山东省菏泽市2025届高三下学期一模考试数学试题

这是一份山东省菏泽市2025届高三下学期一模考试数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）
A．B．3C．D．
4．已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．若，，则（ ）
A．B．C．D．
6．曲线在，两点处的切线互相垂直，则的值为（）
A．B．0C．1D．
7．已知的三个顶点都在抛物线上，三边、、所在直线的斜率分别为，，，若，则点A的坐标为（）
A．B．C．D．
8．已知函数，若存在实数，使得对任意的实数x恒成立，则称满足性质，下列说法正确的为（ ）
A．若的周期为1，则满足性质
B．若，则不满足性质
C．若（且）满足性质，则
D．若偶函数满足性质，则图象关于直线对称
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ）
A．向量，不可能垂直B．向量，不可能共线
C．不可能为3D．若，则在上的投影向量为
10．若从正方体的八个顶点中任取四个顶点，则下列说法正确的有（ ）
A．若这四点不共面，则这四点构成的几何体的体积都相等
B．这四点能构成三棱锥的个数为58
C．若正方体棱长为a，则这四点能构成的所有三棱锥中表面积的最大值为
D．若这四点分别记为A，B，C，D，则直线与所成的角不可以为30°
11．已知曲线C的方程为，下列说法正确的有（）
A．曲线C关于直线对称
B．，
C．曲线C被直线截得的弦长为
D．曲线C上任意两点距离的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．若n是数据1，3，2，2，9，3，3，10的第75百分位数，则展开式中的系数为 .
13．已知函数在闭区间I上的最大值记为，若实数k满足，则 .
14．如图，在中，，，E是的中点，D是边上靠近A的四等分点，将沿翻折，使A到点P处（P点在平面上方），得到四棱锥.则
①的中点M运动轨迹长度为 ；
②四棱锥外接球表面积的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据：
(1)依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？
(2)从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义.
，.
16．如图，在四棱锥中，，，，，，，F为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，求与平面所成角的正弦值.
17．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)当时，存在，使得，求a的取值范围.
18．定义正方形数阵满足，其中i，.
(1)若，求数阵所有项的和T；
(2)若m，n，p，，求证：也是数阵中的项；
(3)若，，且，求的值为奇数的概率.
19．已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上.

(1)求双曲线C的标准方程；
(2)如图，过双曲线C右支上一点P作圆的切线交双曲线C左支于Q，右支于R，直线与圆O切于点M.
①求证：Q、R两点关于原点O对称；
②判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为，
所以
所以向量对应的复数为.
故选：D.
2．【答案】C
【详解】因为，，
所以.
故选：C
3．【答案】D
【详解】因为，所以由正弦定理可得：，
所以，
即，
又因为，，所以，
故，解得，
又因为，所以，
所以，
所以.
故选：D.
4．【答案】A
【详解】充分性：若对，，都有，
则令,得,即，因为为常数,所以数列为等差数列;
必要性:等差数列不一定满足,,,
例如:当等差数列通项公式为时,,,
此时,所以,,”是“数列为等差数列的充分不必要条件.
故选：A
5．【答案】C
【详解】，，
，，
，化简得，，
.
故选：C.
6．【答案】A
【详解】由，
不妨设，两切线的斜率分别为，
当时，则有，此时，显然，
因此不成立，不符合题意；
当时，则有，此时，显然，
因此不成立，不符合题意；
当，则有，
此时，变形得．
故选：A
7．【答案】B
【详解】设，，，
则，
所以，
解得，故，
故点A的坐标为，
故选：B.
8．【答案】D
【详解】选项A，的周期为1，则，从而有，因此具有性质，但不一定成立，A错；
选项B，，，所以，所以具有性质，B错；
选项C，若（且）满足性质，则，所以，从而，C错；
选项D，偶函数满足性质，即，又是偶函数，
所以，所以图象关于直线对称，D正确，
故选：D．
9．【答案】BD
【详解】由题意知，.
对于选项A，若向量，则，即，
显然此式能成立，故A错；
对于选项B，若向量，则有，即，
即，显然此式不成立，故 B正确；
对于选项C，，
则当时，，故C错；
对于选项D，若，则，，
则在上的投影向量为，故D 正确.
故选：BD
10．【答案】BCD
【详解】如图：
对A：设，则，，所以A不正确；
对B：从正方体的8个顶点中任选4个的选法有中，其中不能构成三棱锥的有：①四个点在正方体的一个面上，即所选四点为：,，，，，共6个；②所选四个点在正方体的相对棱上，即所选的四点为：，，，，，，共6个.
