河北省保定市定州中学2024-2025学年高一下学期3月联考 数学试题（含解析）

这是一份河北省保定市定州中学2024-2025学年高一下学期3月联考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 函数的最小正周期是， 函数的所有零点之和为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章第5节至必修第二册第六章第3节.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，，则（ ）
A. B. C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的加法，向量坐标运算求出的坐标，利用向量模的坐标公式求解.
【详解】因为，，所以，
则.
故选：C.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. 4D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量垂直的坐标表示的公式即可求解.
【详解】因为，所以，解得.
故选：D
3. 要得到的图象，只需将的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的图象变换，可得答案.
【详解】因为，所以为了得到的图象，
只需将函数图象向左平移个单位长度.
故选：C.
4. 在△ABC中，点D在线段BC上，且，E是线段AB的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理及线性运算求解即可.
【详解】因为，所以，
则.
故选：A.
5. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由二倍角的正弦公式化简，再根据正弦函数的周期性性质求解即可；
【详解】由题意可得，
则的最小正周期.
故选：C.
6. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量减法，向量的数量积及向量共线的坐标表示的公式即可求解.
【详解】因为，，所以.
又与的夹角为锐角，所以，且与不共线，
则，解得，且.
即x的取值范围为.
故选：C
7. 三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以B为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，作，交的延长线于点F，由向量的坐标运算求出.
【详解】以B为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系.
作，交的延长线于点F，
由题中数据可得，，，，
则，，.
因为，所以，则，
解得，故.
故选：B
8. 函数的所有零点之和为（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】分别作出函数和的图象，判定它们的对称性可知它们均关于点对称，进一步判定他们的交点个数，配对计算，即可得解.
【详解】令，得．
分别作出函数和的图象，如图所示：
由图可知它们均关于点对称．
(由正弦函数的性质，令,得到函数的中心,取得到以为对称中心.)
当时，，当时，，
则与的图象恰有3个交点，
从而函数的所有零点之和为．
故选:B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各组向量中，可以作基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】AC
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标表示，逐项判断即可.
【详解】对于A，由，得，不平行，则向量，可以作基底，A；
对于B，由，得，平行，则向量，不可以作基底，B不是；
对于C，由，得，不平行，则向量，可以作基底，C是；
对于D，由，得，平行，则向量，不可以作基底，D不是.
故选：AC
10. 对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称、中心对称都能给人以美感.已知是以为斜边的等腰直角三角形，，分别以，为直径作两个半圆，得到如图所示的几何图形，是两个半圆弧上的动点，则的值可能是（ ）
A. B. 1C. 8D. 18
【答案】BC
【解析】
【分析】由题意建立标系，利用平面向量数量积的坐标表示，可得.答案
【详解】取线段的中点为，连接，
以为原点，分别以所在直线为轴，建立直角坐标系，如下图：
则，，，
由图易知，
可得，，
，
易知.
故选：BC.
11. 若对任意，存在，使得，则称是上的“边界函数”．下列结论正确的是（ ）
A. 是上的“边界函数”
B. 是上的“边界函数”
C. 是上的“边界函数”
D. 若是上的“边界函数”，则是上的“边界函数”
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A和B：利用正弦函数的有界性即可判断；对于C：当趋近于0时，趋近于，所以不符合“边界函数”的定义，对于D：因为，根据“边界函数”的定义即可判断.
【详解】对于选项A，对任意，都有，
则，A正确．
对于选项B，对任意，都有，则，B正确．
对于选项C，对任意，都有，当趋近于0时，趋近于，
则不存在，使得，即不存在，使得，C不正确．
对于选项D，因为是上的“边界函数”，所以存在，使得对任意，
都有．对任意，都有，
则，则是上的“边界函数”，D正确．
故选：ABD
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的定义，用向量的数乘向量表示，代入向量的坐标计算即可.
【详解】由题意，向量在向量上的投影向量为.
故答案为：.
13. 已知，都是锐角，且，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意，先由平方关系求出和，再由二倍角公式求出和，再构造角，利用和角的正弦公式求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，都是锐角，所以，所以.
则，
.
