河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺（五）数学试题（解析版）

这是一份河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺（五）数学试题（解析版），共18页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名､雅考证号等填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定判断得解.
【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以所求的否定是：.
故选：A
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数除法运算求出，再求出其共轭复数及模.
【详解】依题意，，则
所以.
故选：C
3. 已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用投影向量的定义求得结果.
【详解】由向量，得，
所以在上的投影向量为.
故选：C
4. 已知均为正数，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【详解】由均为正数，得，
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
故选：D
5. 同时满足：①偶数；②没有重复数字的三位数；③个位数不为0，这三个条件的数有（ ）
A. 64个B. 128个C. 196个D. 256个
【答案】D
【解析】
【分析】根据分步计数原理求解即可.
【详解】个位数的选择：由于是偶数且个位不能为0，个位只能是2、4、6、8中的一个，共有4种选择.
百位数的选择：百位不能为0，且不能与个位数字重复.因此，对于每个个位数，百位有8种选择（1-9中排除个位数）.
十位数的选择：十位可以是0-9中排除百位和个位已经使用的数字，剩下的8种选择.
根据分步乘法计数原理同时满足题设三个条件得数得总个数为 种.
故选：D.
6. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先“切化弦”，再利用和角公式和倍角公式化简即可.
【详解】.
故选：C
7. 已知过原点且斜率存在的直线与圆交于，两点（为圆心），当的面积最大时，直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出直线的方程，由点到直线的距离公式、弦长公式求得面积的表达式，结合二次函数的性质求得的面积最大时直线的斜率.
【详解】设直线l的方程为：，
圆心到直线距离，弦长，
所以，
当时，面积S最大，这时，整理得，解得，
所以直线的斜率为．
故选：B
8. 已知椭圆与双曲线的公共焦点分别为，离心率分别为是的一个公共点．若点满足，则（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出及，再利用余弦定理求出，然后利用椭圆、双曲线定义求解即可.
【详解】由，得，，
由，得，在中，，
由余弦定理得，
由椭圆定义得，即，
由双曲线定义得，即，
所以.
故选：A
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 近些年食品安全问题日益突出，为了达到宣传食品安全防范意识的目的，某市组织全市中学生食品安全知识竞赛活动．某高中采用分层抽样的方式从该校的高一､二､三年级中抽取10名同学作为代表队参赛，已知该校高一､二､三年级的人数比例为，统计并记录抽取到的10名同学的成绩（满分100分）为：，则（ ）
A. 中位数为90B. 分位数为92
C. 方差为58D. 代表队中高三同学有4人
【答案】AC
【解析】
【分析】根据中位数、百分位数、方差的定义分析数据判断ABC；利用分层抽样的抽样比求解判断D.
【详解】将10名同学的成绩从小到大排列为：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100，
对于A，中位数为，A正确；
对于B，由，得分位数为，B错误；
对于C，平均数为，
方差 ，C正确；
对于D，由分层抽样，得高三年级的同学有人，D错误.
故选：AC
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为2
B. 为图象的一条对称轴
C. 在区间上先单调递增后单调递减
D. 在区间上恰有8个零点
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件，结合正弦函数的图象性质逐项推理判断.
【详解】对于A，的最小正周期为，A错误；
对于B，，则为图象的一条对称轴，B正确；
对于C，当时，，函数在上递增，
在上递减，因此在区间上先单调递增后单调递减，C正确；
对于D，由，得，解得，
由，解得，
而，
，因此的整数值有8个，D正确.
故选：BCD
11. 已知函数的定义域为，满足，则（ ）
A.
B. 是奇函数
C. 当时，
D. （，且）
【答案】ACD
【解析】
【分析】令即可判断A；令得，再由有判断B；根据已知得到是首项为，公比为2的等比数列，进而得到，即可判断C；应用构造法得到是首项为，公比为的等比数列，进而有，结合等比数列的前n项和公式及已知，即可判断D.
【详解】A：令，则，对；
B：令，则，故，
而且，若，则，错；
C：当，则，
若，，则，所以，
即，即是首项为，公比为2的等比数列，
故，所以，对；
D：令，，则，即，所以，
令，则，所以且，则，
所以，即是首项为，公比为的等比数列，
所以，则，
所以，又且，则，，
所以，对.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：对于C、D，应用赋值法得到、，再由构造法确定一个等比数列并写出对应通项公式为关键.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 抛物线的焦点坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】化抛物线的方程为标准形式，再求出其焦点坐标.
【详解】抛物线化为：，
所以抛物线的焦点坐标为.
故答案为：
13. 在中，角所对的边分别为，且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理、正弦定理角化边求解即得.
【详解】在中，由及余弦定理，得，
由正弦定理得
故答案为：
14. 光学是物理学的重要研究领域，点光源是抽象化的物理概念，指从一个点向周围空间均匀发光的光源.如图1所示，有一点光源在垂直于水平地面的屏幕平面上映出长方形的影像，此时点光源发光所形成的空间图形是以为顶点，以长方形为底面的四棱锥.已知，，，直线平行于屏幕边界.如图2所示，将图1的屏幕以直线为旋转轴向箭头方向旋转时，屏幕上映出的影像从长方形变成了梯形，则四棱锥的体积为______.