所以所选的四个点可以构成三棱锥的个数为：个，故B正确；
对C：正方体棱长为a，从正方体的8个顶点中选3个，构成三角形，其中面积最大的就是象这样的等边三角形，其边长为，面积为，所以四点能构成的所有三棱锥中表面积的最大的就是三棱锥这样的正四面体，其表面积为，故C正确；
对D：在正方体的8个顶点中选4个，连成两条直线，所成的角最小的就是形如直线与的所成的角，设为，则，所以，故D正确.
故选：BCD
11．【答案】ACD
【详解】选项A：将方程中的和互换，得到，与原方程一致，因此曲线关于直线对称，A正确；
选项：通过分析方程，设固定，解关于的二次方程，判别式要求，
得，即，超出，同理的范围也超过，B错误；
选项C：将直线代入曲线方程，解得交点为和，
故弦长为，C正确；
选项D：则即
又，即，
则
同理可得：，
则曲线的上任一点到的距离之和为：
曲线表示以为焦点且的椭圆，则，
则线段的最大值为正确；
故选：ACD
12．【答案】80
【详解】已知数据从小到大排列为：，共8个，，
第6个数是3，第7个数是9，
，所以，
展开式中的系数为，
故答案为：80.
13．【答案】或
【详解】根据区间的定义，左端点小于右端点，，得到，即根据余弦函数的性质，，由题意：，根据函数的周期为，而且其在单调递减，在单调递增，，，即，所以，即，
当时，，在单调递减，则，可得；
当时，，在单调递减，且在单调递增，，.
故答案为：或.
14．【答案】
【详解】因为到中点的距离等于，且点在平面上方，
所以的轨迹是以中点为圆心，为半径的半圆，
所以的中点运动轨迹长度为；
因为四边形的外心为的中点，所以四边形的外接球的半径
所以四棱锥外接球的球心在过四边形的外心且垂直平面的直线上，
设四棱锥外接球的半径为，设球心到四边形的外心的距离为，
则，当时，等号成立，
所以四棱锥外接球表面积的最小值为.
故答案为：；.
15．【答案】(1)与性别有关联
(2)，意义见解析
【详解】（1）零假设对机器人表演节目的喜欢与性别无关.
根据列联表中的数据得，
依据的独立性检验，可以推断不成立，即对机器人表演节目的喜欢与性别有关联.
（2）依题意得，， ， 则
意义：该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概率大；
或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等等
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由，，，易求
取的中点M，连结，F为的中点
所以，，所以，
所以四边形为平行四边形.
所以，，又平面，平面
所以平面
（2）由，，所以
所以，又平面平面，所以平面
以E为原点，所在直线为轴，过E与垂直的直线为轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，，
，，
设平面的法向量为，则，
，所以，取，则，
所以平面的一个法向量为
设与平面所成角为，则
所以直线与平面所成角的正弦值为
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
当时，恒成立，此时在上单调递减；
当时，令，则
当时，，此时在单调递减，
当时，，此时在单调递增；
综上所述，当时，的减区间为，无增区间；
当时，的减区间为，增区间为.
（2）因为存在，使得.只需或
因为，所以
所以只需，由（1）知为与中的较大者
所以或，解得或，
所以
综上所述，a的取值范围为
18．【答案】(1)0
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）若，则的所有取值情况为：
故数阵共99项，由知：，
，
所以.
（2）
由知，，故，
所以也是数阵中的项.
（3）若知：，
由与具有相同的奇偶性知要使的值为奇数，需使与都是奇数，
即i与j必定一奇一偶，
当时，的取值情况有4种，故；
当时，的取值情况有8种，故；
当时，的取值情况有12种，故；
当且n为奇数时，中有个奇数，个偶数，
故的取值情况有种，故；
当且n为偶数时，中有个奇数，个偶数，
故的取值情况有种，故；
综上所述，当且n为奇数时，；当且n为偶数时，.
19．【答案】(1)
(2)①证明见详解；②是定值，.
【详解】（1）由双曲线C的渐近线方程，可知，即.
把点带入双曲线C的方程得，由，解得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）①由题意知切线的斜率存在，故设切线的方程为，
由圆O的圆心到直线的距离，所以 ① ，
把代入消y得，
由题意知.设，，，
则由韦达定理可知，，
则，
所以，
所以，所以，
同理可得，所以Q，O，R三点共线，
又由双曲线C关于原点O对称，所以Q，R两点关于原点对称.
②是定值，证明如下：
连接，，，由①知：，，所以，
所以，所以为定值.喜欢
不喜欢
男性
40
10
女性
20
30
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828