江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高一（下）数学第4周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高一（下）数学第4周阶段性训练模拟练习【含答案】，共15页。试卷主要包含了已知，，则csα＝，已知，且，则tanθ＝，已知，则sin2α＝，在△ABC中，若，则AC＝等内容，欢迎下载使用。
1．已知，，则csα＝（ ）
A．B．C．D．
2．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝，AA1＝1，则AD1与A1C1所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．在锐角△ABC中，，AC＝4，则BC的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
已知，且．则α+β的值为（ ）
A．B．C．D．
5．若△ABC中，，若该三角形有两个解，则x范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知M＝sin100°﹣cs100°，，（1+tan23°），那么M，N，P之间的大小顺序为（ ）
A．M＜N＜PB．P＜M＜NC．N＜M＜PD．P＜N＜M
7．已知，且，则tanθ＝（ ）
A．B．C．D．或
8．△ABC中，BC＝2，，∠ACB＝90°，D为线段CB的中点，点E，F分别在线段BA，AC上．若△DEF为正三角形，则△DEF的面积为（ ）
A．B．C．D．
9．已知，则sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
10．在△ABC中，若，则AC＝（ ）
A．B．C．D．
11．若，则＝（ ）
A．B．2C．﹣2或D．或2
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c﹣b＝2bcsA，则的取值范围是（ ）
A．（﹣1，2）B．C．D．（2，3）
二．多选题（共3小题）
（多选）13．对于△ABC有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若sin2A+sin2B+cs2C＜1，则△ABC为钝角三角形
B．若，，且△ABC有两解，则b的取值范围是
C．在锐角△ABC中，不等式sinA＞csB恒成立
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
（多选）14．如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角，C是扇形弧PQ上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记∠POC＝α．则下列说法正确的是（ ）
A．弧PQ的长为
B．扇形OPQ的面积为
C．当时，矩形ABCD的面积为
D．矩形ABCD的面积的最大值为
（多选）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A．若bcsC+ccsB＝b，则△ABC是等腰三角形
B．若a＝2，b＝3，A＝30°，则符合条件的△ABC有两个
C．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形
D．若sin2B+sin2C＝sin2A，则△ABC为直角三角形
三．填空题（共4小题）
16．计算：＝ ．
17．已知，则sin2x＝ ．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcsA＝a+2c，且b＝4，则△ABC面积的最大值为 ．
19．已知2sinβ﹣csβ+2＝0，sinα＝2sin（α+β），则tan（α+β）＝ ．
四．解答题（共4小题）
20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sinC＝sinB（sinA﹣csA）．
（1）若b＝15c，求的值；
（2）若△ABC为锐角三角形，求证：；
（3）若△ABC的面积为，求边AC的最小值．
21．已知函数．
（1）若，求α的值；
（2）若，求的值．
22．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若D为AB的中点，且，求cs∠ACB．
23．在凸四边形ABCD中，DC＝2AD．
（1）若A，B，C，D四点共圆，，求四边形ABCD的面积；
