河南省安阳市安阳县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河南省安阳市安阳县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共29页。
1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 不透明的箱子里有4张大小相同的卡片，上面分别印有2024年巴黎奥运会的4个不同体育项目的图标（如图所示），从中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上的图标是中心对称图形的概率是（ ）
A. B. C. D.
2. 现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为，，若这四条线段是成比例线段，则的值是（ ）
A B. C. D.
3. 下列四个几何体中，俯视图不是圆的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A B. C. D.
5. 如果将二次函数的图象平移，使得平移后图象的解析式为，那么它平移的过程可以是（ ）
A. 向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B. 向右平移3个单位，再向上平移2个单位
C. 向左平移3个单位，再向上平移5个单位
D. 向右平移3个单位，再向下平移5个单位
6. 神舟十九号载人飞船于北京时间2024年10月30日凌晨于酒泉卫星发射中心成功发射．如图，当火箭上升到点时，在位于水平地面距离发射中心千米处的雷达测得仰角为，则此时火箭距地面的高度为（ ）
A. 千米B. 千米C. 千米D. 千米
7. 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
8. 在正比例函数中，随的增大而增大，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
9. 物理课上，诚诚发现当重物上升时，滑轮上点的位置也在不断改变．如图，已知滑轮的半径，若重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则绕点按逆时针方向旋转的角度为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，，分别是，的中点，动点在射线上，交于点，的平分线交于点，当时，（ ）
A. 10B. C. 18D. 20
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 如图，点在上，，则度数为___________．
12. 置换反应是一种单质与一种化合物反应，生成另一种单质和另一种化合物的反应．某次化学实验课上，老师分别用三个相同的不透明容器装着，，三种金属，让同学们随机选择一种与盐酸反应制取氢气，根据金属活动顺序可知，，可以置换出氢气，而不能．甲同学从三种金属中随机选择一种金属进行实验，将三个容器的顺序打乱后，乙同学再随机选择一种金属进行实验，则两人所选金属都能置换出氢气的概率为________．
13. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，画，使它与的相似比为2，则点的对应点的坐标是________．
14. 如图，点是矩形中边上一点，沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，则的值为________．
15. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接，若，，则的值为________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）解方程：；
（2）计算：．
17. 2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，从点测得地面点的俯角为，求的长．（参考数据：，，）
18. 如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数．
19. 如图，为的直径，为上一点，，平分．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
20. 11月19日，2026年美加墨世界杯预选赛第三阶段第6轮，中国队迎战日本队，中国队虽最终不敌但也有不俗表现，激发了广大球迷的观球热情．某体育用品店趁热经销一种学生足球，已知这种足球的成本价为50元/个．经调查发现，这种足球每天的销售量（个）与销售单价（元/个）有如下关系：（，为整数），设这种足球的销售利润为（元）．
（1）若某天这种足球的销售利润为800元，求这天这种足球的销售单价；
（2）这种足球的销售单价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
21. 如图，直线，都与反比例函数的图象交于点，这两条直线分别与轴交于，两点．
（1）求和的函数解析式；
（2）当时，求不等式的解集；
（3）将点和点同时向下移动个单位长度，使得移动之后对应的两点都在同一个反比例函数的图象上，则的值为________．
22. 2024年巴黎奥运会女子单人10米跳台决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的动作（如图1），为了分析这个动作我们可以建立如图2所示的平面直角坐标系，将她从点起跳后的运动路线看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．
（1）下表为平时训练中完成一次动作，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据：
