辽宁省名校联盟2024−2025学年高二1月份联合考试数学试题

这是一份辽宁省名校联盟2024−2025学年高二1月份联合考试数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．5名同学分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为（ ）
A．9B．20C．D．
2．若，则的值为（ ）
A．14B．84C．34D．204
3．已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（ ）
A．B．C．D．
4．用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ）
A．60B．30C．36D．21
5．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
7．针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为（ ）
附：，.
A．54B．48C．42D．36
8．如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中､､､是道路网中位于一条对角线上的个交汇处．今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达､处为止．则下列说法正确的是（ ）
A．甲从到达处的方法有种
B．甲从必须经过到达处的方法有种
C．甲､乙两人在处相遇的概率为
D．甲､乙两人相遇的概率为
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题中真命题是（ ）
A．的展开式中含项的系数为
B．随机变量，若方差，则
C．若随机变量，且，则
D．甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有45种
10．已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，点是它们的一个公共点，且在圆上，椭圆和双曲线的离心率分别为，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．椭圆的方程为
C．的面积为
D．的周长为
11．在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按x的升幂排列，将各项系数列表如下（如图2）：
上表图2中第n行的第m个数用表示，即展开式中的系数为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球共6个（其中有3个红球），若从中一次取出2个小球，记恰有1个黄球的概率为，则的最大值为 .
13．某射击比赛中，甲选手进行多轮射击，每轮射击中命中目标的概率为.若每轮射击中命中目标得1分，未命中目标得0分，且各轮射击结果相互独立，则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为 .
14．“四进制”是一种以4为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值.四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响.四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方（从0开始），然后将所有乘积相加.例如：四进制数013转换为十进制数为；四进制数0033转换为十进制数为.现将所有由，，，组成的4位（如：1233，3201）四进制数转化为十进制数，在这些非零十进制数中任取一个，则这个数能被3整除的概率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形.
(1)求拋物线的方程；
(2)如图，
抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标.
16．经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.
表中.

(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型并求出关于回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）
(2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
17．如图①，在中，，，，分别是，上的点，满足，且经过的重心.将沿折起到的位置（如图②），使平面，存在动点，使.
(1)当时，求平面与平面夹角的余弦值；
(2)设直线与平面所成角为，求的最大值.
18．某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.
(1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求；
(2)已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）.
（i）请用表示；
（ii）设备升级后，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.
19．中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用，门、窗装饰图案成为园林建筑中具有文化价值以及文化内涵的装饰.如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭圆和圆组成，， 是椭圆的两个焦点，圆以线段为直径，
(1)设计如图所示的洞窗，椭圆的离心率应满足怎样的范围？
(2)经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米.
（i）从射出的任意一束光线照在左侧距椭圆中心4分米的竖直墙壁上，如图2所示.建模小组的同学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB，B为切点，然后用量角器探究猜测是定值，请帮他们证明上述猜想.
（ii）建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点是上的一个动点，P，Q关于原点对称，过和分别做圆的切线，交于R，S，求四边形装饰面积的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为每名同学都有4种选择，
所以由分步乘法计数原理可知不同选法的种数为：．
故选：D.
2．【答案】C
【详解】因为，所以或，解得或，
因为，所以，可得，
所以.
故选：C
3．【答案】A
【详解】由题意，解得，
而.
故选：A.
4．【答案】B
【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即，，，有3种选择，
因为这是一个三位数，所以百位数不能是0.
①当个位数为0时，有种，
②当个位数为2或4时，有种.综上，有30种.
故选：B.
5．【答案】A
【详解】因为，即，解得，
又因为，即，解得，
且，可得，所以.
故选：A
6．【答案】A
【详解】由，
所以，，皆为负值，，，皆为正值，令，则，
令，则①，故C项错误；
即，故A项正确；
由①知，故B项错误；
在中，
令，则，故D项错误.
故选：A.
7．【答案】D
【详解】设男生人数为，因为被调查的男、女生人数相同，所以女生人数也为，根据题意列出列联表：
则，因为有的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，所以，即，解得，又，所以A，B，C项正确，D项错误.
