安徽省蒙城县实验中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份安徽省蒙城县实验中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟.
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效.
3．本卷命题范围：北师大版必修第一册～必修第二册第一章4.2结束.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式，得到，利用并集概念求出答案.
【详解】因，
所以.
故选：D
2. 下列各角中，与终边相同的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用终边相同的角的定义计算可得结果.
【详解】因为,
所以与的终边相同.
故选：A
3. 我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1521石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A. 133石B. 159石C. 163石D. 169石
【答案】D
【解析】
【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而求得结果.
【详解】因为252粒内夹谷28粒，所以米内夹谷的频率为：.
所以这批米内夹谷约为：石.
故选：D
4. 在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数、对数函数和幂函数的图象与性质，结合排除法即可求解.
【详解】因在同一坐标系中，
所以的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD；
在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，
由图象可知，所以单调递减，单调递增，故排除B，
故选：C.
5. 不等式在上的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合余弦函数图象分析运算，即可得结果.
【详解】∵，则，
注意到，结合余弦函数图象解得.
故选：D.
6. 甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的概率为，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意甲班最终获胜分三种情况进行讨论，进而求出结果.
【详解】甲班最终获胜有三种情况：
①甲班前两场获胜；
②甲班第1场和第3场获胜，第2场输；
③甲班第1场输，第2场和第3场获胜.
故甲班最终获胜的概率为.
故选：D.
7. 已知函数的最大值为1，最小值为，则函数的最大值为（ ）
A. 5B. －5C. 1D. －1
【答案】A
【解析】
【分析】分，求出的值，再求函数的最大值.
【详解】若，则，
所以（当时取“”）；
若，则，
所以（当时取“”）.
综上可知：的最大值为：5.
故选：A
8. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首选判断，，再利用作商法以及基本不等式比较大小，根据指数式与对数式的互化以及对数函数的性质可得，利用对数的运算性质可判断.
【详解】因为，，
所以，
所以，所以，
因为，所以.
综上所述，，
故选：B.
【点睛】本题考查指数式､对数式的大小比较､基本不等式，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于基础题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列转化结果正确的是（）
A. 化成弧度是B. 化成角度是
C. 化成弧度是D. 化成角度是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据弧度制和角度制的转化公式求得正确答案.
【详解】化成弧度是，A选项正确.
化成角度是，B选项错误.
化成弧度是，C选项正确.
化成角度是，D选项正确.
故选：ACD
10. 已知函数的定义域为，且，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若在上有最小值－1，则在上有最大值1
C. 若在上为增函数，则在上为减函数
D. 若时，，则时，
【答案】AB
【解析】
【分析】根据奇函数和单调性的定义与性质逐项判断即可确定答案.
【详解】由题意可知：函数是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称.
对A：令，则，故A正确；
对B：根据奇函数图象的对称性，若在上有最小值－1，则在上有最大值1，故B正确；
对C：根据奇函数图象的对称性，若在上为增函数，则在上也为增函数，故C不正确；
对D：设，则，所以，
又，所以（）.
故D不正确.
故选：AB
11. 已知函数且时，，则的取值可能是（ ）
A. 9B. 11C. 12D. 13
【答案】BC
【解析】
【分析】由题意画出图形，得出各自的范围以及关系，进一步即可求解.
【详解】
，
结合图形可得，，，
∵，∴，，即，∴，
∴，∴.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式求函数值.
【详解】因为.
.即.
故答案为：
13. 已知一组数据的平均数，方差，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数__________.
【答案】8
【解析】
【分析】由数据的平均数没有变，得到去掉的数据为6，根据方差列出方程，求出.
【详解】因为去掉一个数据之后，数据的平均数没有变，所以去掉的数据为6，
去掉6后方差变为24，故得到，解得：
故答案为：8
14. 函数的定义域为，且满足，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据所给的条件，利用“赋值法”求，，的值，再探索函数的周期性，进而可以求解.
【详解】因为，所以，.
令，则；由；
令，则.
由，代入，得，
用代替可得：，
两式相减得：，所以函数是以4为周期的周期函数.
所以：，.
所以.
.
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的关系式推出函数的周期，求出一个周期的函数值，进而可以求解结果.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤.
15. 已知角的顶点为原点，始边与轴的非负半轴重合．若角的终边过点，且，判断角的终边所在的象限，并求的值．
【答案】角的终边在第二或第三象限；.
【解析】
【分析】根据三角函数的定义列方程，化简求得正确答案.
【详解】根据三角函数的定义得，
由于，所以，
所以，
所以，所以角的终边在第二或第三象限.
当角的终边在第二象限时，
，则；
当角的终边在第三象限时，
，则.
综上所述，角的终边在第二或第三象限，.
16. 某公园要设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是以点为圆心的两个同心圆，圆弧所在圆的半径（单位：米），圆弧所在圆的半径（单位：米），圆心角．
（1）求弧长；
（2）求花坛的面积．
【答案】（1）米
（2）平方米
【解析】
【分析】（1）根据弧长公式求解即可.
（2）根据扇形的面积公式，把花坛面积看成两个扇形面积的差即可.
【小问1详解】
弧长米
【小问2详解】
花坛面积 平方米
17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分的分位数（保留一位小数）；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求的值.
（2）根据频率分布直方图计算50%分位数即可.
（3）根据频率分布直方图得出50名职工中评分在、分别有2人、3人，利用列举法结合古典概型的概率公式即可求.
【小问1详解】
由题意：
【小问2详解】
因为评分在的频率为：，
评分在的频率为：.
所以评分的第分位数在，
由.
所以估计该企业的职工对该部门评分的分位数为：.
【小问3详解】
受访职工中评分在的人数为：人，设为，
受访职工中评分在的人数为：人，设为，
从中任取两人的结果有：，，，，，，，，，，共10个，且每个结果出现的可能性相同.
2人评分都在的结果有：，，，共3个.
所以此2人评分都在的概率为：.
18. 已知函数．
（1）写出函数的最小正周期以及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最小值，并写出取得最小值时的值；
（3）时，函数有零点，求的取值范围．
【答案】（1）；，.
（2）当时，取得最小值为.
（3）
【解析】
【分析】结合余弦函数的图象和性质可求解.
【小问1详解】
函数的最小正周期为：；
由，，
得函数的单调递减区间为：，.
【小问2详解】
因为，所以，
所以当时，取得最小值为.
【小问3详解】
当时，，.
方程有解，所以.
即函数有零点，得.
19. 若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数型函数.
（1）若函数是型函数，求的值；
（2）若函数是型函数，求和的值；
（3）已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据给定的定义，结合指数运算计算即得.
（2）利用给定的定义，建立恒成立的等式，借助恒等式求解即得.
（3）利用新定义建立关系，再分段讨论并借助函数不等式恒成立求解即得.
【小问1详解】
由是型函数，得，即，
所以.
【小问2详解】
由是型函数，得，
则，因此对定义域内任意恒成立，
于是，解得，
所以.
【小问3详解】
由是型函数，得，
①当时，，而，则，满足；
②当时，恒成立，
令，则当时，恒成立，于是恒成立，
而函数在单调递增，则，当且仅当时取等号，因此；
③当时，，则，
由，得，
令，则当时，，
由②知，则只需时，恒成立，即恒成立，
又，当且仅当时取等号，因此，
所以实数的取值范围是.
【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，
①若，总有成立，则；
②若，总有成立，则；
③若，使得成立，则；
④若，使得成立，则.