2024-2025学年安徽省蚌埠市固镇县毛钽厂实验中学高二上学期1月期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省蚌埠市固镇县毛钽厂实验中学高二上学期1月期末考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在空间四边形PABC中，PB−AB+AC=( )
A. APB. PCC. ABD. AC
2.已知数列an的通项公式为an=−n2+4n+2，则该数列中的最大项是( )
A. a2B. a3C. a4D. a5
3.已知A(0,−2)，B(0,2)，动点P满足PA−PB=2，则点P的轨迹是( )
A. 椭圆B. 双曲线的一支C. 双曲线D. 射线
4.m=1是直线x+1+my−2=0与直线mx+2y+4=0平行且不重合的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
5.鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一部分，其宽为8m，高为0.8m，根据图中的坐标系，该抛物线的方程为( )
A. y2=20xB. y2=10xC. x2=20yD. x2=10y
6.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120 ∘，PA=AB=BC=6，则向量PC在BC上的投影向量为( )
A. −23BCB. 23BCC. −32BCD. 32BC
7.已知等差数列an的前n项和为Sn，S3=6，Sn−3=16n≥4,n∈N∗，Sn=20，则n的值为( )
A. 16B. 12C. 10D. 8
8.如果圆x−a2+y−a2=1a>0上总存在点到原点的距离为3，则实数a的取值范围为( )
A. 2,2B. 2,2 2C. 1, 2D. 1,2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间向量a=(1,2,3),a+2b=(−3,0,5),c=(2,4,m),且a//c，则下列说法正确的是( )
A. b= 6B. m=6
C. 2b+c⊥aD. csb,c=− 2142
10.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,O为坐标原点，点Mx0,y 0在抛物线C上，若MF=5，则( )
A. F的坐标为1,0B. y0=4
C. OM=4 2D. 以MF为直径的圆与x轴相切
11.为提高学生学习数学的热情，某校积极筹建数学兴趣小组，小组成员仿照教材中等差数列和等比数列的概念，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项之积为同一个常数(不为0).已知数列an是一个“等积数列”，a1=1,a99a100a101=2，其前n项和为Sn，则下列说法正确的是( )
A. a2024=2
B. S2024=3034
C. an的一个通项公式为an=3+(−1)n2
D. Sn=32n+(−1)n−14
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等比数列an中，a2⋅a8=16，则a5= ．
13.已知圆C:x2+y2=4，直线l:y=x+b.若圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，则b的值为___ _.
14.过点M(1,1)作斜率为−12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=−17，从以下两个条件中任选其中一个给出解答．①S3=−45；②a2+a5=−24．
(1)求公差d；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA=AB=1，BC=CD=2，AB//CD∠ADC=π2．
(1)求证：PD⊥AB；
(2)求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．
17.(本小题12分)
已知以点A−1,2为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切，过点B−2,0的直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，|MN|=2 19．
(1)求圆A的标准方程；
(2)求直线l的方程．
18.(本小题12分)
已知数列an的前n项和为Sn，且3Sn+an=4
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=nan，且数列bn的前n项和为Tn.求Tn．
(3)在(2)条件下若∀n∈N∗都有不等式Tn≤169+λan恒成立，求λ的取值范围．
19.(本小题12分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0)，离心率为2，直线x=a2c与双曲线C的一条渐近线交于点P，且PF= 3．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若A为双曲线C的左顶点，M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1⋅k2=−2，试问：直线MN是否经过定点？证明你的结论．
参考答案
1.B
2.A
3.B
4.C
5.C
6.D
7.B
8.B
9.ABD
10.BCD
11.ACD
12.±4
13.± 2
14. 22
15.【详解】(1)解：选条件①：S3=−45，
设an的公差为d，可得S3=3a1+3×22d=−45，解得a1+d=−15，
又由a1=−17，可得d=2，故数列an的公差d=2．
选条件②：a2+a5=−24，
设an的公差为d，可得a2+a5=a1+d+a1+4d=−24，即2a1+5d=−24，
又由a1=−17，可得d=2，故数列an的公差d=2．
(2)解：由(1)知，公差a1=−17，且d=2，
可得Sn=na1+nn−12d=n2−18n=n−92−81，
所以当n=9时，Sn取得最小值，最小值为−81．

