四川省广元市2024−2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试题

这是一份四川省广元市2024−2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
2．某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为（ ）
A．B．
C．D．
3．经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．将一枚质地均匀的正四面体教具连续抛掷次，第5次和第8次某一面朝下的概率分别记为，，则，的大小关系为（ ）
A．，的大小由确定B．
C．D．
5．已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内含
6．已知空间向量，，，若，，共面，则m的值为（ ）
A．1B．C．D．2
7．某地区今年举行了校园足球联赛.赛季结束后的数据显示：甲学校足球代表队（下称甲队）每场比赛平均失球数是1.3，每场失球个数的标准差是1.2；乙学校足球代表队（下称乙队）每场比赛平均失球数是1.9，每场失球个数的标准差是0.5.下列说法中正确的是（ ）
A．平均来说乙队比甲队防守效果好
B．甲队比乙队技术水平更稳定
C．甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好
D．甲队每场比赛必失球
8．已知点集，分别表示曲线，，若，有四个公共点，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某人连续投篮三次，每次投一球，记事件为“三次都投中”，事件为“三次都没投中”，事件为“恰有二次投中”，事件为“至少有二次投中”，则（ ）
A．B．
C．D．
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．直线的一个方向向量为
B．，，三点共线
C．直线（其中）必过定点
D．经过点，倾斜角为的直线方程为
11．在平面直角坐标系中，已知两定点，，动点满足直线与直线的斜率之积为，记的轨迹为，则下列描述正确的是（ ）
A．当时，曲线是以原点为圆心，半径为1的圆
B．当时，点所在曲线的焦点在轴上
C．当时，过点的直线与曲线至少有一个公共点
D．当时，直线与曲线有两个不同公共点，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，若与互相垂直，则实数的值为 .
13．已知直线与直线平行（其中为实数），则它们之间的距离为 .
14．已知三棱柱，点在内，，，分别为三边的一个三等分点，为面的一个法向量，且.若到面的距离为2，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知椭圆长轴长为8，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)以的焦点为顶点，短轴为虚轴的双曲线记为，求的方程及其渐近线方程.
16．已知直线，圆（点为圆心）.
(1)若直线与圆相切，求实数的值；
(2)当时，判断直线与圆是否相交于不同的两点？如果相交于不同两点，记这两点为，并求的面积，如果不相交，请说明理由.
17．甲、乙两人在沙滩边进行连续多轮走步比赛，甲、乙各有一个不透明的盒子，甲的盒子里面有2个红球1个白球，乙的盒子里面有2个红球3个白球，这些球只有颜色不同.每一轮比赛的规则是：甲、乙同时各自从自己的盒子里面摸出一球，如果甲摸到红球，甲向前走一步，否则原地不动；如果乙摸到白球，乙向前走一步，否则原地不动.各自摸球后都放回自己的盒子中.
(1)经过多轮比赛后，试估计甲、乙走的步数谁多？说明理由？
(2)以频率作为概率，试求2轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多的概率.
18．如图，等腰梯形的高为2，，，是上靠近的三等分点，如图①所示，将沿折起到的位置，使得，如图②所示，点在棱上.
(1)求证：直线平面；
(2)若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若平面与平面所成的锐二面角为，求的值.
19．已知抛物线的焦点为，第一象限内的一点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与抛物线的另一个交点为，求的面积（其中为坐标原点）；
(3)斜率分别为、的两条直线都经过点，且与抛物线的另一个交点分别为、，若，求证：直线过定点.
参考答案
1．【答案】B
【解析】由双曲线的方程求出，然后由离心率公式求解.
【详解】因为双曲线，
所以，，
则，
所以.
故选：B
2．【答案】A
【详解】由题意知，抽样比例为，
则，
所以抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为.
故选：A
3．【答案】C
【详解】与直线垂直的直线的斜率为，又直线过点，
所以直线方程为，整理得.
故选：C
4．【答案】D
【详解】由题设及古典概率的性质，对于任意一次某一面朝下的概率均为，不朝下的概率均为，所以.
故选：D
5．【答案】C
【详解】由，得，半径，
由，得，半径，
所以，
所以，即，
所以圆与圆的位置关系是相交.
故选：C
6．【答案】D
【详解】因为，，，且，，共面，
所以，又，得到，解得，
故选：D.
