2023-2024学年上海市浦东模范中学九年级（下）段测数学试卷 (含解析)

这是一份2023-2024学年上海市浦东模范中学九年级（下）段测数学试卷 (含解析)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前10位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
2．（4分）下列关于的方程一定有实数解的是
A．B．C．D．
3．（4分）一支篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码统计如下表：
则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为
A．4双，5双B．，
C．，D．4双，6双
4．（4分）为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析．在此问题中，样本是指
A．80
B．被抽取的80名初三学生
C．被抽取的80名初三学生的体重
D．该校初三学生的体重
5．（4分）已知矩形的边，，以点为圆心作圆，使，，三点至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径的取值范围是
A．B．C．D．
6．（4分）如图，在矩形中，平分交于点，点是边上一点（不与点重合）．点为上一动点，，将绕点逆时针旋转后，角的两边交射线于，两点，有下列结论：①；②；③；④，其中一定正确的是
A．①②B．②③C．①④D．③④
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算： ．
8．（4分）已知一组数据：1，，3，6，7，它的平均数是4，这组数据的众数是 ．
9．（4分）方程的解为： ．
10．（4分）如果正比例函数的函数值随的增大而减小，且它的图象与反比例函数的图象没有公共点，那么的取值范围是 ．
11．（4分）正八边形的中心角为 度．
12．（4分）某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
那么，其中最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为 ．
13．（4分）在中，，，若以点为圆心，以长为半径的圆与斜边相切，那么的长等于 ．
14．（4分）已知3，，4，，5这五个数据，其中，是方程的两个根，则这五个数据的标准差是 ．
15．（4分）如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于、，已知，则 ．
16．（4分）在中，，（如图）．如果圆的半径为，且经过点，，那么线段的长等于 ．
17．（4分）已知点在线段上，且．如果经过点，那么点与的位置关系是 ．
18．（4分）在梯形中，，，，，．点为上一点，过点作交边于点．将沿直线翻折得到，当过点时，的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共78的）
19．（10分）计算：．
20．（10分）已知关于，的二元一次方程组的解为，求、的值．
21．（10分）为了解某学校初三男生1000米长跑，女生800米长跑的成绩情况，从该校初三学生中随机抽取了10名男生和10名女生进行测试，将所得的成绩分别制成如下的表1和图1，并根据男生成绩绘制成了不完整的频率分布直方图（图．
表1
（1）根据表1，补全图2；
（2）根据图1，10名女生成绩的中位数是 ，众数是 ；
（3）按规定，初三女生800米长跑成绩不超过就可以得满分．该校初三学生共490人，其中男生比女生少70人．如果该校初三女生全部参加800米长跑测试，请你估计可获得满分的人数约为多少？
22．（10分）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”．
【概念理解】（1）如图1，四边形是“对补四边形”．
①若，则 度．
②若．且，时．则 ．
【类比应用】（2）如图2，在四边形中，，平分．求证：四边形是“对补四边形”．
23．（12分）如图，在△中，点是边上的一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点．
（1）求证：；
（2）若在边上存在点，使四边形是正方形，且，求此时的大小．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，联结．
（1）求线段的长；
（2）如果抛物线的顶点到直线的距离为3，求的值；
（3）以点为圆心、为半径的交轴的负半轴于点，第一象限内的点在上，且劣弧．如果抛物线经过点，求的值．
25．（14分）如图，已知在△中，，，，点是射线上一点（不与点、重合），过作，垂足为点，以为圆心，长为半径的圆与边相交的另一个交点为点，点是边上一点，且，联结．
（1）如果圆与直线相切，求圆的半径长；
（2）如果点在线段上，设线段，线段，求关于的函数解析式及的取值范围；
（3）如果以为直径的圆与以为直径的圆外切于边上的点，求线段的长．
参考答案
