福建省厦门第一中学2024-2025学年上学期八年级12月月考 数学试题（含解析）

这是一份福建省厦门第一中学2024-2025学年上学期八年级12月月考 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在，，，中，是分式的有 ( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（ ）
A．一条B．两条C．三条D．四条
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，四边形是轴对称图形，BD所在的直线是它的对称轴，下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．垂直平分BDD．BD垂直平分
5．下列计算的依据是同底数幂乘法的性质的是（ ）
A．B．C．D．
6．若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．5B．1C．0D．．
7．分式有意义的条件是（ ）
A．x≠0B．y≠0C．x≠0或y≠0D．x≠0且y≠0
8．如图，已知△ABC与△BDE全等，其中点D在边AB上，AB＞BC，BD=CA，DE∥AC，BC与DE交于点F，下列与AD+AC相等的是（ ）
A．DEB．BEC．BFD．DF
9．如图，直线、交于点，若、是等边的两条对称轴，且点在直线上（不与点重合），则点、中必有一个在（ ）
A．的内部B．的内部
C．的内部D．直线上
10．在平面直角坐标系中，点，其中，若是等腰直角三角形，且，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题）
11．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
12．，点在线段的垂直平分线上． （填推理的依据）
13．若是一个完全平方式，则常数的值为 ．
14．卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙逑度）是米/秒，则卫星绕地球运行秒走过的路程为 千米．
15．如图，已知的面积为15，AD平分，于点D，则的面积是 ．
16．如图，已知等边中，点在边上，连接，点在线段上，以为边向下作等边，连接．下列说法正确的是 ．(只需填写序号)
①；
②当点为中点时，存在点，使得；
③当点为中点时，存在点，使得；
④对于任意点，都存在点，使得．
三、解答题（本大题共9小题）
17．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
18．分解因式：
(1)；
(2)．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图△ABC，请用尺规作出它的外角∠BAE的平分线AD，若AD∥BC，证明：AB＝AC．

21．（1）已知，则的值．
（2）已知，求的取值范围．
22．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等。（要求：将文字命题改为几何命题、画图、写出已知求证，再写出证明过程）
23．阅读下列材料：若满足，求的值．
解：设，，则，．
∴．
请仿照上面“巧妙换元，化繁为简”的思路与方法，解答下列问题：
(1)若满足，求的值；
(2)若满足，求的值；
(3)如图，正方形的边长为，点分别在上，且，，分别以为边作正方形．若长方形的面积是18，求阴影部分的面积．
24．如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．
(1)依题意补全图形；
(2)若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；
(3)用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．
25．阅读材料：
如果整数，满足，，其中，，，都是整数，那么一定存在整数，，使得．例如，，，或，……
根据上述材料，解决下列问题：
(1)已知，，或，……若，则 ；
(2)已知，（，为整数），．若，求（用含，的式子表示）；
(3)一般地，上述材料中的，可以用含，，，的式子表示，请直接写出一组满足条件的，（用含，，，的式子表示）．
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据“分式”的定义进行分析判断即可.
【详解】由“分式的定义”可知：上述四个式子中属于分式的是：，共2个.
故此题答案为B.
2．【答案】A
【分析】根据三角形具有稳定性可得结论．
【详解】根据三角形的稳定性可得：至少要再钉上1根木条（过四边形的对角线钉上1根木条）．
故此题答案为A．
3．【答案】C
【分析】分别计算出各项的结果，再进行判断即可．
【详解】解：A.，故原选项错误；
B. ，故原选项错误；
C. ，计算正确；
D. ，故原选项错误
故此题答案为C
4．【答案】C
【分析】根据轴对称图形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形是轴对称图形，BD所在的直线是它的对称轴，
∴，，BD垂直平分，
∴选项A、B、D不符合题意，
选项C中不能垂直平分BD，符合题意；
故此题答案为C．
5．【答案】B
【分析】分别根据积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
【详解】解：A．，根据积的乘方运算法则计算，故本选项不合题意；
B．，根据同底数幂乘法的性质计算，故本选项符合题意；
C．，根据幂的乘方运算法则计算，故本选项不合题意；
D．，根据合并同类项法则计算，故本选项不合题意．
故此题答案为B．
6．【答案】D
【分析】把式子展开，找到所有x项的所有系数，令其和为0，可求出m的值．
【详解】解：（x+m）（x+5）=x2+（5+m）x+5m，
∵结果不含x的一次项，
∴5+m=0，
解得：m=-5．
故此题答案为D．
7．【答案】C
【分析】分式有意义的条件是分母不为0，只要x和y不同时是0，分母x2＋y2就一定不等于0．
【详解】解：由题意得：，
∴x≠0或y≠0；
故此题答案为C．
8．【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质得出AC=DB，进而解答即可．
【详解】解：∵DE∥AC，
∴∠A=∠EDB．
∵△ABC与△BDE全等，
∴BC=BE，AC=DB，AB=DE，
∴AC+AD=DB+AD=AB=DE，
故此题答案为A．
