备战2025年中考数学真题题源解密（全国通用）专题07 分式方程（解析版）

这是一份备战2025年中考数学真题题源解密（全国通用）专题07 分式方程（解析版），共28页。

►考向一 解分式方程
1．（2024·海南·中考真题）分式方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解分式方程，先把分式方程去分母化为整式方程，再解方程，最后检验即可．
【详解】解：
去分得：，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
故选：A．
2．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母．
【详解】解：方程两边同乘，得，
整理可得：
故选：A．
3．（2024·四川泸州·中考真题）分式方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程方法和步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验）求解，即可解题．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
经检验是该方程的解，
故选：D．
4．（2024·四川广元·中考真题）若点满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】此题考查了解分式方程，先将方程两边同时乘以后去分母，令x代入一个数值，得到y的值，以此为点的坐标即可，正确解分式方程是解题的关键
【详解】解：等式两边都乘以，得，
令x=2，则y=−1，
∴“美好点”的坐标为，
故答案为（答案不唯一）
5．（2024·浙江·中考真题）若，则
【答案】
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
故答案为：
6．（2024·北京·中考真题）方程的解为 .
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键．
先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根．
【详解】解：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
所以，原方程的解为，
故答案为：．
7．（2024·陕西·中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
8．（2024·福建·中考真题）解方程：．
【答案】．
【分析】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可解题．
【详解】解：，
方程两边都乘，得．
去括号得：，
解得．
经检验，是原方程的根．
►考向二 分式方程的解
9．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A．B．且
C．D．且
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以得，，
解得，
∵分式方程的解为正数，
∴，
∴，
又∵，
即，
∴，
∴的取值范围为且，
故选：．
10．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可．
【详解】解：去分母得，，
整理得，，
当时，方程无解，
当时，令，
解得，
所以关于x的分式方程无解时，或．
故选：A．
11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A．且B．C．D．且
【答案】A
【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的解是负数得到，并结合分式方程的解满足最简公分母不为，求出的取值范围即可，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以得，，
解得，
∵分式方程的解是负数，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴且，
故选：．
12．（2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出；解分式方程得到，再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且且a是偶数，则且且a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得： ，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴；
解分式方程得，
∵关于的分式方程的解均为负整数，
∴且是整数且，
∴且且a是偶数，
∴且且a是偶数，
∴满足题意的a的值可以为4或8，
∴所有满足条件的整数a的值之和是．
故答案为：．
►考向一 列分式方程
13．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为，则快车的速度是，再根据题意列出方程即可．
【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意可得：
．
故选：A．
14．（2024·四川广元·中考真题）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，列出方程即可．
【详解】解：设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据题意得：
，
故选：C．
15．（2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：C．
16．（2024·山西·中考真题）某校组织学生开展“茶韵与书画”为主题的研学课程，已知学校用于购买扇子的费用为4000元，购买茶具的费用为3200元，其中购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍，并且扇子的单价比茶具的单价便宜3元．设购买扇子的单价为x元．则x满足的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】题目主要考查分式方程的应用，设购买扇子的单价为x元，则茶具的单价为元，根据“购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍”列出分式方程即可，理解题意是解题关键．
【详解】解：设购买扇子的单价为x元，则茶具的单价为元，
根据题意得：，
故选：A．
►考向二 分式方程的实际应用
17．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少干克化工原料？（ ）
A．60，30B．90，120C．60，90D．90，60
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的应用，设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，根据“A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等”列分式方程求解即可．
【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：A型机器人每小时搬运90千克， B型机器人每小时搬运60千克．