故选：D
8．【答案】C
【分析】分析甲从到达处以及甲从必须经过到达处的走法，结合组合知识，可判断A，B；计算出甲､乙两人在处相遇的走法种数，根据古典概型的概率公式即可判断C；分类考虑甲､乙两人相遇的地点，计算出相应的走法数，根据古典概型的概率公式即可判断D.
【详解】A选项，甲从M到达N处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，
则甲从M到达N处的方法有种，A选项错误；
B选项，甲经过到达N处，可分为两步：第一步，甲从M经过需要走3步，
其中1步向右走，2步向上走，方法数为种；
第二步，甲从到N需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法数为种，
故甲经过到达N的方法数为种，B选项错误；
C选项，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种，
∴甲､乙两人在处相遇的方法数为种，
故甲、乙两人在处相遇的概率为，C选项正确；
D选项，甲､乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，
若甲､乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，
乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为1种；
若甲､乙两人在处相遇，由C选项可知，走法种数为81种；
若甲､乙两人在处相遇，甲到处，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，
乙到处，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，
∴两人在处相遇的走法种数为种；
若甲､乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处，
则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为1种；
故甲､乙两人相遇的概率，D选项错误，
故选：C．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用组合数去计算对应的方法数，将从 M 到 N 的路线转变为六步，其中每一条路线向上步数确定后，则对应向右的步数也能确定，因此可以考虑从六步中选取向上或向右的步数，由此得到的组合数可表示对应路线的方法数．
9．【答案】ABC
【详解】对于A项，展开式的通项公式为，，，…，，
所以展开式中含项的系数为，故A项正确；
对于B项，，解得，则，故B项正确；
对于C项，因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称，
由，得，
所以，故C项正确；
若恰有一项工作无人参加，则先选出无人参加的工作，然后计算出剩余两项工作都有人参加的方法数，
则不同的安排方法共有种，故D项错误.
故选：ABC.
10．【答案】ABC
【详解】A项，由题意知，设焦距为，则.
设椭圆的长轴长为，短轴长为，双曲线的实轴长为，虚轴长为，
根据对称性，不妨设椭圆与双曲线的交点在第一象限，
由椭圆的定义知，则，
由双曲线的定义知，则，
由两式相加化简得，
因为点在圆上，所以，所以，
则，则，又，联立解得，，故A项正确；
B项，由A项可知，解得，则，所以椭圆的方程为，故B项正确；
C项，由，，则，
所以的面积，故C项正确；
D项，的周长为，故D项错误.
故选：ABC
11．【答案】BCD
【分析】对于ABC选项，由图2中数据特征可得，对于D，左式可由的展开式中的系数得到，故根据以及二项式定理研究展开式中的系数即可求解.
【详解】依据题意结合图2可知图2中每一行的每一个数等于其上一行头顶和左右肩上共三个数的和（没有的用0代替），
如：第四行的第三个数10，等于上一行头顶上的数3加上左右肩上的数1和6；
第三行中的第二个数3，等于上一行头顶上的数1加上左右肩上的数0（左肩上没有数，故用0代替）和2；
所以，
对于A，由上，故A错；
对于B，由图可知，
以此类推可得，故B对；
对于C，由上可知正确，故C对；
对于D，因为，
，
则，
所以根据乘法规则的展开式中的系数为：
，
又，
其通项为，
因为，故展开式中的系数为0，
故，故D正确.
故选BCD.
【关键点拨】求证D选项的关键是借助展开式中的系数引出D中左式，进而借助展开式研究得证.
12．【答案】
【详解】设黄色小球有个，则，，则，
当时，，当时，，所以的最大值为.
故答案为：
13．【答案】
【详解】解：进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为：
.
故答案为：
14．【答案】
【详解】设，则4位四进制数转换为十进制为：
，
若这个数能被3整除，则能被3整除.