根据表中数据，求与近似满足的二次函数解析式，并求出的值；
（2）某一次10米跳台练习中，如果与之间近似满足二次函数，则全红婵完成跳水动作入水时的入水点到点的距离是多少？
23. 【问题探索】
（1）如图1，在中，，是边上一点，是边上一点，．求证：；
（2）如图2，在四边形中，，，若，，求的长；
（3）如图3，在中，，，以为直角顶点作等腰直角三角形，点在上，点在上，若，直接写出的长．
2024—2025学年第一学期九年级期末学情检测卷
数学（人教版）
注意事项：
1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 不透明的箱子里有4张大小相同的卡片，上面分别印有2024年巴黎奥运会的4个不同体育项目的图标（如图所示），从中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上的图标是中心对称图形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了中心对称图形的识别，概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中A事件出现m种结果，那么事件A的概率．用中心对称图形的个数除以图形的总个数即可．
【详解】∵四个图形中的第一、第四个图形是中心对称图形，
∴抽取的卡片的图标是中心对称图形的概率是．
故选：C．
2. 现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为，，若这四条线段是成比例线段，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了比例线段，根据比例线段的定义列出比例式是解题的关键．
根据题意得到，根据比例的性质得到，计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意得，
，
，
故选：B．
3. 下列四个几何体中，俯视图不是圆的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的俯视图，根据俯视图概念逐项判断，即可解题．
【详解】解：A、俯视图是圆的，不符合题意；
B、俯视图是长方形，不是圆的，符合题意；
C、俯视图是圆的，不符合题意；
D、俯视图是圆的，不符合题意；
故选：B．
4. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，由反比例函数解析式中可得反比例函数图象经过第二，四象限，在每个象限内y随x增大而增大，进而求解．
【详解】解：∵，
∴函数图象在第二，四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
当时，当时，
∵，都在反比例函数的图象上，
∴，
故选：C．
5. 如果将二次函数的图象平移，使得平移后图象的解析式为，那么它平移的过程可以是（ ）
A. 向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B. 向右平移3个单位，再向上平移2个单位
C. 向左平移3个单位，再向上平移5个单位
D 向右平移3个单位，再向下平移5个单位
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据“左加右减，上加下减”可进行求解．
【详解】解：将二次函数向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到即
∴平移方式正确的是向左平移3个单位，再向下平移2个单位；
故选：A．
6. 神舟十九号载人飞船于北京时间2024年10月30日凌晨于酒泉卫星发射中心成功发射．如图，当火箭上升到点时，在位于水平地面距离发射中心千米的处的雷达测得仰角为，则此时火箭距地面的高度为（ ）
A. 千米B. 千米C. 千米D. 千米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角、仰角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据锐角三角函数的定义得到，即可得到答案．
【详解】解：在中，，
（千米）
故选：C．
7. 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，熟练掌握一次函数与二次函数的图象特征是解题关键．先根据一次函数的图象可得，再得出二次函数的图象的开口向下，与轴的交点位于与轴的负半轴上，由此即可得．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴二次函数的图象的开口向下，与轴的交点的纵坐标为，即与轴的交点位于与轴的负半轴上，
观察四个选项可知，只有选项A符合，
故选：A．
8. 在正比例函数中，随的增大而增大，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的性质，一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
根据正比例函数的性质得到，再根据一元二次方程的根的判别式即可解答．
【详解】解：∵正比例函数中，的值随值的增大而增大，
∴，
∵关于的一元二次方程为，
∴，
∴一元二次方程为有两个不相等的实数根．
故选：B．
9. 物理课上，诚诚发现当重物上升时，滑轮上点的位置也在不断改变．如图，已知滑轮的半径，若重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则绕点按逆时针方向旋转的角度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式的计算．重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案．
【详解】解：设旋转的角度是，滑轮的半径是，
