2024-2025学年安徽省六安市皖西当代中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省六安市皖西当代中学高二（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在直角坐标系中，下列直线的倾斜角为钝角的是( )
A. x=−2B. y=2C. x2+y3=1D. 2x−y+1=0
2.平行于直线l：x+2y−3=0，且与l的距离为2 5的直线的方程为( )
A. x+2y+7=0B. x+2y−13=0或x+2y+7=0
C. x+2y+13=0D. x+2y+13=0或x+2y−7=0
3.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是AD的中点，N是C1D1的中点，则异面直线D1M与DN所成角的余弦值为( )
A. 12B. 35C. 34D. 45
4.已知F1(−1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=3，则C的方程为( )
A. x22+y2=1B. x23+y22=1C. x24+y23=1D. x25+y24=1
5.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为( )
A. 4.5尺B. 3.5尺C. 2.5尺D. 1.5尺
6.如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，M是D1D的中点，点N是AC1上的点，且AN=13AC1，用a，b，c表示向量MN的结果是( )
A. 12a+b+c
B. 15a+15b+45c
C. 15a−310b−15c
D. 13a−23b−16c
7.已知数列{an}满足a1=2，an+1=2anan+1，则下列结论正确的是( )
A. 数列{1an}是公差为12的等差数列B. 数列{1an}是公差为2的等差数列
C. 数列{1an−1}是公比为12的等比数列D. 数列{1an−1}是公比为2的等比数列
8.已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|= 2，则PA⋅PD的最大值为( )
A. 1+ 22B. 1+2 22C. 1D. 2+ 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知C：x2+y2−6x=0，则下述正确的是( )
A. 圆C的半径r=3B. 点(1,2 2)在圆C的内部
C. 直线l：x+ 3y+3=0与圆C相切D. 圆C′：(x+1)2+y2=4与圆C相交
10.已知数列{an}是等比数列，则下列命题中正确的是( )
A. 数列{an2}是等比数列
B. 若a3=2，a7=32，则a5=±8
C. 若数列{an}的前n项和Sn=3n−1+r，则r=−1
D. 若a10)上一点P(m,2)到其焦点F的距离为4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．
17.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1=3，nan+1=2(n+1)an−n(n+1)．
(1)证明数列{ann−1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn．
18.(本小题12分)
如图，AE⊥平面ABCD，CF/​/AE，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2．
(Ⅰ)求证：BF//平面ADE；
(Ⅱ)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
(Ⅲ)若二面角E−BD−F的余弦值为13，求线段CF的长．
19.(本小题12分)
已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−12.记M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．
(i)证明：△PQG是直角三角形；
(ii)求△PQG面积的最大值．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.C
5.C
6.D
7.C
8.A
9.ACD
10.AD
11.AC
12.2
13.1−2n
14.12 6
15.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由S3=a1+a2+a3=9，a1=1，得1+1+d+1+2d=9，解得d=2，
所以an=1+2(n−1)=2n−1；
(2)由(1)可知bn=1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
所以Tn=12(1−13+13−15+⋅⋅⋅+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．
16.解：(1)由已知及抛物线定义可得2+p2=4，∴p=4，∴抛物线C的方程为x2=8y.(4分)