当这个四进制数由，，，组成时，有个；
当这个四进制数由，，，组成时，有个；
当这个四进制数由，，，组成时，有个；
这个四进制数由，，，组成时，有个；
这个四进制数都由3组成时，有1个；
当这个四进制数由，，，组成时，有4个；
当这个四进制数由，，，组成时，有个；
当这个四进制数由，，，组成时，有个；
当这个四进制数由，，，组成时，有个；
当这个四进制数由，，，组成时，有4个；
当这个四进制数由，，，组成时，有个；
当这个四进制数由，，，组成时，有个.
因为由，，，组成的4位非零四进制数共有个，
所以能被3整除的概率.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)证明见解析，
【详解】（1）如图，记准线与轴交于点，在中，，
所以.
故抛物线.
（2）因为垂直于轴的直线与抛物线仅有一个公共点，所以必有斜率，
设，
由且，
因为位于轴同侧，所以，则，
由得，所以，
又点，直线和的倾斜角互补，所以，
所以，所以，
即，解得，
所以直线恒过定点.
16．【答案】(1)适宜，
(2)分布列见解析，.
【详解】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，
所以适宜作为与之间的回归方程模型；
令，则，
，所以，
所以关于的回归方程为.
（2）由题意，设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的取值为，
设“所取两个鱼卵来自第批”，所以，
设“所取两个鱼卵有个”“死卵”，
由全概率公式得：
，
，
，
所以取出“死卵”个数的分布列为：
所以，
所以取出“死卵”个数的数学期望为.
【关键点拨】运用全概率公式的一般步骤：
求出样本空间Ω的一个划分B1，B2，⋯,Bn；
求PBi(i=1，2，⋯，n)；
求PA|Bi(i=1，2，⋯，n)；
求目标事件的概率PA.
由以上可知事件A发生的概率是各原因Bi(i=1，2，⋯，n)引起A发生的概率的总和，即PA=i=1nP(Bi)PA|Bi.
17．【答案】(1)
(2).
【详解】（1）由题可知，，，两两垂直，
翻折前，因为经过的重心，且，
所以，
所以，，，
翻折后，
由勾股定理得，
以为原点，直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
可得，，.
设平面的法向量为，
则
令，则，，可得.
设平面的法向量为，
则
令，则，，可得.
可得，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（2）由（1）可知，，，
设平面的法向量为，
则
令，则，，可得.
且，
因为直线与平面所成角为，
则，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.
18．【答案】(1)分布列见解析，，
(2)（i），（ii）答案见解析
【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解；
（2）（i）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列cngestin求出设备升级后单位时间内的利润，即为；
（ii）分类讨论求出与的关系，做差比较大小即可得出结论.
【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，
所以，
所以，
，
，
所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为
控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为，
；
（2）（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为
所以升级改造后单位时间内产量的期望为；
所以
设备升级后单位时间内的利润为，即；
（ii）因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，
则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，
其概率为；
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为；
第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为；
所以
，
则，
所以当时，，单调递增，
即增加元件个数设备正常工作的概率变大，
当时，，
即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，
又因为，
所以当时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；
当时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
【点睛】关键点点睛：分析增加2个元件后，分三类求解，求出是解题的难点与关键.
19．【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）由题意可知椭圆满足，
故.
（2）（i）由测量数据可得，，
故，，墙壁所在直线，
易知直线斜率存在，设，可得，
设切线，联立，
则，
相切可得，
则，
则，
切点，
，
故，，，，
故，则.
（ii）设动点Px0,y0，则，不妨设过Px0,y0点的两条切线法向量为，
过点的两条切线法向量为，均为非零向量，
故切线方程为和，
则满足和.
由此可知两组切线分别对应平行，四边形是平行四边形，过圆心做一组邻边的垂线，垂足为,
由于关于原点对称，故也关于原点对称，又,
故故，故平行四边形是菱形.
下面研究菱形的面积：
过作PR的垂线GH，则，由（i）可知,故，
设，则有：，解得，则，
其中的取值范围是，
设，在上是单调函数，
故的取值范围是.X
0
1
2
3
P
a
5a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
360
男生
女生
合计
喜欢冰雪运动
不喜欢冰雪运动
合计
0
1
2
0
1
2
3
产量
0
设备运行概率
产品类型
高端产品
一般产品
产量（单位：件）
利润（单位：元）
2
1