高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册一元线性回归模型及其应用第2课时复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册一元线性回归模型及其应用第2课时复习练习题，共9页。试卷主要包含了98,0，5 C．5 D．5，1 B．245，5×16＝77 496，等内容，欢迎下载使用。

1．根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Y＝bx＋a＋e，,Ee＝0，De＝σ2))得到经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，对应的残差如图所示，模型误差( )
A．满足一元线性回归模型的所有假设
B．满足回归模型E(e)＝0的假设
C．满足回归模型D(e)＝σ2的假设
D．不满足回归模型E(e)＝0和D(e)＝σ2的假设
2．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某数学建模小组建立了茶水冷却时间x和茶水温度y的一组数据(xi，yi)．经过分析，提出了四种回归模型，①②③④四种模型的残差平方和eq \i\su(i＝1,n, )(yi－eq \(y,\s\up6(^)))2的值分别是0.98,0.80,0.12，1.36.则拟合效果最好的模型是( )
A．模型① B．模型②
C．模型③ D．模型④
3．(多选)对变量y和x的一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)进行回归分析，建立回归模型，则( )
A．残差平方和越大，模型的拟合效果越好
B．若由样本数据得到经验回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，则其必过点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))
C．用决定系数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
D．若y和x的样本相关系数r＝－0.95，则y和x之间具有很强的负线性相关关系
4．若一函数模型为y＝sin2α＋2sin α＋1，为将y转化为t的经验回归方程，则需作变换t等于( )
A．sin2α B．(sin α＋1)2
C．sin α＋eq \f(1,2) D．以上都不对
5．已知两个线性相关变量x与y的统计数据如下表：
其经验回归方程是eq \(y,\s\up6(^))＝0.7x＋eq \(a,\s\up6(^))，据此计算，样本(4,3)处的残差为－0.15，则表中m的值为( )
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
6．(多选)对于表中x，y之间的一组数据：
甲、乙两位同学给出的拟合直线方程分别为①eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(1,3)x＋1和②eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)，若通过分析得出②的拟合效果好，则下列分析理由正确的是( )
A．①的残差和大于②的残差和，所以②拟合效果更好
B．①的残差平方和大于②的残差平方和，所以②拟合效果更好
C．①的R2小于②的R2，所以②拟合效果更好
D．残差图中直线②的残差点分布的水平带状区域比①的残差点分布的水平带状区域更窄，所以直线②拟合效果更好
7．某同学计算两个线性相关变量x与y的经验回归方程是eq \(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋40，则相对应于点(11,5)的残差eq \(e,\s\up6(^)) (eq \(e,\s\up6(^))i＝yi－eq \(y,\s\up6(^))i)为________．
8．若一个样本的观测值与均值的差的平方和为80，残差平方和为60，决定系数R2为________．
9．某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动．该农场采用了延长光照时间的方案，该农场选取了20间大棚(每间一亩)进行试点，得到各间大棚产量数据绘制成如图所示的散点图．光照时长为x(单位：小时)，大棚蔬菜产量为y(单位：千斤每亩)，记w＝ln x.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dln x，哪一个更适合作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的经验回归方程模型(给出判断即可，不必说明理由)；
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的经验回归方程(结果保留小数点后两位)；
(3)根据实际种植情况，发现上述经验回归方程在光照时长位于6～14小时内拟合程度良好，利用(2)中所求方程估计当光照时长为e2小时时(自然对数的底数e≈2.718 28)，大棚蔬菜亩产约为多少．
参考数据：
参考公式：β关于α的经验回归方程eq \(β,\s\up6(^))＝eq \(m,\s\up6(^))α＋eq \(n,\s\up6(^))中，eq \(m,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,α)iβi－n\x\t(α)\x\t(β),\i\su(i＝1,n,α)\\al(2,i)－n\x\t(α)2)，eq \(n,\s\up6(^))＝eq \x\t(β)－eq \(m,\s\up6(^))eq \x\t(α).
10．耐盐碱水稻俗称“海水稻”，是一种可以长在滩涂和盐碱地的水稻．海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉．某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表．绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋0.88.
(1)求eq \(b,\s\up6(^))，并估计当浇灌海水浓度为8‰时该品种的亩产量；
(2)①完成上述残差表：
②统计学中常用决定系数R2来刻画回归效果，R2越大，模型拟合效果越好，如假设R2＝0.8，就说明预报变量y的差异有80%是由解释变量x引起的．请计算决定系数R2(精确到0.01)，并指出亩产量的变化多大程度上是由海水浓度引起的？
附：残差公式eq \(ei,\s\up6(^))＝yi－eq \(yi,\s\up6(^))，
决定系数R2＝1－eq \f(\i\su(i＝1,n, )yi－\(yi,\s\up6(^))2,\i\su(i＝1,n, )yi－\x\t(y)2).