（2）若，求的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．【解答】解：∵α∈（，），∴α+∈（，），
∵，∴cs（α+）＝﹣，
则csα＝cs（α+﹣）＝cs（α+）cs+sin（α+）sin＝﹣×+＝，
故选：A．
2．【解答】解：如图，连接AC，CD1．
在长方体中，因为A1C1∥AC，所以AD1与A1C1所成角等于AD1与AC所成的角；
在△ACD1中，，
由余弦定理得＝．
故选：D．
3．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得，
∴，
在锐角△ABC中，，则，∴，
∴，则，
故．
故选：B．
4．【解答】解：因为，
所以sin（α+β+α）＝4sin（α+β﹣α），
所以sin（α+β）csα+sinαcs（α+β）＝4sin（α+β）csα﹣4sinαcs（α+β），
即3sin（α+β）csα＝5sinαcs（α+β），
所以tan（α+β）＝tanα，
由10tan＝（1﹣tan2），可得＝＝tanα，
所以tan（α+β）＝tanα＝，
因为，
所以0＜α+β＜π，
则α+β＝．
故选：A．
5．【解答】解：由正弦定理，可得＝，
所以sinB＝，
因为该三角形有两个解，
所以＜1且x＜，
解得＜x＜，则x范围是．
故选：D．
6．【解答】解：由题意可得：M＝＝＝＝1，
N＝＝，
又tan（22°+23°）＝，
可得tan22°+tan23°+tan22°tan23°＝1，
可得＝＝1，
所以P＜M＜N．
故选：B．
7．【解答】解：∵，
∴cs2θ﹣sin2θ＝，
即＝，
∴＝，
∴tan2θ＝，
∵，
∴tanθ＝．
故选：A．
8．【解答】解：设∠CDF＝θ，则∠BDE＝120°﹣θ，在△ABC中，BC＝2，，∠ACB＝90°，
在△DCF中，，∠DCF＝90°，
在△DEB中，∠EBD＝60°，∠DEB＝θ，则，
所以，
由题，△DEF为正三角形，所以DF＝DE，即，
所以，所以，所以，
从而△DEF的面积为．
故选：C．
9．【解答】解：因为＝1﹣2sin2α，
所以sin2α＝．
故选：C．
10．【解答】解：因为在△ABC中，若，
所以由正弦定理，可得＝，
解得AC＝2．
故选：D．
11．【解答】解：因为＝，整理可得2tan2α+3tanα﹣2＝0，
解得tanα＝﹣2或，
则＝＝＝2．
故选：B．
12．【解答】解：因为c﹣b＝2bcsA，则由正弦定理得sinC﹣sinB＝2sinBcsA，
又sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB，
所以sinAcsB+csAsinB﹣sinB＝2sinBcsA，
则sinB＝sinAcsB﹣sinBcsA＝sin（A﹣B），
所以B＝A﹣B，即A＝2B，则C＝π﹣A﹣B＝π﹣3B，
所以，解得0＜B＜，则，
所以＝＝
＝＝
＝＝2csB+1∈（2，3），
则的取值范围是（2，3）．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
13．【解答】解：A中，由题意可得sin2A+sin2B＜1﹣cs2C＝sin2C，
由正弦定理可得a2+b2＜c2，
由余弦定理可得csC＝＜0，
又因为C∈（0，π），所以角C为钝角，即该三角形为钝角三角形，所以A正确；
B中，B＝，a＝2，若三角形有两解，
则asinB＜b＜a，即3＜b＜2，所以B不正确；
C中，在锐角三角形中，A+B＞，即＞A＞﹣B，可得sinA＞sin（﹣B）＝csB，所以C正确；
D中，△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，
由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accsB＝bc，
可得（a﹣c）2＝0，可得a＝c，所以△ABC必是等边三角形，所以D正确．
故选：ACD．
14．【解答】解：对于A，由题意知，弧PQ的长为，A正确；
对于B，扇形OPQ的面积为，B错误；
对于C，在Rt△OBC中，OB＝OC•csα＝csα，BC＝OC•sinα＝sinα，
在Rt△OAD中，，，
则ABCD的面积，
当时，由，得，，C正确；
对于D，，
当，即时，矩形ABCD的面积取最大值，D错误．
故选：AC．
15．【解答】解：对于A，由正弦定理得，sinBcsC+sinCcsB＝sinB，
即sinB＝sin（B+C）＝sinA，则A＝B，△ABC是等腰三角形，故A正确；
对于B：由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccsA，即，