【答案】72
【解析】
【分析】重新作出棱锥，如图，平面与平面所成二面角是，，再取取中点，中点，记，可证明，平面，求出四边形的面积，并求得到平面的距离（先说明在平面上的射影在上）后由体积公式计算．
【详解】重新作出棱锥，如图，分别在上且，平面与平面所成二面角是，
，因为，
是矩形，则是中点，也是中点，
所以，又因为平面，，
所以平面，
取中点，中点，连接，则，，，，
又因为，平面，
所以平面，而平面，所以，
设，连接，
所以是平面与平面所成二面角的平面角，即，
易得，，，
，，
所以，，即，，
所以，从而，
中由正弦定理有，，
所以，解得，同理得，
所以是中点，所以是的中位线，，
又平面，平面，
所以平面平面，又平面平面，
过作平面的垂直，则垂足在上，
，
所以，
从而到平面的距离为，
，
所以，
故答案为：72．
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤．
15. 在几何体中，为等边三角形，底面为等腰梯形，为的中点，记平面和平面的交线为．
（1）证明：直线平面；
（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用等腰梯形的性质证得，再利用线面平行的判定、性质推理得证.
（2）以的中点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用面面角的向量求法求解.
【小问1详解】
在等腰梯形中，由，得，而为的中点，
则，四边形为平行四边形，于，又平面平面，
因此平面，而平面，平面平面，则，
又平面，所以直线平面.
【小问2详解】
取的中点，连接，则，由平面平面，
平面平面，平面，得平面，
而平面，则，由为等边三角形，得，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量，则，取，得，
平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，
因此，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
16. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；
（2）分和两种情况进行讨论，利用导数求出函数的单调性，结合单调性求解即可得答案.
【小问1详解】
当时，，，，，
故曲线在点处的切线方程为.
【小问2详解】
当时，的定义域为，
，令，解得或（舍去），
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，解得，即；
当时，的定义域为，
，令，解得（舍去）或，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，解得，即.
综上所述，的取值范围是.
17. 已知甲和乙配合做压轴题，从4道压轴题（每题均为2问）中随机选择3道，甲做第一问，乙做第二问.4道题中甲会做其中3道题的第一问，若甲能做出第一问，则乙做出第二问的概率是；若甲做不出第一问，则乙也做不出第二问．
（1）求甲和乙配合做出2道题的概率；
（2）记甲和乙配合做出题目的个数为，求的分布列和期望．
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，期望为.
【解析】
【分析】（1）由甲乙配合做出2道题，则需要抽中2个或3个甲会做题，且乙做对其中2道，进而求出概率.
（2）由求出的可能取值，并求得相应的概率，列出分布列，求出期望.
【小问1详解】
甲乙配合做出2道题的事件为，则需要抽中2个或3个甲会做的题，且乙做对其中2道，
因此，
所以甲和乙配合做出2道题的概率为．
【小问2详解】
依题意，随机变量可能的取值为，
可得，
，
，．
所以的分布列为
数学期望.
18. 已知数列满足，且．
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）证明：．（附：当时，）
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先构造函数，利用导数证明任意，；由再结合所证不等式与不等式性质证明；
（2）先用数学归纳法证明，再利用不等式性质证明数列为递增数列，变形可得所求证不等式；
（3）由题附结论转化放缩变形得，再利用裂项求和法证明，由此得证，变形可得.
【小问1详解】
由题意可得.
构造函数，
则，在单调递增.
所以，即任意时，.
，，且，
且，
故.
【小问2详解】
下面用数学归纳法证明.
①当时，成立；当时，成立；
②假设当时，，，
则当时，，
且，所以，
综合①②可知，对任意，成立.
，，
由，则，即，
， 数列为递增数列，
，即.
【小问3详解】
要证，由，故即证.
当时，成立；
当时，由题附结论可知，当时，，
所以，即，
由，故在式两边同除以得，
所以，即，
，，
由，可得数列是正项递减数列，又数列为正项递增数列，
所以，
则
，
又，
，
，
综上所述，对任意，都有，
故，得证.
【点睛】关键点点睛：解决此题关键有两点，一是递推关系的变形，转化为进而利用放缩法证明不等式；二是借助裂项、放缩变形数列求和证明不等式，如：；.
19. 给定平面上一些点的集合D及若干个点若对于为定值，我们就称为一个稳定点集.
（1）判断集合与点构成的是不是稳定点集，并说明理由；
（2）判断集合以及点构成的是不是稳定点集，并说明理由；
（3）若集合及单位圆中的内接2024边形的顶点，，，构成的是一个稳定点集，求的值.
【答案】（1）不是，理由见解析
（2）是，理由见解析 （3）0
【解析】
【分析】（1）举出反例，得到不是稳定点集；
（2）设，，则，则，为定值，是稳定点集；
（3）计算出，又为定值，故为定值，因为是单位圆上任意一点，所以，故.
【小问1详解】
不是稳定点集，理由如下：
取，则；
取，则，
故不是稳定点集.
【小问2详解】
是稳定点集，理由如下：
设，，则，
则
，为定值，
故是稳定点集.
【小问3详解】
因为是稳定点集，设是单位圆上任意一点，所以为定值，
所以，
因为，故，
因为为定值，所以为定值，
因为是单位圆上任意一点，所以，故.
【点睛】新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
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