9．【答案】D
【分析】根据等边三角形是轴对称图形，利用轴对称图形的性质解决问题即可．
【详解】解：如图，
∵△PMN是等边三角形，
∴△PMN的对称轴经过三角形的顶点，
∵直线CD，AB是△PMN的对称轴，
又∵直线CD经过点P，
∴直线AB一定经过点M或N，
故此题答案为D．
10．【答案】C
【分析】过点C作轴于D，由可证，可得，，即得出a的取值范围，再根据，即可得出m的取值范围．
【详解】解：如图，过点C作轴于D，
∵A0,3，
∴．
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴．
故此题答案为C．
11．【答案】 1 2
【分析】（1）根据零指数幂运算法则计算即可；
（2）运用积的乘方法则计算即可；
（3）运用单项式乘以单项式法则计算即可；
（4）运用单项式除以单项式法则计算即可．
【详解】解：（1）
（2）
（3）
（4）
12．【答案】到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
【分析】根据“到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”解答即可．
【详解】解：，
点在线段的垂直平分线上（到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
13．【答案】
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴
∴
14．【答案】
【分析】利用路程等于速度乘以时间，再利用同底数幂的乘法法则进行运算即可得到答案．
【详解】解：由题意得：米．
米即千米．
15．【答案】/7..5
【分析】延长BD交AC于点E，可证得，即可得BD=ED，故和为同底同高的三角形面积相等，即可推出为的一半．
【详解】延长BD交AC于点E
∵AD平分
∴∠BAD=∠EAD
又∵于点D
∴∠ADB=∠ADE=90°
∵
∴
∴BD=ED
∴=，
∴++
∵，
∴
16．【答案】①③
【分析】证明，得出，即可判断①；当点为中点时，，根据三角形边角关系即可判断②；假设结论成立，用反证法即可判断③；当点在的中点的右边时，分当点D是在线段的端点时和当点D是不在线段的端点时两种情况讨论，即可判断④．
【详解】解：①和都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
，故①正确，符合题意；
②如图，当点为中点时，，
由垂线段最短可知，，故②错误，不符合题意；
③如图，作于，
点为中点时，为等边三角形，
，，，
由①可得：，
，，
令，则，，，
假设成立，则，
，
，
，
，
，
，
故假设成立，故③正确，符合题意；
④当点在的中点的右边时，
作于点G，则，
由①可得：，
，
当点D是在线段的端点时，和不是直角，即不成立，
当点D是不在线段的端点时，，
，即不成立，
综上所述，当点在的中点的右边时，不存在点E使得垂直，故④错误，不符合题意；
综上所述，正确的有①③
17．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）运用单项式乘以多项式法则计算即可；
（2）运用同底数幂相乘与积的乘方、幂的乘方法则计算，再合并同类项即可；
（3）根据多项式乘多项式运算法则求解即可；
（4）运用多项式除以单项式法则计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
18．【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可求解；
（）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可求解
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：
，
．
19．【答案】；16
【详解】解：
当时，
原式
．
20．【答案】见解析
【分析】用尺规作外角∠BAE的平分线AD，再根据平分线的性质和平行线的性质进行证明即可．
【详解】解：如图所示：
AD即为所求作的图形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠C，∠DAB＝∠B，
∵AD平分∠BAE，
∴∠DAE＝∠DAB，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
21．【答案】（1）6
（2）
【分析】（1）利用幂的乘方与同底数幂相乘的法则进行计算，即可得出答案．
（2）由，得出，代入，求解即可．
【详解】解：（1），，
，
，
，
，
，
（2），
，
，
，
解得．
22．【答案】见解析
【分析】根据题意，写出几何命题，并画出图形，先证明得到，即可求证．
【详解】已知：在和中，，，、分别是、的中线，且，
求证：
画图如下：
证明：∵、分别是、的中线
∴，
又∵
∴，
在和中，
∴，
∴
在和中
∴
23．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，，根据完全平方公式计算即可得出答案；
（2）设，，根据完全平方公式计算即可得出答案；
（3）根据题意用表示出、，根据长方形的面积公式用表示出长方形的面积，再根据完全平方公式、平方差公式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：设，，则，．
∴．
（2）解：设，，则，．
∴．
（3）解：由题意得：，．
从而长方形的面积，
．
设，，则，．
∴．
∴由得．
∴．
24．【答案】(1)图形见解析；
(2)；
(3)．证明见解析．
【分析】（1）按要求画图即可；
（2）由轴对称可得，再由等腰三角形和等边三角形性质可得结论；
（3）在上截取，如图所示，连接，先证明为等边三角形，再证明，则，由此可解决问题．
【详解】（1）解：补全图形如图所示．
（2）解：点、关于对称，
为中垂线，
，．
，
又为等边三角形，
，
．
，．
．
（3）解：．
证明：在上截取，如图所示，连接．
，，，
，
，
，
，，
，
为等边三角形，
，
在和中，
，
．
．
．
即．
25．【答案】(1)9
(2)或
(3)，
【分析】（1）结合，，求解即可；
（2）将，代入，整理可得，即可获得答案；
（3）根据题意，可得，结合，可令，，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：根据题意，，，，
∴，
∴
∴，
∴或；
（3）解：∵，，
∴，
又∵，
令，，
此时可有一组解，，
即，．