(2)由(1)可得F(0,2)，∴l：y=x+2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
将l方程代入C方程整理得y2−12y+4=0，∴y1+y2=12，∴|AB|=y1+y2+p=16，
原点O到直线l的距离为d= 2，
∴△OAB的面积S=12|AB|d=8 2.(10分)
17.解：(1)证明：因为nan+1=2(n+1)an−n(n+1)，
所以两边同除以n(n+1)可得：an+1n+1=2×ann−1，
所以an+1n+1−1=2×ann−2=2(ann−1)，
又因为a11−1=3−1=2，
所以数列{ann−1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以ann−1=2×2n−1=2n，则an=n×2n+n；
(2)Sn=1×21+2×22+...+n×2n+1+2+...+n，
即Sn=1×21+2×22+...+n×2n+n(n+1)2，
设M=1×21+2×22+...+n×2n①，
则2M=1×22+2×23+...+(n−1)×2n+n×2n+1②，
①减②得：−M=21+22+...+2n−n×2n+1=2(1−2n)1−2−n×2n+1=(1−n)2n+1−2，
所以M=(n−1)2n+1+2，
所以Sn=(n−1)×2n+1+2+n(n+1)2=(n−1)×2n+1+n2+n+42．
18.(Ⅰ)证明：因为AE⊥平面ABCD，AD，AB在平面ABCD内，
则AE⊥AD，AE⊥AB，又AD⊥AB，
故以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)．
设CF=ℎ(ℎ>0)，则F(1,2,ℎ)．
则AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量，又BF=(0,2,ℎ)，可得BF⋅AB=0．
又∵直线BF⊄平面ADE，
∴BF/​/平面ADE；
(Ⅱ)解：依题意，BD=(−1,1,0)，BE=(−1,0,2)，CE=(−1,−2,2)．
设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量，
则n·BD=−x+y=0n·BE=−x+2z=0,
令z=1，得n=(2,2,1)．
∴cs=CE⋅n|CE|⋅|n|=−49．
∴直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49；
(Ⅲ)解：设m=x1,y1,z1为平面BDF的法向量，
则m·BD=−x1+y1=0m·BF=2y1+ℎz1=0,
取y1=1，可得m=(1,1,−2ℎ)，
由题意，|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|=|4−2ℎ|3× 2+4ℎ2=13，
解得ℎ=87．
经检验，符合题意．
∴线段CF的长为87．
19.解：(1)由题意得yx+2·yx−2=−12，
整理得曲线C的方程：x24+y22=1(y≠0)，
∴曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆；
(2)
(i)设P(x0,y0)，则Q(−x0,−y0)，
E(x0,0)，G(xG,yG)，
∴直线QE的方程为：y=y02x0(x−x0)，
与x24+y22=1联立消去y，
得(2x02+y02)x2−2x0y02x+x02y02−8x02=0，
∴−x0xG=x02y02−8x022x02+y02，
∴xG=(8−y02)x02x02+y02，
∴yG=y02x0(xG−x0)=y0(4−x02−y02)2x02+y02，
∴kPG=yG−y0xG−x0
=y0(4−x02−y02)2x02+y02−y0x0(8−y02)2x02+y02−x0
=4y0−y0x02−y03−2y0x02−y038x0−x0y02−2x03−x0y02
=y0(4−3x02−2y02)2x0(4−y02−x02)，
把x02+2y02=4代入上式，
得kPG=y0(4−3x02−4+x02)2x0(4−y02−4+2y02)=−y0×2x022x0y02=−x0y0，
∴kPQ·kPG=y0x0·(−x0y0)=−1，
∴PQ⊥PG，故△PQG为直角三角形；
(ii)S△PQG=12|PE|·(xG−xQ)
=12y0(xG+x0)
=12y0[(8−y02)x02x02+y02+x0]
=12y0x0×8−y02+2x02+y022x02+y02
=y0x0(4+x02)2x02+y02
=y0x0(x02+2y02+x02)2x02+y02
=2y0x0(x02+y02)2x02+y02
=8y0x0(x02+y02)(2x02+y02)(x02+2y02)
=8(y0x03+x0y03)2x04+2y04+5x02y02
=8(x0y0+y0x0)2(x0y0+y0x0)2+1
令t=x0y0+y0x0，则t≥2，
S△PQG=8t2t2+1=82t+1t
利用“对勾”函数f(t)=2t+1t在[2,+∞)的单调性可知，
f(t)≥4+12=92(t=2时取等号)，
∴S△PQG≤892=169(此时x0=y0=2 33)，
故△PQG面积的最大值为169．