7．【答案】C
【详解】对于A项，平均来说甲队比乙队防守效果好，故A项错误；
对于B项，乙队比甲队技术水平更稳定，故B项错误；
对于C项，甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好，故C项正确；
对于D项，甲队每场比赛不一定失球，故D项错误；
故选：C.
8．【答案】B
【详解】对，若，则，即，
若，则，即，
则由两条射线：及组成；
，
即，
①当时，，此时曲线，只有交点，不符；
②当时，有，令，可得，
当时，与必有交点、，
当时，与必有交点、，
当时，与只有交点；
③令，若，此时该方程无解，不符；
若，则，此时与只有一个交点；
若，则，
则与必有交点、，
当时，两交点坐标为、，
则此时，有三个公共点，不符；
则当时，
，有交点、、、，符合要求；
故，有四个公共点时，的取值范围为.
故选：B.
9．【答案】ACD
【详解】设为三次投篮命中次，
则，可得，
所以，，，，
故ACD正确，B错误.
故选：ACD.
10．【答案】ABC
【详解】对于选项A：因为直线的斜率不存在，
所以直线的一个方向向量为，故A正确；
对于选项B：因为，
即，所以，，三点共线，故B正确；
对于选项C：直线即为，
令，解得，
所以直线（其中）必过定点，故C正确；
对于选项D：例如，可知不存在，故D错误；
故选：ABC.
11．【答案】BD
【详解】设且，则，则且，
当，则曲线为且，即以原点为圆心，半径为1的圆（去掉点），A错；
当，则曲线，若，直线轴时，直线与曲线没有公共点，C错；
当，曲线为焦点在y轴上的双曲线，联立，
整理得，显然不可能有两个交点，
若时，显然恒成立，
所以直线与曲线有两个不同公共点，B、D对.
故选：BD
12．【答案】2
【详解】由向量，得，，
由与互相垂直，得，所以.
故答案为：2.
13．【答案】3
【详解】因为直线与直线平行，
则，解得，
可知两直线分别为，，符合题意，
所以两直线的距离为.
故答案为：3.
14．【答案】
【详解】过点作平面于点，则，
由三棱柱性质可得平面平面，
故，则，
由、、平面，故
又，，，
则
.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)双曲线的方程为，渐近线方程为
【详解】（1）由题意可知：，可得，
则，所以椭圆的方程为.
（2）由（1）可知：的顶点为，短轴长为，
设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，
由题意可知：，且焦点在x轴上，则，
所以双曲线的方程为，渐近线方程为.
16．【答案】(1)或；
(2)直线与圆相交于不同的两点，
【详解】（1）由可得，即、半径，
由可得，
由直线与圆相切，则有，化简得，
即或；
（2）当时，，此时点到直线的距离为，
故直线与圆相交，即直线与圆相交于不同的两点，
由，则，
则.
17．【答案】(1)甲，理由见解析
(2)
【详解】（1）因为甲的盒子里面有2个红球1个白球，甲摸到红球，甲向前走一步，
所以每一轮甲前进的概率为；
因为乙的盒子里面有2个红球3个白球，乙摸到白球，乙向前走一步，
所以每一轮乙前进的概率为；
因为，即每一轮甲前进的概率都大于每一轮乙前进的概率，
所以经过多轮比赛后，估计甲走的步数多.
（2）若频率作为概率，2轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多有三种情况：
乙走两步甲走一步，概率为；
乙走两步甲走零步，概率为；
乙走一步甲走零步，概率为；
综上，2轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多的概率为
18．【答案】(1)证明见详解；
(2)；
(3).
【详解】（1）在图①中，过作，垂足为，
则，可知点与点重合，即，
在图②中，可得，
又因为，，平面，
所以直线平面.
（2）由（1）可知：直线平面，，
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
若是的中点，则，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由（2）可知：，
因为点在棱上，设，
则，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
由题意可得：，
整理可得，解得或（舍去），
所以.
19．【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由抛物线的定义可得，解得，
所以，抛物线的方程为.
（2）由在抛物线上，且在第一象限内，所以，，即点，
易知点，所以，直线的斜率为，
所以，直线的方程为，即，
联立可得，解得或，
则点、，
所以，.
（3）若直线的斜率为零，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，，可得，
由韦达定理可得，，
，同理可得，
因为，
可得，则，
所以，直线的方程为，
由可得，
因此，直线过定点.