故选：D．
18．（2024·黑龙江绥化·中考真题）一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了分式方程的应用，利用顺水速静水速水速，逆水速静水速水速，设未知数列出方程，解方程即可求出答案．
【详解】解：设江水的流速为，根据题意可得：
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
答：江水的流速为．
故选：D．
19．（2024·山东·中考真题）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ）
A．200B．300C．400D．500
【答案】B
【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为，根据“改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为，
根据题意，得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
答：改造后每天生产的产品件数．
故选：B．
20．（2024·内蒙古·中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元．
【答案】 55 1260
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可得；设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个，先求出的取值范围，再设该网店所获利润为元，建立关于的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得．
【详解】解：设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
所以大号“龙辰辰”的单价为55元，小号“龙辰辰”的单价为40元．
设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个，
由题意得：，
解得，
设该网店所获利润为元，
则，
由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小，
则当时，取得最大值，最大值为，
即该网店所获最大利润为1260元，
故答案为：55；1260．
21．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少，列出方程即可．
【详解】解：设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据题意得：
．
故答案为：．
22．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度．
【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是
【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出的长，列出分式方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，，
∵与的比是，
∴，
解得：，
经检验是原方程的解．
∴上、下、左、右边衬的宽度分别是．
23．（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
【答案】该市谷时电价元/度
【分析】本题考查了分式方程的应用，设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解．
【详解】解：设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意得，
，
解得：，经检验是原方程的解，
答：该市谷时电价元/度．
24．（2024·山东泰安·中考真题）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
【答案】甲组有名工人，乙组有名工人
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲组有名工人，则乙组有名工人．根据题意得，据此即可求解．
【详解】解：设甲组有名工人，则乙组有名工人．
根据题意得：，
解答：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲组有名工人，乙组有名工人．
25．（2024·广西·中考真题）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．
浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？
(2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．
(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
(3)两次漂洗的方法值得推广学习
【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键；
（1）把，代入， 再解方程即可；
（2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案；
（3）根据（1）（2）的结果得出结论即可．
【详解】（1）解：把，代入
得，
解得．经检验符合题意；
∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．
（2）解：第一次漂洗：
把，代入，
∴，
第二次漂洗：
把，代入，
∴，
而，
∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
（3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，
∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．
26．（2024·云南·中考真题）某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度．
【答案】型车的平均速度为
【分析】本题考查分式方程的应用，设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据“乘坐型车比乘坐型车少用2小时，”建立方程求解，并检验，即可解题．
【详解】解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，
根据题意可得，，
整理得，，
解得，
经检验是该方程的解，
答：型车的平均速度为．
27．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
【答案】(1)该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；
(2)需要更新设备费用为万元
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
（1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，再利用更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，再建立方程求解即可；