由题意得：，
解得：，
绕点O按逆时针方向旋转的度数为，
故选：C．
10. 如图，在中，，，分别是，的中点，动点在射线上，交于点，的平分线交于点，当时，（ ）
A. 10B. C. 18D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、角平分线的定义、三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理、角平分线的性质、三角形相似的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．延长交射线于，根据三角形中位线定理可得，从而得到，由角平分线的性质可得，从而得到，即，得到，根据，，证明，最后根据三角形相似的性质进行计算即可．
【详解】解：如图，延长交射线于，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 如图，点在上，，则的度数为___________．
【答案】##90度
【解析】
【分析】直接根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行解答即可．
【详解】解：∵如图：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键．
12. 置换反应是一种单质与一种化合物反应，生成另一种单质和另一种化合物反应．某次化学实验课上，老师分别用三个相同的不透明容器装着，，三种金属，让同学们随机选择一种与盐酸反应制取氢气，根据金属活动顺序可知，，可以置换出氢气，而不能．甲同学从三种金属中随机选择一种金属进行实验，将三个容器的顺序打乱后，乙同学再随机选择一种金属进行实验，则两人所选金属都能置换出氢气的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求概率，熟练掌握用画树状图法求概率是解题的关键．
画树状图得到共有种等可能的情况，其中两人所选金属都能置换出氢气的情况有种，根据概率公式计算即可得到答案．
【详解】解：画树状图如下，
共有种等可能的情况，其中两人所选金属都能置换出氢气的情况有种，
两人所选金属都能置换出氢气的概率为，
故答案为：．
13. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，画，使它与的相似比为2，则点的对应点的坐标是________．
【答案】或
【解析】
【分析】此题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质，利用如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可得出答案．
【详解】解：∵以坐标原点O为位似中心，作与位似的，使得与的相似比为2，
∴点的对应点的坐标为或．
故答案为：或．
14. 如图，点是矩形中边上一点，沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据折叠的性质，可得与的关系，根据，可得与的关系，根据勾股定理，可得的长，根据两个角相等的两个三角形相似，可得，根据正切的意义，可得答案．
【详解】解：设，
沿折叠为，
，
，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理，得，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．
15. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接，若，，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，证明，求出的面积，进而得到的值，根据值的几何意义，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴轴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴；
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）解方程：；
（2）计算：．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握解一元二次方程的方法、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
（1）利用公式法解方程即可；
（2）把三角函数值代入计算即可．
【详解】解：（1），，．
Δ=b2-4ac=-142-4×1×-18=916>0．
∴，
即，．
（2）原式
．
17. 2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，从点测得地面点的俯角为，求的长．（参考数据：，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键．在中，根据余弦定义求解即可．
【详解】解：根据题意，得，，，．
．
．
．
在中，，
．
答：的长约为．
18. 如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由等边三角形的性质知，，由旋转的性质知，，从而得，再证可得答案；
（2）由，知为等边三角形，即，继而由，得到，再利用即可得解．
【小问1详解】
证明：是等边三角形，
，．
线段绕点顺时针旋转，得到线段，
，．
．
．
在和中，
，
．
【小问2详解】
解：如图，

，，
为等边三角形．
，
，
．
．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质证得三角形的全等是解题的关键．
19. 如图，为的直径，为上一点，，平分．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要查了切线判定，圆周角定理，直角三角形的性质等知识：