整理得，解得c＝，所以符合条件的△ABC有两个，故B正确；
对于C，因为A，B∈（0，π），0＜2A＜2π，则0＜2B＜2π，又sin2A＝sin2B，
所以2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，由sin2B+sin2C＝sin（B+C+B﹣C）+sin（B+C﹣（B﹣C））
＝2sin（B+C）cs（B﹣C）＝sin2A＝2sinAcsA，
易知sinA＝sin（B+C）≠0，所以csA＝cs（B﹣C），
根据余弦函数的性质可知：
若B＜C，则，
若B＝C⇒A＝0（舍去），
若B＞C，则，所以都能得出△ABC为直角三角形，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共4小题）
16．【解答】解：∵＝＝＝﹣4
故答案为﹣4
17．【解答】解：因为，
两边平方，可得cs2x+sin2x+2sinxcsx＝1+sin2x＝，
所以sin2x＝．
故答案为：．
18．【解答】解：2bcsA＝a+2c，
则，即c2+a2+ac＝b2，
由余弦定理，
又B∈（0，π），故，
16＝a2+c2+ac≥2ac+ac＝3ac，当且仅当，取得等号，
故，即△ABC面积的最大值为．
故答案为：．
19．【解答】解：因为sinα＝sin（α+β﹣β）＝2sin（α+β），
所以sin（α+β）csβ﹣cs（α+β）sinβ＝2sin（α+β），
化简得sin（α+β）（csβ﹣2）＝cs（α+β）sinβ，
所以tan（α+β）＝，又2sinβ﹣csβ+2＝0，
所以＝，
故tan（α+β）＝．
故答案为：．
四．解答题（共4小题）
20．【解答】解：（1）在△ABC中，3sinC＝sinB（sinA﹣csA），
由正弦定理及b＝15c，所以sinB＝15sinC，
所以sin﹣csA＝，
则，
解得sinA＝，csA＝或sinA＝﹣，csA＝﹣，
在三角形中，可得sinA＝，csA＝，
所以tan＝＝＝；
（2）证明：因为3sinC＝sinB（sinA﹣csA），
在三角形中，3sin（A+B）＝sinAsinB﹣csAsinB，
所以3csAsinB+3csBsinA＝sinAsinB﹣csAsinB，
所以4csAsinB+3csBsinA＝sinAsinB，
因为在△ABC中，sinA≠0，sinB≠0，两边同时除以sinAsinB，
可得，即，
所以，
又因为△ABC为锐角三角形，所以，
所以，
当且仅当3tan2A＝4tan2B时取等号，即tanA＝2（2+），tanB＝2+3时取等号；
所以tanA+tanB的最小值为7+4；
（3）因为3sinC＝sinB（sinA﹣csA），由正弦定理得3c＝b（sinA﹣csA），
即，
因为△ABC的面积
＝，
所以，
因为3c＝b（sinA﹣csA）＞0，且0＜A＜π，所以，
所以，
所以当即时，b2取得最小值．
所以AC的最小值为．
21．【解答】解：（1）由题意可得，
又，
所以，
故，
因为α∈（0，π），
所以，
所以，
故．
（2）已知，
则，
所以，
所以，
又，
所以，
因为，
所以，
所以．
22．【解答】（1）在△ABC中，因为，
所以，
又因为sinB＞0，所以，
因为，所以，所以，
故．
（2）由题意知，，
由cs∠ADC+cs∠BDC＝0，
+＝0，
化简得，①
在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣bc，②
将①②联立，得3c2+8bc﹣16b2＝0，
即（c+4b）（3c﹣4b）＝0，所以3c＝4b，
令c＝4t（t＞0），则，
所以．
23．【解答】解：（1）因为A，B，C，D四点共圆且，所以∠ABC+∠ADC＝π，可得，
在△ADC中，由余弦定理得AC2＝DA2+DC2﹣2DA•DCcs∠ADC，
结合DC＝2AD，AC＝，所以，解得DA＝1（舍负），所以DC＝2，
则，
在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝BA2+BC2﹣2BA•BCcs∠ABC，
结合AB＝BC+AD＝BC+1，可得，
解得BC＝2或BC＝﹣3（舍去），所以AB＝3，
所以，
可得；
（2）在△ABD中，设∠ADB＝θ（0＜θ＜），AD＝x（x＞0），则CD＝2x，
∠ADC＝∠BCD＝θ+，由，可得BD＝，
因为，所以，
在△BCD中，由正弦定理可得，即，
所以，即，
所以＝
＝，
整理得，结合，解得，
根据正弦定理，可得，
故，所以＝．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
D
B
A
D
B
A
C
C
D
B
题号
12
答案
D