理解与应用，属于中档题．
7. 在中，，，若该三角形为钝角三角形，则边的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的性质可得，分类讨论，结合题意列式求解即可.
【详解】由三角形可得，解得，
若该三角形为钝角三角形，注意到，
则角为钝角或角为钝角，可得或，
即或，解得或，
故边的取值范围是.
故答案为：.
8. 已知，则角_____．
【答案】或或或
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，结合题意，直接求解即可.
【详解】因为，则，
又，故或或或，
解得：或或或.
故答案为：或或或.
9. 已知，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意得出，然后利用诱导公式可计算出的值.
【详解】，.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用诱导公式求值，解题时要明确各角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
10. 在中，，，要使被唯一确定，那么的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据利用正弦定理，结合三角形有1个解的条件即可求解.
【详解】根据题意，，，
由正弦定理得：，则，
三角形只有一个解，则或，
则或，即或，
所以的取值范围是.
故答案为：.
11. 已知，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦函数的二倍角公式，将被开方数化为完全平方数，结合的范围即可得解.
【详解】因为，所以，
所以 .
故答案为：.
12. 已知函数，若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为对任意的，当时，恒成立，不妨设，将问题转化为在单调递减，再结合利用正弦函数的性质求出的取值范围．
【详解】，
由，
得，
所以，
所以，
因为对任意的，当时，恒成立，
所以对任意的，
当时，恒成立，
，
不妨设，则问题转化成在单调递减，
所以，其中，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
二、选择题（本大题共 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分）
13. 下列说法正确的是（ ）
A. 角和角是终边相同的角
B. 第三象限角的集合为
C. 终边在y轴上角的集合为
D. 第二象限角大于第一象限角
【答案】C
【解析】
【分析】根据角的定义判断．
【详解】，因此的解与角的终边相同，A错；
第三象限角集合为，B错；
终边在y轴上角，终边可能在轴正半轴，，
终边在轴负半轴，，其中，终合为，C正确；
是第二象限角，是第一象限角，但，D错．
故选：C．
14. 如果是第一象限角，则（ ）
A 且B. 且
C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根据的象限确定的象限，即可排除B、D，再确定的象限，即可排除A.
【详解】因为是第一象限角，则，，
所以，，
所以是第一或第三象限角，则或，，故排除B、D；
又，，
所以的终边在第一、第二象限或在轴的非负半轴上，则，
当的终边在轴的非负半轴上时，无意义，故排除A.
故选：C
15. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角A,再根据正弦定理求出外接圆半径即可.
【详解】.
,
设该三角形外接圆的半径为
由正弦定理得
故选：A.
16. 定义:正割，余割.已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（ ）
A. 1B. 4C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题
【详解】由已知可得，
即.
因为，所以，
则
，
当且仅当时等号成立,故，
故选：D.
三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+18+18=78 分）
17. （1）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值；
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）解方程，求出，利用同角三角函数关系式能求出结果．
（2）由且，得，从而，再由，能求出结果．
【详解】（1）解方程，得，，
是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，则，
（2），且，
，则，而，
则，故，
18. 在中，角A、B、C所对的边做改为a、b、c，，且．
（1）求的面积；
（2）若，求a的值：
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式求出，再利用同角的平方关系求得，带入面积公式即可；
（2）结合余弦定理即可直接求出结果.
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以，故，
又因为，所以；
（2）由（1）中知，
结合余弦定理得
，
所以.
19. 在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求C；
（2）若角C的内角平分线与AB边交于点D，且CD＝2，求b＋4a的最小值.
【答案】（1）
（2）18
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理把已知条件化，再用余弦定理求得角；
（2）由△BCD和△ACD的面积之和等于△ABC的面积求出，利用基本不等式求出故的最小值.
【小问1详解】
设外接圆的半径为R，由正弦定理得：
，
则可化为，
整理得.
由余弦定理得，
又，所以.
【小问2详解】
由和的面积之和等于的面积，得，
可得，即.
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故的最小值为18.
20. 已知 ．
（1）设 ，若对任意的，不等式 成立，求的取值范围；
（2）画出函数 的大致图象，并写出满足 的的集合．
【答案】（1）
（2）函数图象见解析；
【解析】
【分析】（1）求函数在上的最值，解不等式问题转化为且，由此可得结果.
（2）利用辅助角公式化简函数解析式即可画出函数图象.利用反三角函数可表示的集合.
【小问1详解】
∵，∴，
∴，故.
∵，∴，
∴，
∵对任意的，不等式 成立，
∴，且，
由得，，，
∴，即的取值范围是.
【小问2详解】
由题意得，
，
令，
∵时，，时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∵，，，
∴在上的大致图象为：
由得，，故，
∵，∴，
令，则上单调递增，在上单调递减，
又∵，
∴或，
∴或，
∴满足的的集合为.
21. 若函数满足且（），则称函数为“函数”．
（1）试判断是否为“函数”，并说明理由；
（2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间；
（3）在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求．
【答案】（1）不是“函数”，理由见解析
（2），单调递增区间为，；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题干条件代入检验，得到，故不是“函数”；
（2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间；
（3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分三种情况进行求解，得到.
【小问1详解】
不是“函数”，理由如下：
，
，，
则，
故不是“函数”；
【小问2详解】
函数满足，故的周期为，
因为，
所以，
当时，，，
当时，，，
综上：，
中，
当时，，，此时单调递增区间为，
，中，
当时，，，
则，
当，即时，函数单调递增，
经检验，其他范围不是单调递增区间，
所以在上的单调递增区间为，；
【小问3详解】
由（2）知：函数在上图象为：
当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为，
当时，有6个解，由对称性可知：其和为，
当时，有8个解，其和为，
所以.
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.