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前10位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
解：19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得前10位同学进入决赛，中位数就是第10位，因而要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的中位数就可以．
故选：．
2．（4分）下列关于的方程一定有实数解的是
A．B．C．D．
解：．当时，方程无实数根，故本选项不符合题意；
．，
△，
不论为何值，，
即方程有两个不相等的实数根，即方程一定有实数解，故本选项符合题意；
．，
且，
不存在，
即次方程无实数解，故本选项不符合题意；
．，
方程两边都乘，得，
即，
检验：当时，，
所以是增根，
即原方程无实数解，故本选项不符合题意；
故选：．
3．（4分）一支篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码统计如下表：
则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为
A．4双，5双B．，
C．，D．4双，6双
解：尺码为的够买数量为4双，最多，
众数为；
共购买10双运动鞋，
中位数为第5双和第6双尺码的平均数，
中位数为，
故选：．
4．（4分）为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析．在此问题中，样本是指
A．80
B．被抽取的80名初三学生
C．被抽取的80名初三学生的体重
D．该校初三学生的体重
解：样本是被抽取的80名初三学生的体重，
故选：．
5．（4分）已知矩形的边，，以点为圆心作圆，使，，三点至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径的取值范围是
A．B．C．D．
解：在直角中，，
则．
由图可知，
故选：．
6．（4分）如图，在矩形中，平分交于点，点是边上一点（不与点重合）．点为上一动点，，将绕点逆时针旋转后，角的两边交射线于，两点，有下列结论：①；②；③；④，其中一定正确的是
A．①②B．②③C．①④D．③④
解：，，
，
平分，
，
为等腰直角三角形，
，
在和中，
，
，
；
为等腰直角三角形，
，，
，
；故③正确，
，，
，故④正确，
由此即可判断选项正确，
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算： ．
解：，
，
．
8．（4分）已知一组数据：1，，3，6，7，它的平均数是4，这组数据的众数是 3 ．
解：据题意得：，得，
所以这组数据的众数是3．
故填3．
9．（4分）方程的解为： 1 ．
解：原方程可化为：，
解得：，，
经检验，是原方程的解，
故答案为：1．
10．（4分）如果正比例函数的函数值随的增大而减小，且它的图象与反比例函数的图象没有公共点，那么的取值范围是 ．
解：的函数值随的增大而减小，
而的图象与反比例函数的图象没有公共点，
综合以上可知：．
故答案为．
11．（4分）正八边形的中心角为 45 度．
解：正八边形的中心角等于；
故答案为45．
12．（4分）某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
那么，其中最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为 24 ．
解：被调查学生的总数为人，
最喜欢篮球的有人，
则最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比，
故答案为：24．
13．（4分）在中，，，若以点为圆心，以长为半径的圆与斜边相切，那么的长等于 ．
解：过点作于，如图，
与相切，
为的半径，即，
，，
，
为等腰直角三角形，
．
故答案为．
14．（4分）已知3，，4，，5这五个数据，其中，是方程的两个根，则这五个数据的标准差是 ．
解：由方程
解方程的两个根是1，2，即，
故这组数据是3，1，4，2，5
其平均数
方差
故五个数据的标准差是
故本题答案为：．
15．（4分）如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于、，已知，则 40 ．
解：作于点，于点，
，，，
，
易得四边形为矩形，
，
，
，
故答案为：40．
16．（4分）在中，，（如图）．如果圆的半径为，且经过点，，那么线段的长等于 3或5 ．
解：分两种情况考虑：
如图1所示，
，，
垂直平分，
，为的中点，
在中，，，
，
根据勾股定理得：，
在中，，，
根据勾股定理得：，
则；
如图2所示，
，，
垂直平分，
，为的中点，
在中，，，
，
根据勾股定理得：，
在中，，，
根据勾股定理得：，
则，
综上，的长为3或5．
故答案为：3或5
17．（4分）已知点在线段上，且．如果经过点，那么点与的位置关系是 点在外 ．
解：如图，
点在线段上，且，
，
点在外，
故答案为：点在外．
18．（4分）在梯形中，，，，，．点为上一点，过点作交边于点．将沿直线翻折得到，当过点时，的长为 ．