（2）设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，利用用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解．
【详解】（1）解：设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则
，
解得：，
则；
答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；
（2）解：设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，则
，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意；
则，
则还需要更新设备费用为（万元）；
28．（2024·重庆·中考真题）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元．
(1)求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
【答案】(1)种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元．
(2)甲每小时粉刷外墙的面积是平方米．
【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关键；
（1）设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，再根据总费用为15000元列方程求解即可；
（2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；利用乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．从而建立分式方程求解即可．
【详解】（1）解：设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，
∴，
解得：，
∴，
答：种外墙漆每千克的价格为元，种外墙漆每千克的价格为元．
（2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；
∴，
解得：，
经检验：是原方程的根且符合题意，
答：甲每小时粉刷外墙的面积是平方米．
一、单选题
1．（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了分式方程，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可．
【详解】解：A．是一元一次方程，故选项不符合题意；
B．不是方程，故选项不符合题意；
C．是分式方程，故选项符合题意；
D．是一元一次方程，故选项符合题意．
故选：C．
2．（2024·辽宁·模拟预测）某生鲜超市在三月份用20000元进购一批铁皮西红柿，四月份这种铁皮西红柿每千克降价了1元，此生鲜超市用18000元进购同种铁皮西红柿，却多进货500千克．求三月份这种铁皮西红柿每千克多少元？设三月份这种铁皮西红柿每千克x元，可列方程得（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设三月份这种铁皮西红柿每千克x元，则四月份这种铁皮西红柿每千克元，根据三月进货量+500=四月进货量，列出方程即可．
【详解】解：设三月份这种铁皮西红柿每千克x元，则四月份这种铁皮西红柿每千克元，
可列方程得，
故选：D．
3．（2024·上海宝山·一模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为；把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（ ）
A．快马的速度B．慢马的速度C．规定的时间D．以上都不对
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，根据各数量之间的关系及所列的方程，找出的含义是解题的关键．由快、慢马速度间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马的速度，表示快马的速度，结合快、慢马所需时间与规定时间之间的关系，可得出表示规定的时间．
【详解】解：∵快马的速度是慢马的2倍，所列方程为，即，
∴表示慢马的速度，表示快马的速度；
∵把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，
∴表示规定的时间．
故选：C．
4．（2024·广东·模拟预测）已知是分式方程的解，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式方程解的定义，分式方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出的值即可．
【详解】解：是分式方程的解，
，
解得：，
故选：C．
5．（2024·上海·模拟预测）野豪猪内卷会用6000元购进一批试卷，每套试卷含数理化三科，每套以比进价高10元的优惠价格卖给成员，在销售过程中，因多出5套试卷，以每套10元的白菜价送给了其他同学，最后野豪猪内卷会盈利950元，则一套试卷的进价为（ ）
A．50元B．100元C．120元D．240元
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的应用．设每套试卷的进价为元，则每套试卷的售价为元，根据题意列出分式方程，解之即可，注意检验．
【详解】解：设每套试卷的进价为元，则每套试卷的售价为元，
根据题意得，
整理得，
解得，（不合题意，舍去），
经检验，是原方程的解，且符合题意；
答：每套试卷的进价为50元，
故选：A．
6．（2024·安徽·模拟预测）为改善生态环境，打造宜居城市，某市园林绿化部门计划植树20万棵，由于工程进度需要，实际每天植树棵数比原计划增加了，结果提前4天完成任务．若设实际每天植树x万棵，则根据题意可得方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设实际每天植树x万棵，则原计划每天植树万棵，根据“提前4天完成任务”列出方程即可．
【详解】解：设实际每天植树x万棵，则原计划每天植树万棵，
根据题意可得方程为，
整理为：，
故选：A．
7．（2024·湖南长沙·模拟预测）若关于的不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有解，则所有满足条件的整数的和是（ ）
A．B．10C．D．
【答案】C
【分析】先根据不等式组“有且只有两个偶数解”求出的取值范围，再解分式方程，并由该方程有解得到、，综合后即可得到所有满足条件的整数的和．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
原不等式有且只有两个偶数解，
，
，
解分式方程得：，
原分式方程有解，
，
是原分式方程的增根，
，
综上，，且，，为整数，
或，
所有满足条件的整数的和是．．
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值，解题关键是熟练掌握根据不等式组解集的情况求参数及根据分式方程解的情况求值的方法．
二、填空题
8．（2024·湖南·模拟预测）分式方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键．
先去分母将分式方程化成整式方程，计算整式方程的解，最后进行检验即可．
