河南省郑州市金水区2024-2025学年高一下学期2月第一次月考数学试题（解析版）

这是一份河南省郑州市金水区2024-2025学年高一下学期2月第一次月考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 向量，，则（ ）
A. B. 0C. D. 1
【答案】D
【解析】由题可知，∴.
故选：D.
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以.
故选：A.
3. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴由余弦定理，
则得，
∴解得：，或（舍去），
∴由正弦定理可得：．
故选：B.
4. 在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】依题意，而，
所以.
故选：D.
5. 若（为虚数单位）是关于方程一个根，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】因为是关于方程的一个根，
所以，整理得，
所以，解得.
故选：D.
6. 在中，若，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
所以由余弦定理得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以或，
所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形.
故选：D.
7. 如图，在坡度一定山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
在中，由正弦定理得，
又，
解得，
在中，由正弦定理得，
解得，
即，所以.
故选：.
8. 瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，为所在平面上的点，满足，，则欧拉线一定过（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知，即为的外心；
，则为的重心；，
即有，
即，同理，即为垂心；
由解析题中向量式中有两共起点的向量，
于是，，令，
则是以为起点，向量与所在线段为邻边菱形对角线对应的向量，
即在的平分线上，
共线，所以点的轨迹一定通过的内心，
由欧拉线定理知，欧拉线一定过.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，，故，即，故A正确；
对于B，因为，，则，故B正确；
对于C，，，由于不共线，故，
所以向量不平行，故C错误．
对于D，，故，此时，故D正确.
故选：ABD．
10. 已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】设复数，且，
，A正确；
，B正确；
，
，
所以与不一定相等，C错误；
令，则，D错误．
故选：AB.
11. 在中，是的内切圆圆心，内切圆的半径为，则（ ）
A.
B.
C. 的外接圆半径为
D.
【答案】BCD
【解析】因为内心是三角形内角平分线的交点，
所以在中，，故A错误；
由余弦定理可得，
因为的面积，
所以，故B正确；
设的外接圆半径为，则，故，故C正确；
对于D：方法一：因为在的平分线上，
所以可设，则，
同理可设，则，
得，
又、不共线，根据平面向量基本定理得，解得，
即，故D正确；
方法二：利用内心的性质结论，有，
即，所以，
即，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，，，，则__________.
【答案】
【解析】由正弦定理有，即，解得，
而，所以，所以，
所以.
13. 已知.若的夹角为钝角，则的范围为__________.
【答案】且
【解析】若，的夹角为钝角，则，且与不平行，
即，且，求得且.
14. 复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为______．
【答案】8
【解析】令，，且，
由，则，即，故①，
由两点，连线的中点对应的复数为，则，即②，
联立①②，可得，且，即，，
由，即，故为直角三角形，
又，，故的面积为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知点求：
（1）的模；
（2）；
（3）在上的投影向量.
解：（1）已知点，所以，
因此的模为.
（2）由已知可得，
所以.
（3）根据投影向量的定义可得，在上的投影向量为
.
16. 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）.
（1）设复数，求；
（2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
解：（1）因为，则，
所以为纯虚数，
所以，解得.
所以，
因此.
（2）因为，则，
因为复数在复平面内对应的点位于第一象限，
则，解得.
因此实数的取值范围是.
17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）证明：；
（2）若，，求的周长.
解：（1）因为，所以，
所以.
因为，
所以，
则（或，舍去），即.
（2）因为，，所以，.
.
由，可得，
.
故的周长为.
18. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.
（1）若向量的“完美坐标”为，求；
（2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；
（3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域.
解：（1）因为的“完美坐标”为，则，
又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为，
所以，，
所以.
（2）由（1）知，
所以
，
即.
（3）因为向量，的“完美坐标”分别为，，
由（2）得.
令，则，
因为，所以，即，
令，
因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以的值域为.
19. 古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，
（1）若，，，（图1），求线段长度的最大值；
（2）若，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值；
（3）在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值.
解：（1）由，，，，可得，
由题意可得，
即，
即，当且仅当四点共圆时等号成立，
即的最大值为.
（2）如图2，连接，因为四点共圆时四边形的面积最大，，，，
所以，即，，
在中，，①
在中，由余弦定理可得
，②
由①②可得，
解得，而，可得，
所以，
此时
．
所以时，四边形面积取得最大值，且最大值为．
（3）由题意可知所以，即，
在中，由余弦定理可得
，
故，
故，
故，当且仅当时等号成立，
故最大值为.