11．(多选)某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2015年到2023年共9年“年货节”期间的销售额(单位：亿元)并作出散点图，将销售额y看成以年份序号x(2015年作为第1年)的函数．运用excel软件，分别选择经验回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如图，则下列说法正确的是( )
A．销售额y与年份序号x呈正相关关系
B．三次函数回归模型的残差平方和大于线性回归模型的残差平方和
C．三次函数回归曲线的拟合效果好于经验回归直线的拟合效果
D．根据三次函数回归曲线可以预测2024年“年货节”期间的销售额约为1 698.719亿元
12．(多选)下列说法正确的是( )
A．经验回归直线一定经过点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))
B．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r的值越接近于1
C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D．在线性回归模型中，决定系数R2越接近于1，说明回归模型的拟合效果越好
13．某种产品的广告支出费用x(单位：万元)与销售量y(单位：万件)之间的对应数据如下表所示：
根据表中的数据可得经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝2.27x－1.08，R2≈0.96，以下说法正确的是( )
A．第三个样本点对应的残差eq \(e,\s\up6(^))3＝－1，回归模型的拟合效果一般
B．第三个样本点对应的残差eq \(e,\s\up6(^))3＝1，回归模型的拟合效果较好
C．销售量y的多少有96%是由广告支出费用引起的
D．销售量y的多少有4%是由广告支出费用引起的
14．已知经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝2x＋1，而试验得到一组数据是(2,4.9)，(3,7.1)，(4,9.2)，则残差平方和是________．
15．若对于变量x，y的10组统计数据的回归模型中，计算R2＝0.95，又知残差平方和为120.55，那么eq \i\su(i＝1,10, )(yi－eq \x\t(y))2的值为( )
A．241.1 B．245.1
C．2 411 D．2 451
16．现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素．某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据(单位：万元)如下表所示：
根据最小二乘法求得经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝3.2x－151.8.
(1)求m的值，并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值eq \(e,\s\up6(^))8；
(2)请先求出线性回归模型eq \(y,\s\up6(^))＝3.2x－151.8的决定系数R2(精确到0.000 1)；若根据非线性经验回归方程y＝267.76ln x－1 069.2求得解释变量(物流成本)对于响应变量(利润)决定系数Req \\al(2,0)＝0.905 7，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好？
(3)通过残差分析，怀疑残差绝对值最大的那组数据有误，经再次核实后发现其真正利润应该为116万元．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出新的经验回归方程．
附1(修正前的参考数据)：
eq \i\su(i＝1,8,x)iyi＝78 880，eq \i\su(i＝1,8,x)eq \\al(2,i)＝56 528，
eq \x\t(x)＝84，eq \i\su(i＝1,8, )(yi－eq \x\t(y))2＝904.
附2：R2＝1－eq \f(\i\su(i＝1,n, )yi－\(yi,\s\up6(^))2,\i\su(i＝1,n, )yi－\x\t(y)2).
附3：eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\t(x)·\x\t(y),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x).
参考答案与详细解析
1．D [由残差图可以看出，图中的残差点不能拟合成一条直线，且不满足D(e)＝σ2.]
2．C [对于回归模型，残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好，故拟合效果最好的模型是模型③.]
3．BD [因为残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故选项A错误；
因为经验回归直线必过点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，故选项B正确；
因为决定系数R2越接近1，说明模型的拟合效果越好，故选项C错误；
由样本相关系数为负且接近1，则y和x之间具有很强的负线性相关关系，故选项D正确．]
4．B [因为y是关于t的经验回归方程，实际上即y是关于t的一次函数，又因为y＝(sin α＋1)2，若令t＝(sin α＋1)2，则可得y与t的函数关系式为y＝t，此时变量y与变量t是线性相关关系．]
5．B [由题意，样本(4,3)处的残差为－0.15，所以3.15＝0.7×4＋eq \(a,\s\up6(^))，所以eq \(a,\s\up6(^))＝0.35，由经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35过点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，且eq \x\t(x)＝eq \f(1,4)×(3＋4＋5＋6)＝4.5，所以可得eq \x\t(y)＝0.7 eq \x\t(x)＋0.35＝0.7×4.5＋0.35＝3.5，由eq \x\t(y)＝eq \f(1,4)×(2.5＋3＋4＋m)＝3.5，得m＝4.5.]
6．BCD [不可以根据残差和的大小来分析模型的拟合效果的好坏，故A错误；
用eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(1,3)x＋1作为拟合直线时，所得y的实际值与y的估计值的差的平方和即残差平方和为S1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,3)))2＋(2－2)2＋(3－3)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(10,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(11,3)))2＝eq \f(7,3)，用eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)作为拟合直线时，所得残差平方和为S2＝(1－1)2＋(2－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(7,2)))2＋(4－4)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(9,2)))2＝eq \f(1,2).