【详解】解：，
，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：．
9．（2024·湖南·模拟预测）若关于x 的分式方程有增根，则k 的值为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了根据分式方程根的情况求参数，先解分式方程得到，再根据分式方程有增根的情况是分母为0得到，则，据此可得答案．
【详解】解：
去分母得：，
解得，
∵分式方程有增根，
∴，即，
∴，
∴，
经检验，是原方程的解，
故答案为：1．
10．（2024·湖北武汉·模拟预测）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求这两次分钱的人数．答：（1）第一次分钱有 人；（2）第二次分钱有 人．
【答案】 2 8
【分析】本题考查分式方程解决应用问题，根据第二次每人所得与第一次相同列方程求解即可得到答案；
【详解】解：设第一次有个人分，则第二次有个人分，由题意可得，
，
解得：，即，
故答案为：2，8．
11．（2024·广东·模拟预测）代数式与代数式的值相等，则 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了代数式值相等问题，熟练掌握相等关系，列出方程，解方程，分式方程检验，是解决本题的关键．
通过题目中的等量关系列方程，解方程，检验，即可．
【详解】由题可得：，
去分母得，，
解得，，
检验：当时，，
∴是所列方程的根，
故答案为：4．
12．（2024·湖南·模拟预测）若代数式x与的比值等于，那么 ．
【答案】
【分析】根据题意，得，解方程即可．
本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
故答案为：．
13．（2024·安徽·模拟预测）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程的解为，再根据题意列出不等式知且，最后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：
∴，
由题意可知且，
解得且，
故答案为：且．
14．（2024·四川南充·模拟预测）有一组并联电路，如图所示，两个电阻的电阻值分别为、，总电阻值为R，三者关系为：．若已知，则 ．
【答案】12
【分析】本题考查了解分式方程；由解分式方程的步骤进行即可求解．
【详解】解：由题意得：，
即，
解得：；
故答案为：12．
15．（2024·湖南长沙·模拟预测）为深入学习贯彻习近平文化思想，认真落实习近平总书记关于文化和旅游工作的重要论述精神，更好发挥公共图书馆对推动公共文化服务高质量发展的重要作用，月日上午，以“城市是一本打开的书”为主题的“书香长沙·岳麓山阅读”年世界读书日暨公共图书馆服务宣传周系列活动启动式在湘江新区举行．甲、乙两同学分别从距离活动地点米和米的两地同时出发，参加宣传活动．已知甲同学的速度是乙同学的速度的倍，但乙同学仍比甲同学提前分钟到达活动地点．根据上述条件可以计算出乙同学的速度是 米秒．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙同学的速度是米秒，根据甲、乙同学速度间的关系，可得出甲同学的速度是米秒，利用时间路程速度，结合乙同学比甲同学提前分钟到达活动地点，即可列式求解．
【详解】解：设乙同学的速度是米秒，
∵甲同学的速度是乙同学的速度的倍，
∴甲同学的速度是米秒，
分秒，
根据题意得：，
解得：（米秒），
经检验，是方程的解，且符合题意，
答：乙同学的速度是米秒，
故答案为：．
三、解答题
16．（2024·云南·模拟预测）2024年5月10日，第二届全国乡村振兴职业技术技能大赛在贵州省贵阳市闭幕，云南省选手斩获2金5银2铜，在奖牌榜上位居全国第三名，取得历届最佳成绩．近年来，云南省大力发展面向乡村振兴的技能人才培养，把课堂学习和乡村振兴实践紧密结合，为乡村振兴提供人才支持．甲、乙两校认真贯彻把课堂学习和社会实践紧密结合的方针，组织学生到某农业生产基地参加实践活动，已知甲、乙两校的学生分别从距离农业生产基地80千米和20千米的两地同时出发，甲校学生行驶的速度是乙校学生行驶速度的2倍，乙校学生比甲校学生提前小时到达活动地点．求甲、乙两校学生行驶的速度各是多少？
【答案】甲校学生行驶的速度为千米/小时，乙两校学生行驶的速度为千米/小时
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设乙校学生行驶的速度为千米/小时，则甲校学生行驶的速度为千米/小时，根据“乙校学生比甲校学生提前小时到达活动地点”列出等式求解即可．
【详解】解：设乙校学生行驶的速度为千米/小时，则甲校学生行驶的速度为千米/小时，
由题可得：，
解得：，
经检验，时方程的解，
甲校学生行驶的速度为千米/小时，乙两校学生行驶的速度为千米/小时．
17．（2024·山西·模拟预测）为了提高道路的通行效率，阳泉市对大连街五渡口至保晋路口实行了灯控路口智能化改造，优化了交通信号灯配时，驾驶员只要控制好车速，便能达到“一路绿灯”的效果．据了解，该路段总长约4.2公里，改造后通过该路段的车辆的平均行驶速度提高了，平均行驶时间减少了3分钟，求改造前通过该路段车辆的平均速度．
【答案】改造前通过该路段车辆的平均速度是千米∕小时．
【分析】本题考查分式方程的应用．设改造前通过该路段车辆的平均速度x千米/小时，则改造后通过该路段车辆的平均速度是千米/小时，根据“行驶4.2千米，平均行驶时间减少了3分钟”列出方程并解答．
【详解】解：设改造前通过该路段车辆的平均速度x千米/小时，则改造后通过该路段车辆的平均速度是千米/小时，
由题意，得．
解得：．
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
答：改造前通过该路段车辆的平均速度是千米∕小时．
18．（2024·湖北·模拟预测）为了扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，我市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后又花费9600元购进第二批面粉，第二批面粉采购量是第一批的1.5倍，但每千克面粉的价格提高了0.4元，求第一批面粉的采购量为多少？
【答案】第一批面粉的采购量为1000千克
【分析】根据第二批面粉比第一批面粉的每千克面粉价格提高了0.4元列方程即可．本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．
【详解】解：由题意得：设第一批面粉的采购量为千克，
．
，
，
，
经检验：是原分式方程的解，
∴第一批面粉的采购量为1000千克．
19．（2024·宁夏银川·一模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务：
解：去分母，得 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步
去括号，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第二步
移项、合并同类项，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第三步
解得， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第四步
则原分式方程的解为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第五步