（1）连接．根据，可得，再由，平分，可得，即可求证；
（2）根据圆周角定理可得，在中，根据勾股定理可得． 从而得到为等边三角形，进而得到．，再由直角三角形的性质，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接．
，
．
平分，
．
，
．
，
即．
是的半径，
与相切．
【小问2详解】
解：为的直径，，
，．
，
在中，
．
．
为等边三角形．
．
由（1）可知，
．
在中，．
20. 11月19日，2026年美加墨世界杯预选赛第三阶段第6轮，中国队迎战日本队，中国队虽最终不敌但也有不俗的表现，激发了广大球迷的观球热情．某体育用品店趁热经销一种学生足球，已知这种足球的成本价为50元/个．经调查发现，这种足球每天的销售量（个）与销售单价（元/个）有如下关系：（，为整数），设这种足球的销售利润为（元）．
（1）若某天这种足球的销售利润为800元，求这天这种足球的销售单价；
（2）这种足球的销售单价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）60元/个
（2）销售单价定为75元/个时，每天的销售利润最大，最大利润是1250元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用．
（1）每天的利润每天销量每千克的利润，根据“某天这种足球的销售利润为800元”列关于销售单价的一元二次方程，解方程即可；
（2）每天的利润每天销量每千克的利润，代入即可得出与x之间的函数关系式，利用配方法，可得出最大利润．
【小问1详解】
解：由题意得，
解得，（舍），
答：这天的销售单价为60元/个；
【小问2详解】
解：由题意得，
，，
当时，每天的销售利润最大，最大利润是1250元．
答：这种足球的销售单价定为75元/个时，每天的销售利润最大，最大利润是1250元．
21. 如图，直线，都与反比例函数的图象交于点，这两条直线分别与轴交于，两点．
（1）求和的函数解析式；
（2）当时，求不等式的解集；
（3）将点和点同时向下移动个单位长度，使得移动之后对应两点都在同一个反比例函数的图象上，则的值为________．
【答案】（1），
（2）
（3）1
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，平移的规律等知识是解题的关键．
（1）把点代入直线中，求出的值，再将代入与中，即可求解；
（2）设直线与反比例函数的另一个交点为，先求出，根据反比例函数图象的性质即可求解；
（3）根据函数与坐标轴的交点可得，由平移的性质可得，，结合两点都在同一反比例函数的图像上，由反比例函数图象的性质即可求解．
【小问1详解】
解：把点代入直线中，则，
∴
将代入与中，
则，解得，
，解得：，
∴，；
【小问2详解】
解：如图，设直线与反比例函数的另一个交点为，
令，即，
解得：，
当时，，
∴，
根据函数图象：当时，，
∴当时，求不等式的解集为；
【小问3详解】
解：令，解得：，
∴，
将点和点同时向下移动个单位长度，
∴，，
由题意得：，
解得：．
22. 2024年巴黎奥运会女子单人10米跳台决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的动作（如图1），为了分析这个动作我们可以建立如图2所示的平面直角坐标系，将她从点起跳后的运动路线看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．
（1）下表为平时训练中完成一次动作，全红婵水平距离与竖直高度的几组数据：
根据表中数据，求与近似满足的二次函数解析式，并求出的值；
（2）某一次10米跳台练习中，如果与之间近似满足二次函数，则全红婵完成跳水动作入水时的入水点到点的距离是多少？
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）先确定对称轴设顶点式，再利用待定系数法求出解析式，即可得到答案；
（2）利用待定系数法求出，再令时，求出二次函数与轴的交点，即可得到答案．
【小问1详解】
解：根据表格得，函数图象过点，，
二次函数的对称轴为直线．
设二次函数的解析式为，
将点，代入，
得，
解得 ，
．
将代入，可得．
【小问2详解】
解：与之间近似满足二次函数，
将代入，可得．
解得．
与之间近似满足二次函数．
当时，，
解得，（舍）．
答：全红婵完成跳水动作入水时的入水点到点的距离是．
23. 【问题探索】
（1）如图1，在中，，是边上一点，是边上一点，．求证：；
（2）如图2，在四边形中，，，若，，求的长；
（3）如图3，在中，，，以为直角顶点作等腰直角三角形，点在上，点在上，若，直接写出的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用一线三等角模型，可证明；
（2）延长交的延长线于点，证明，推出，求出，，，再利用勾股定理求解；
（3）过点作与交于点，使，由（1）同理得出，可知，再利用，可得答案．
【小问1详解】
证明：，，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，延长交的延长线于点，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
在中，，，
，
，，
在中，；
【小问3详解】
解：如图，过点作与交于点，使，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，（负值已舍去），
．
【点睛】本题是相似形综合题，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键．
水平距离
3
4
4.5
竖直高度
10
11.25
10
6.25
水平距离
3
4
4.5
竖直高度
10
11.25
10
6.25