16.【详解】(1)由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AB，
由∠ADC=π2，得AD⊥CD，
∵AB//CD，∴AD⊥AB，
∵AD∩PA=A，∴AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，∴PD⊥AB．
(2)在平面ABCD作AE⊥BC于E，连结PE，作AG⊥PE于G，连结CG，
由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BC，
又AE⊥BC,AE∩PA=A，∴BC⊥平面PAE，
又BC⊂平面PBC，得平面PBC⊥平面PAE，
结合AG⊥PE，得AG⊥平面PBC，
∴∠ACG是直线与平面PBC所成角，
在四边形ABCD中，可得AC= 7，
在ΔABE中，可得AE= 32，
在ΔPAE中，可得AG= 217，
在RtΔAGC中，sin∠ACG=AGAC= 217 7= 37，
∴直线AC与平面PBC所成角的正弦值为 37．
【点睛】本题考查线线垂直的证明、线面角的正弦值的求法、空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，考查转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力．

17.解：(1)设圆A半径为R，由圆与直线l1：x+2y+7=0相切，
则点A−1,2到直线l1的距离等于半径R，
得R=−1+4+7 5=2 5，
∴圆A的标准方程为x+12+y−22=20．
(2)由(1)知，R=2 5，|MN|=2 19，
则圆心A到直线l的距离
d=AQ= R2−MN22= 20−2 1922= 20−19=1．
当直线l与x轴垂直时，即x=−2，
此时圆心A到直线l的距离为1，符合题意；
当直线l不与x轴垂直时，
设方程为y=kx+2，即kx−y+2k=0，
d=−k−2+2k k2+1=k−2 k2+1=1，解得k=34，
∴直线l为：3x−4y+6=0．
综上所述，直线l的方程为x=−2或3x−4y+6=0．

18.解：(1)
因为3Sn+an=4①，
当n=1时可得3a1+a1=4，即a1=1≠0．
当n≥2时，3Sn−1+an−1=4②
由①−②得4an−an−1=0n≥2，即anan−1=14n≥2，
即an是以1为首项，14为公比的等比数列，
所以an=1×14n−1=14n−1．
(2)
因为bn=nan=n14n−1，
所以Tn=1×140+2×141+3×142+⋯+n×14n−1，
14Tn=1×141+2×142+⋯+n−1×14n−1+n×14n，
两式相得，34Tn=140+141+142+⋯+14n−1−n×14n，
即34Tn=1−14n−1×141−14−n14n，
则34Tn=43−n+4314n，
故Tn=169−43n+4314n．
(3)
由(2)知Tn≤169+λan，
所以有169−43n+4314n≤169+λ14n−1，
即λ≥−n3−49，
依题意，∀n∈N∗不等式λ≥−n3−49恒成立，
因为y=−n3−49随着n增大而减小，所以λ≥−79，
即λ的取值范围为−79,+∞．

19.【详解】(1)
由离心率e=2可得ca=2，即c=2a①，
利用c2=a2+b2得b2=c2−a2=4a2−a2=3a2②，
根据双曲线的对称性，不妨设直线x=a2c与渐近线y=bax的交点为P．
联立x=a2cy=bax，得Pa2c,abc，
由PF= 3可得，abc2+c−a2c2=3③，
由①②③解得a=1，b= 3，c=2．
所以双曲线的标准方程为x2−y23=1．
(2)
由题意可知直线MN的斜率不为零，所以设直线MN的方程为x=my+n，
Mx1,y1，Nx2,y2，由x2−y23=1x=my+n，得3m2−1y2+6mny+3n2−1=0，
由Δ=36m2n2−123m2−1n2−1>0，得3m2+n2−1>0，
所以y1+y2=−6mn3m2−1，y1y2=3n2−13m2−1，易知A(−1,0)，所以k1=y1x1+1，k2=y2x2+1，
因为k1⋅k2=−2，所以y1x1+1⋅y2x2+1=−2，
所以y1y2+2x1+1x2+1=0，所以y1y2+2my1+n+1my2+n+1=0，
化简得2m2+1y1y2+2mn+1y1+y2+2n+12=0，
所以2m2+1⋅3n2−13m2−1−2mn+1⋅6mn3m2−1+2n+12=0，
所以3n2−12m2+1−12m2nn+1+2n+123m2−1=0，
化简得n2−4n−5=0，解得n=5或n=−1，
因为M，N是C右支上的两动点，所以n>0，所以n=5，
所以直线MN的方程为x=my+5，所以直线MN恒过定点5,0．
【点睛】方法点睛：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k=0或k不存在时．找出定点，再证明该点符合题意(运用斜率相等或者三点共线)或证明与变量无关．