解：如图，，
，，
与关于对称，
，
，
，
是等腰三角形，
，
作于点，
．
，
．
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得
，
，
，
设，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得
，
解得：，
当过点时．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共78的）
19．（10分）计算：．
解：原式
．
20．（10分）已知关于，的二元一次方程组的解为，求、的值．
解：把代入二元一次方程组得：
，
由①得：，
把代入②，整理得：
，
解得：或，
把代入①得：，
解得：，
把代入①得：
，
解得：，
即或．
21．（10分）为了解某学校初三男生1000米长跑，女生800米长跑的成绩情况，从该校初三学生中随机抽取了10名男生和10名女生进行测试，将所得的成绩分别制成如下的表1和图1，并根据男生成绩绘制成了不完整的频率分布直方图（图．
表1
（1）根据表1，补全图2；
（2）根据图1，10名女生成绩的中位数是 ，众数是 ；
（3）按规定，初三女生800米长跑成绩不超过就可以得满分．该校初三学生共490人，其中男生比女生少70人．如果该校初三女生全部参加800米长跑测试，请你估计可获得满分的人数约为多少？
解：（1）如图2所示：
（2）名女生的成绩分别是：，，，，，，，，，，
这10名女生成绩的中位数是：，
众数是：；
故答案为：；；
（3）设女生有人，男生有人，
由题意得：，
，
这10名同学有4名同学成绩达满分，
估计该校女生的满分率为，
（人．
答：女生得满分的人数是112人．
22．（10分）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”．
【概念理解】（1）如图1，四边形是“对补四边形”．
①若，则 90 度．
②若．且，时．则 ．
【类比应用】（2）如图2，在四边形中，，平分．求证：四边形是“对补四边形”．
【解答】（1）解：①，
设，则，，
四边形是“对补四边形”，
，
，
．
．
四边形是“对补四边形”，
，
．
故答案为：90；
②连接，如图，
，
．
四边形是“对补四边形”，
．
．
．
，
，
，，
．
故答案为：5；
（2）证明：在上截取，连接，如图，
平分，
．
在和中，
，
，
，，
，
，
．
，
，
，
四边形是“对补四边形”．
23．（12分）如图，在△中，点是边上的一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点．
（1）求证：；
（2）若在边上存在点，使四边形是正方形，且，求此时的大小．
【解答】（1）证明：平分，平分的外角，
，，
，
，，
，，
，，
；
（2）解：四边形是正方形，
，，
，
，即△是直角三角形，
，
，
，
．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，联结．
（1）求线段的长；
（2）如果抛物线的顶点到直线的距离为3，求的值；
（3）以点为圆心、为半径的交轴的负半轴于点，第一象限内的点在上，且劣弧．如果抛物线经过点，求的值．
解：（1），
抛物线的对称轴为，
，，
令，则，
，
；
（2）由（1）可知抛物线的顶点为，，
，
，
，
，
解得；
（3）连接，，，
，
，
，
，
，
设，
，，，
，
①，
，
②，
联立①②可得或（舍，
将代入①，可得．
25．（14分）如图，已知在△中，，，，点是射线上一点（不与点、重合），过作，垂足为点，以为圆心，长为半径的圆与边相交的另一个交点为点，点是边上一点，且，联结．
（1）如果圆与直线相切，求圆的半径长；
（2）如果点在线段上，设线段，线段，求关于的函数解析式及的取值范围；
（3）如果以为直径的圆与以为直径的圆外切于边上的点，求线段的长．
解：（1）记圆与直线相切于点，连接，如图
，
，，，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
设，则，
，
，
解得，
经检验是方程的解，
圆的半径长为；
（2）作于点，如图2，
线段，线段，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
整理得；
（3）设，则，，，
由（2）同理可得，
，
为直径，在上，
，
，
，
解得，
经检验是方程的解，
．
尺码
25
25.5
26
26.5
27
购买量（双
1
1
2
4
2
类别
类型
足球
羽毛球
乒乓球
篮球
排球
其他
人数
10
4
6
2
男生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
男生成绩
题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
B
B
C
C
D
尺码
25
25.5
26
26.5
27
购买量（双
1
1
2
4
2
类别
类型
足球
羽毛球
乒乓球
篮球
排球
其他
人数
10
4
6
2
男生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
男生成绩