(1)第一步的依据是________________________________；
(2)上面的解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是_________________．
【答案】(1)等式的基本性质；
(2)五，没有对分式方程的根进行检验．
【分析】本题主要考查了解分式方程．
（1）根据题意可知，第一步的依据是等式的性质；
（2）观察可知，分式方程的解为原方程的增根，即在第五步错误，没有对分式方程的解进行检验．
【详解】（1）解：第一步的依据是等式的基本性质，
故答案为：等式的基本性质；
（2）上面的解题过程从第五步开始出现错误，这一步错误的原因是没有对分式方程的根进行检验，
故答案为：五；没有对分式方程的根进行检验．
20．（2024·重庆·模拟预测）重庆小面是重庆的特色美食，已成为重庆市民必不可少的早餐，其中“豌豆小面”和“鸡杂小面”最受重庆市民喜欢．
(1)已知1份“豌豆小面”和2份“鸡杂小面”共需要37元；3份“豌豆小面”和1份“鸡杂小面”需41元．则“豌豆小面”和“鸡杂小面”的单价分别是多少？
(2)面粉作为制作小面的主要原材料之一，某小面店第一次花费1200元购进某品牌面粉，第二次花费同样的钱比第一次购买该品牌面粉重量少了40千克，第二次购买面粉单价在第一次的购买面粉单价的基础上涨了，求第二次购买面粉的价格是多少？
【答案】(1)“豌豆小面”的单价为9元，“鸡杂小面”的单价为14元
(2)第二次购买面粉的价格是6元
【分析】本题考查二元一次方程组，分式方程的应用，找准等量关系，正确的列出方程组和等式，是解题的关键．
（1）设“豌豆小面”的单价为元，“鸡杂小面”的单价为元，根据已知1份“豌豆小面”和2份“鸡杂小面”共需要37元；3份“豌豆小面”和1份“鸡杂小面”需41元，方程组求解即可；
（2）设第一次购买该品牌面粉的价格是元，则第二次购买该品牌面粉的价格是元，根据“第二次花费同样的钱比第一次购买该品牌面粉重量少了40千克，”列出方程求解即可；
【详解】（1）解：设“豌豆小面”的单价为元，“鸡杂小面”的单价为元，
由题意得：，
解得：；
答：“豌豆小面”的单价为9元，“鸡杂小面”的单价为14元；
（2）解：设第一次购买该品牌面粉的价格是元，则第二次购买该品牌面粉的价格是元，
由题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．
故第二次购买面粉的价格是元．
21．（2024·云南·模拟预测）在“旅游示范公路”建设的的中，工程队计划在海边某路段修建一条长的步行道，由于采用新的施工方式平均每天修建步行道的长度是计划的倍，结果提前天完成任务，求计划平均每天修建的长度．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设计划平均每天修建步行道的长度为，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为，根据工作时间工作总量工作效率结合实际比原计划提前5天完成任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设计划平均每天修建步行道的长度为，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：计划平均每天修建步行道的长度为．
22．（2024·辽宁·模拟预测）宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售如图所示的两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少36元，用1600元购进甲种点茶器具套装的数量是用980元购进乙种点茶器具套装数量的2倍．求甲、乙两种点茶器具套装的单价．
【答案】甲种点茶器具套装的单价为160元，乙种点茶器具套装的单价为196元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，找到正确的数量关系，是解题的关键．设甲种点茶器具套装的单价为元，则乙种点茶器具套装的单价为元，由用1600元购进甲种点茶器具套装的数量是用980元购进乙种点茶器具套装数量的2倍．列出方程可求解．
【详解】解：设甲种点茶器具套装的单价为元，则乙种点茶器具套装的单价为元，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元，
答：甲种点茶器具套装的单价为160元，乙种点茶器具套装的单价为196元．
23．（2024·湖南长沙·模拟预测）2023年12月，21世纪经济研究院发布《国际消费中心城市建设年度报告（2023）》，长沙被列为发展型消费中心城市（Gamma级）．根据市场需求，长沙市某企业为加快生产速度，更新了部分生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，若更新设备前每天生产产品件．据此解答下列问题：
(1)更新设备后每天生产 件产品（用含的式子表示）；
(2)更新设备后生产6000件产品还比更新设备前的生产5000件产品少用2天，则更新设备后每天生产多少件产品？
【答案】(1)
(2)更新设备后每天生产125件产品
【分析】本题考查分式方程的实际应用；
（1）根据“更新设备后生产效率比更新前提高了”列代数式即可；
（2）根据题意列分式方程，解方程即可.
【详解】（1）更新设备前每天生产x件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了，
更新设备后每天生产产品数量为：（件），
故答案为：；
（2）由题意知：，
去分母，得，
解得：，
经检验，0是所列分式方程的解，
（件），
答：更新设备后每天生产125件产品．
24．（2024·山西·模拟预测）拥有便捷的交通是经济发展的前提，某地为了打造全新旅游体验，提高地域知名度，计划修建一段音乐旅游公路．某施工队承揽了这段旅游公路的施工，原计划施工300米，施工队在施工了60米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该阶段工程．问该工程队原计划每天施工多少米？
【答案】该工程队原计划每天施工20米．
【分析】本题主要考查分式方程的运用，根据提议，设该工程队原计划每天施工米，由此列式求解即可．
【详解】解：设该工程队原计划每天施工米，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解且符合实际．
答：该工程队原计划每天施工20米．
课标要求
考点
考向
1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型;
2.能解可化为一元一次方程的分式方程:
3.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
分式方程的运算
考向一 解分式方程
考向二 分式方程的解
分式方程的应用
考向一 列分式方程
考向二 分式方程的实际应用
考点一 分式方程的运算
易错易混提醒
解分式方程过程中，易错点有:
（1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项;
（2）忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解.
（3）增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根，若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解.
考点二 分式方程的应用