2024-2025学年湖南省示范性高中高二下学期2月联考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省示范性高中高二下学期2月联考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若f′x0=−2，则limΔx→0fx0−fx0+ΔxΔx=( )
A. −1B. −2C. 1D. 2
2.已知A机器中有7个娃娃，B机器中有8个娃娃，且这15个娃娃互不相同，某人从A，B机器中分别抓取1个娃娃，则此人抓取娃娃的不同情况共有( )
A. 15种B. 30种C. 45种D. 56种
3.若数列an满足an+1=3an−1，则称an为“对奇数列”.已知bn+12为“对奇数列”，且b1=2，则b2025=( )
A. 3×22024B. 22025C. 2×32024D. 2×32023
4.已知点C的坐标为1,1，动点P满足PC=2 2，O为坐标原点，则OP的最大值为( )
A. 4 2B. 3 2C. 2 2D. 2
5.从3名男生和2名女生中任选3人参加一项创新大赛，则选出的3人中既有男生又有女生的概率为( )
A. 110B. 310C. 35D. 910
6.将4个相同的商品放在A，B，C，D4个空货架上，则有且仅有2个货架上有商品的放法有( )
A. 18种B. 20种C. 24种D. 120种
7.设F1，F2为椭圆C:y2+x2n=100，若在函数fx=eax2−x+1,x≥0xax2+1,x0的等比数列，且b2=2，b2+b3+b4=14．
(1)求bn的通项公式；
(2)设an与bn的公共项由小到大排列构成新数列cn，求cn的前5项和S5．
16.(本小题12分)
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD，EF//AB，AD=2，AB=AF=2EF=1，P为DF的中点．
(1)证明：BF//平面APC；
(2)求直线EC与平面APC所成角的正弦值．
17.(本小题12分)
已知椭圆E:x25+y2b2=102b，M为E的上顶点，△F1MF2的面积为2．
(1)求E的方程；
(2)过点t,0作斜率为1的直线交E于A，B两点，设点A、B关于y轴的对称点分别为D、C，当四边形ABCD的面积为5 53时，求直线AB的方程．
18.(本小题12分)
已知函数fx=−xex，gx=xlnx−a2x2−x，a∈R．
(1)讨论fx的单调性；
(2)若当x∈1,+∞时，fx与gx的单调性相同，求实数a的取值范围；
(3)若当a∈0,1e时，gxx∈0,e有最小值ℎa，证明：−e2b．
因为△F1MF2的面积为2，所以12×2c×b=bc=2，
由b2+c2=5bc=2得b4−5b2+4=0，解得b2=1或b2=4，即b=1或b=2，
所以b=1c=2或b=2c=1，结合c>b，可得b=1c=2，所以E的方程为x25+y2=1．
(2)由题意得直线AB的方程为y=x−t，设Ax1,y1，Bx2,y2．
由A，B关于y轴的对称点分别为D，C，构成四边形ABCD，
可知点A，B位于y轴同侧，
则四边形ABCD的面积2x1+2x2⋅y1−y22=x1+x2⋅x1−x2=5 53．
将y=x−t代入x25+y2=1，化简得6x2−10tx+5t2−5=0，
则x1+x2=5t3，x1x2=5t2−56>0，
且Δ=100t2−245t2−5=120−20t2>0，解得1