北京市中国人民大学附属中学2024−2025学年高二上学期期末练习数学试题（II卷）

这是一份北京市中国人民大学附属中学2024−2025学年高二上学期期末练习数学试题（II卷），共8页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共4小题）
1．若对，直线与双曲线最多有一个公共点，则该曲线的渐近线方程为 ，离心率为 ．
2．椭圆的焦点为，，过原点的直线与该椭圆交于A，B两点，若，的面积为1，则该椭圆的焦距为 ，的周长为 ．
3．若直线l：与圆O：交于A，B两点，，则实数m的取值范围是 ．
4．已知曲线：，：，给出下列四个结论：
①曲线与且只1个公共点；
②曲线与中，有且只有一个是轴对称图形；
③曲线与中，有且只有一个关于原点成中心对称图形；
④设P为上一点（异于坐标原点O），过点P作直线，则l与有且只有1个公共点．
其中所有正确结论的序号是 ．
二、单选题（本大题共3小题）
5．椭圆与双曲线有公共的焦点，，，抛物线的方程为，P为，，的一个公共点，若，则，，离心率的乘积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．已知，图形T的面积为S，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏垂直于圆盘且固定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转动．当竖屏上的孔隙形状是合适的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具．若斜杆与圆盘所成角的大小为，斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为1cm，则合适孔隙的曲线线方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
三、解答题（本大题共1小题）
8．已知正整数，，为的k元子集，记为非零向量，若的元素个数为，则称为的不重子集．
(1)已知集合，，，这三个集合中，集合______是的不重子集；若该集合新增m个元素后，仍为的不重子集，则m的最大值为______，此时新增的这m个元素为______；
(2)若为的不重子集，且，，求k的最大值；
(3)若为的不重子集，则k的最大值为______，直接在平面直角坐标系中给出一个使得k最大的的例子．
参考答案
1．【答案】 或
【详解】①因为对，直线与双曲线最多有一个公共点，
所以直线与双曲线的一条渐近线斜率相等，
因而可得该曲线的渐近线为；
②若双曲线的焦点在轴上，则可得，
则，所以该曲线的离心率为，
若双曲线的焦点在轴上，则可得，即，
则，所以该曲线的离心率为，
所以该曲线的离心率为或.
故答案为：，或.
2．【答案】
【详解】椭圆的焦点在轴上，令半焦距为，则，
所以该椭圆的焦距为；
设点，而，则的面积，
解得，又直线过原点，且，由椭圆对称性知，
因此，解得，又，则，
整理得，而，于是，解得，
所以的周长为.
故答案为：；
3．【答案】
【详解】由，得，而，
则，圆心到直线的距离，
又直线交圆于两点，则，因此，解得或，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：
4．【答案】①④
【详解】因为曲线：，：，
对于①：因为，所以，化简得出或，即得出或（舍），
所以曲线与且只1个公共点，①正确；
对于②：把代入曲线：，：成立，
所以曲线与都是轴对称图形，②错误；
对于③：把代入曲线：，：都不成立，
曲线与都不关于原点成中心对称图形，③错误；
对于④：设为上一点（异于坐标原点O），所以，，
因为过点P作直线，所以，
因为，所以，
所以，
，
则l与有且只有1个公共点，④正确．
故答案为：①④.
5．【答案】D
【详解】画出简图：
设椭圆方程为：，双曲线方程为：，
因为P为，，的一个公共点，
则，
联立可得：，
又抛物线的方程为，所以焦点坐标为：，准线方程为：，
过点分别向，及轴作垂线，垂足分别为,
则，
又，结合，
易得，
所以,
结合勾股定理：，及可得：
，
联立方程可得：，
所以，
由抛物线离心率为1，所以，，离心率的乘积为4，
故选：D
6．【答案】B
【详解】
.
当时，，则；
当时，，
则，
即当时，T所在区域为抛物线右侧，及左侧，如图区域I，II所示；（其中）
当时，，
则，
即当时，T所在区域为抛物线左侧，及右侧，如图区域IV，V所示；（其中）
由对称性，可知，则.
注意到，，
则；又，
取CD中点为G，则，则.
综上，，则选项B满足条件.
故选：B
7．【答案】B
【详解】已知斜杆与圆盘所成角为，那么斜杆与竖屏（即与竖屏所在平面）所成角为.
则渐近线与轴正方向夹角为，所以渐近线斜率，
双曲线的标准方程为：，可知，所以.
所以双曲线的方程为，
观察选项，只有满足.
故选：B.
8．【答案】(1)B；2；，
(2)5
(3)8，图形见解析
【详解】（1）由题意得，根据题干得：若A为不重子集，则,
其所含的元素个数为4，不是，故A不是的不重子集.
若B为不重子集，则,故B是的不重子集；
若C为不重子集，则,元素个数为4，不等于6，故C不是的不重子集；
的最大值为2，证明如下：
如图，由题意已知点A,点B,点E已经在不重子集里，在从剩余的6个点里最多选择几个，
显然点C是不能选的，这样,若选择点Q，则剩余的点一定都不选，
会出现相等元素，此时；若选择点D，则点F，点H，点Q，点G不选
(若选G则有)，此时;若选点F,则点D，点G，点Q不选，
点H可选，此时；若选G点，剩余点都不选；若选H，同上，此时，
故m最大值为2，增加的两个元素为，.
（2）k的最大值5，证明如下：
由题意知，中点的横、纵坐标均只有5种取值．
一方面，若，由抽屉原理知，中必存在两个横坐标相同的点A，B，两个纵坐标相同的点C，D，
则，且，矛盾.另一方面，可以构造的满足题意的不重子集.
（3）k的最大值为8，可以构造的不重子集．
根据向量不相等可排除性的选点，得到如下图所示，最大值为8.