因为，都是锐角，且，所以，
则
故答案为：.
14. 已知平面向量、、满足，，，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】如图，设，，则，可知四边形为菱形，求出，利用平面向量数量积的定义可求出的值.
【详解】如图，设，，以为邻边作，
则.
由，，，可得，
故为菱形，且，
故.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，满足，.
（1）若，同向，求的坐标；
（2）若，求，的夹角.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量共线定理可知，根据模长关系求出即可得出的坐标；
（2）将题干条件两边平方可得到，再根据数量积的定义展开即可得到，的夹角.
【详解】（1）因为，所以.
因为向量，同向，由向量共线定理可知，
且，则.
（2）因为，所以.
因为，，所以，
所以，又，所以，
则，即向量，的夹角为.
16. 已知函数.
（1）求的最大值及取得最大值时自变量x的取值集合；
（2）用“五点法”画出在一个周期内的图象.
【答案】（1）最大值为2，（）.
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，由正弦型函数的值域，代入计算，即可得到结果；
（2）结合五点作图法，先列出表格，然后即可得到函数图像.
【小问1详解】
因为，所以，
则的最大值为2，
此时（），
解得（）.
故最大值为2，此时自变量x的取值集合为.
【小问2详解】
17. 如图，，E是线段的中点，过点E的直线交线段于M，交线段于N，，，其中，.
（1）用向量，表示.
（2）证明：.
（3）若，，，且，求m，n的值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3），.
【解析】
【分析】（1）结合图形，由向量的加法和减法表示即可；
（2）由平面向量的基本定理结合题意可得；
（3）结合图形，由向量的加减运算与向量垂直数量积为零解方程组可得.
【小问1详解】
因为，所以，
则
因为E是线段的中点，所以.
【小问2详解】
证明：因为M，E，N三点共线，所以.
因为，，所以.
由（1）可知，则，
所以，所以.
【小问3详解】
因为，，所以.
由（1）可知，所以.
因为，，，且，所以.
由（2）可知，联立，解得，.
18. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，且，，.
（1）求的解析式.
（2）已知函数.
①求图象的对称轴方程；
②若关于x的方程在上恰有两个不同的实根，求m的取值范围.
【答案】（1）；
（2）①（）；②.
【解析】
【分析】（1）通过观察图象先求出周期和，再代入特殊值和求出和即可得到的解析式；
（2）①先求出，再利用正弦函数的对称轴方程求解即可；
②把方程在上恰有两个不同的实根转化为函数在上的图象与直线恰有两个不同的交点，再求出在上的值域即可.
【小问1详解】
由图可知，得，
因为，所以.
由，
得（），得（），
因为，所以.
由，，得.
所以.
【小问2详解】
由（1）得
.
①令（），得（），
所以图象的对称轴方程为（）.
②关于x的方程在上恰有两个不同的实根等价于
函数在上的图象与直线恰有两个不同的交点.
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减.
因为，，，
所以，
解得，即m的取值范围是.
19. 定义：非零向量的“特征三角函数”为，向量称为函数的“特征向量”.
（1）若，求的“特征向量”的坐标；
（2）设向量的“特征三角函数”为，若关于x的方程在上有两个不同的实根，求k的取值范围；
（3）设向量的“特征三角函数”为，若函数的最小值不小于，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正弦公式及两角差的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的“特征向量”的定义即可求解；
（2）将题意转化为关于x的方程在上有两个不同的实根，求出的值域，即可得出答案；
（3）通过换元法结合同角三角函数的基本关系可得（），再根据二次函数的性质分，和求出，使得，解不等式即可得出答案.
【小问1详解】
由题意可得：
，
则“特征向量”.
【小问2详解】
由题意可得，其中（）.
因为关于x的方程在上有两个不同的实根，
所以关于x的方程在上有两个不同的实根.
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减.
因为，，，
所以，即.
【小问3详解】
由题意可得.
设，
则，所以（）.
当，即时，在上单调递增，
则，解得，
因为，所以；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则，解得；
当，即时，在上单调递减，
则，解得，
因为，所以.
综上，a的取值范围是.
0
x
2