∴S20.936，所以三次函数回归曲线的拟合效果好于经验回归直线的拟合效果，故选项C正确；因为三次函数为y1＝0.168x3＋28.141x2－29.027x＋6.889，
则当x＝10时，y1＝2 698.719(亿元)，故选项D错误．]
12．ACD [对于选项A，因为经验回归直线一定经过点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，故选项A正确；
对于选项B，由样本相关系数的绝对值越趋近于1，相关性越强可知，若两个变量负相关，其相关性越强，则样本相关系数r的值越接近于－1，故选项B错误；
对于选项C，因为在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故选项C正确；
对于选项D，因为在线性回归模型中，决定系数R2越接近于1，说明线性回归模型的拟合效果越好，故选项D正确．]
13．C [由题意得eq \(e,\s\up6(^))3＝7－(2.27×4－1.08)＝－1，
由于R2≈0.96，所以该回归模型拟合的效果比较好，故A，B错误；
在线性回归模型中，R2表示解释变量对于响应变量的贡献率，R2≈0.96，
则销售量y的多少有96%是由广告支出费用引起的，C正确，D错误．]
14．0.06
解析 因为eq \(y,\s\up6(^))＝2x＋1，
故当x＝2时，eq \(y,\s\up6(^))＝5，eq \(e,\s\up6(^))1＝－0.1，
x＝3，eq \(y,\s\up6(^))＝7，eq \(e,\s\up6(^))2＝0.1，
x＝4，eq \(y,\s\up6(^))＝9，eq \(e,\s\up6(^))3＝0.2，
则eq \(e,\s\up6(^))eq \\al(2,1)＋eq \(e,\s\up6(^))eq \\al(2,2)＋eq \(e,\s\up6(^))eq \\al(2,3)＝0.01＋0.01＋0.04＝0.06.
15．C [由题意知残差平方和eq \i\su(i＝1,10, )(yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2＝120.55，
又R2＝1－eq \f(\i\su(i＝1,10, )yi－\(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,10, )yi－\x\t(y)2)＝0.95，所以eq \i\su(i＝1,10, )(yi－eq \x\t(y))2
＝2 411.]
16．解 (1)因为eq \(y,\s\up6(^))＝3.2x－151.8，eq \x\t(x)＝84，所以eq \x\t(y)＝3.2×84－151.8＝117，
114＋116＋106＋122＋132＋114＋m＋132＝117×8，
解得m＝100，
8月份对应的残差值eq \(e,\s\up6(^))8＝132－3.2×86.5＋151.8＝7.
(2)由已知公式得eq \i\su(i＝1,8, )(yi－eq \(yi,\s\up6(^)))2＝0.22＋0.62＋1.82＋(－3)2＋(－1)2＋(－4.6)2＋(－1)2＋72＝84.8，
R2＝1－eq \f(\i\su(i＝1,8, )yi－\(yi,\s\up6(^))2,\i\su(i＝1,8, )yi－\x\t(y)2)＝1－eq \f(84.8,904)≈0.906 2>Req \\al(2,0)，
所以eq \(y,\s\up6(^))＝3.2x－151.8的拟合效果更好．
(3)由(1)可知，第八组数据的利润应为116(万元)，
此时eq \i\su(i＝1,8,x)iyi＝78 880－86.5×16＝77 496，
又eq \i\su(i＝1,8,x)eq \\al(2,i)＝56 528，eq \x\t(x)＝84，
eq \x\t(y)＝117－eq \f(16,8)＝115，
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,8,x)iyi－8\x\t(x)\x\t(y),\i\su(i＝1,8,x)\\al(2,i)－8\x\t(x)2)＝eq \f(77 496－8×84×115,56 528－8×842)＝2.7，
所以eq \(a,\s\up6(^))＝115－2.7×84＝－111.8，
所以重新采集数据后，经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝2.7x－111.8.x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
m
x
1
3
6
7
8
y
1
2
3
4
5
eq \i\su(i＝1,20,x)i
eq \i\su(i＝1,20,y)i
eq \i\su(i＝1,20,w)i
eq \i\su(i＝1,20,x)eq \\al(2,i)
eq \i\su(i＝1,20,y)eq \\al(2,i)
eq \i\su(i＝1,20,w)eq \\al(2,i)
eq \i\su(i＝1,20,x)iyi
eq \i\su(i＝1,20,w)iyi
290
102.4
52
4 870
540.28
137
1 578.2
272.1
海水浓度xi(‰)
3
4
5
6
7
亩产量yi(吨)
0.62
0.58
0.49
0.4
0.31
残差eq \(e,\s\up6(^))i
广告支出费用x
2.2
2.6
4.0
5.3
5.9
销售量y
3.8
5.4
7.0
11.6
12.2
月份
1
2
3
4
物流成本x
83
83.5
80
86.5
利润y
114
116
106
122
残差eq \(ei,\s\up6(^))＝yi－eq \(yi,\s\up6(^))
0.2
0.6
1.8
－3
月份
5
6
7
8
物流成本x
89
84.5
79
86.5
利润y
132
114
m
132
残差eq \(ei,\s\up6(^))＝yi－eq \(yi,\s\up6(^))
－1
－4.6
－1
海水浓度xi(‰)
3
4
5
6
7
亩产量yi(吨)
0.62
0.58
0.49
0.4
0.31
残差eq \(ei,\s\up6(^))
－0.02
0.02
0.01
0
－0.01