重庆市鲁能巴蜀中学校2024-2025学年下学期开学收心定时作业九年级数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份重庆市鲁能巴蜀中学校2024-2025学年下学期开学收心定时作业九年级数学试卷（原卷版+解析版），共41页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，六名学生的成绩，等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1. 我国航天领域发展迅速，从“天宫一号”到“天和”核心舱的发射，正式迈入“空间站时代”．下列与中国航天相关的图标中可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知双曲线经过点，下列各点也在该双曲线上的是（ ）
A B. C. D.
3. 如图，，分别交、于点E、F，平分交于点G，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，与是位似图形，点为位似中心，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知实数．则实数m的值应在（ ）
A. 1与2之间B. 2与3之间C. 3与4之间D. 4与5之间
6. 如图，图1有4颗星，图2有6颗星，图3有9颗星，……，按照此规律图10星星颗数为（ ）
A. 55B. 58C. 65D. 69
7. 如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（ ）

A. B. C. D.
8. 已知的图象如图，则和的图象为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，是半圆的直径，是的中点，连接交于点，为的中点，若，则的长为（ ）
A B. C. D.
10. 已知、、、均为常数，、均为非零常数，若有两个整式，，下列结论中，正确个数为（ ）
①当为关于的三次三项式时，则；
②当多项式乘积不含时，则；
③；
④当能被整除时，；
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）
11. 若，则＝_____．
12. 四张相同的卡片上分别写有数字，，2，3，将卡片的背面向上洗匀后从中任意抽1张，并将卡片上数字记为k，再从余下的卡片中任意抽1张，并将卡片上数字记为b，则一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率为________．
13. 如图，正方形边长为3，分别以，为圆心，，为半径画弧，分别交于点，点，则阴影部分的面积为__．
14. 若关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程有非正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是______．
15. 在矩形中，沿对角线将矩形折叠，顶点落在点处，，，在上取点，使得，并延长交于点，则______．
16. 如图，矩形中，，，以为圆心，为半径画弧交于点，为上一动点，连接，．，分别为，的中点，连接，为的中点，连接．当与相切时，__；在点运动过程中，的最小值为__．
三、解答题：（本大题8个小题，每题10分，共80分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. “发展科学技术，迎接美好未来”，重庆实验外国语学校在校开展了科技文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A、B、C三个等级：A：，B：，C：．
下面给出了部分信息：
抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96；
抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88．
两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图如图所示．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_____，_____，_____度；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）
（3）若八年级共有500名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数．
19. 如图，在中，，平分，是的外角．
（1）用尺规完成作图：作的角平分线，过点C作，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）小敏作完图后，发现四边形是矩形，请帮助她完成下列推理过程：
∵平分，平分，
∴，．
∴①________．
又∵，平分，
∴②________（三线合一）．
∴．
又∵，
∴③________．
∴四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）．
（3）小敏在完成证明后进一步思考，得到结论：当等腰满足________时，矩形是正方形
20. 为做好消毒工作，某学校购入了一批洗手液与消毒液．购买洗手液花费800元，购买消毒液花费400元，购买消毒液瓶数恰好是洗手液瓶数的，每瓶消毒液的价格比每瓶洗手液的价格低4元．
（1）求一瓶洗手液的价格与一瓶消毒液的价格分别是多少元？
（2）学校决定再次购入一批同样品牌的洗手液与消毒液，购买洗手液的数量与第一次相同，购买消毒液的瓶数比第一次的购入量多瓶，此时洗手液与消毒液双双涨价，每瓶洗手液的价格比第一次的价格高元，每瓶消毒液的价格比第一次的价格高元，最终第二次购买洗手液与消毒液的总费用只比第一次购买洗手液与消毒液的总费用多元，求的值．
21. 如图，为正方形中边上一点，，．动点P，Q同时从点B出发，以相同的速度分别沿，向点A，点C移动，连接，，．设点P运动的路程为x，的面积为，的面积为．
（1）分别写出，关于x的函数解析式及x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出，的函数图象，并分别写出，的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围．
22. 如图，A，B两地的直线距离为，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．线路1：从；线路2：从．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且在B的北偏西的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西方向．（参考数据：，，，，，，，．）
（1）求的长度；（保留1位小数）
（2）通过计算说明，线路1和线路2，那条线路更短．
23. 如图，一次函数与二次函数交于点和点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点为直线下方抛物线上一动点，轴交于点，，垂足为，求的最大值，及此时点的坐标；
（3）将二次函数图象向某个方向平移，平移后（2）中求得的点的对应点为，且新抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），交轴于点．为新抛物线位于第四象限上的一动点，过作轴，垂足为，连接，．若，直接写出新抛物线的解析式和点的坐标．
24. 如图三角形中，点D在线段上，点E在线段上，连接、交于点F．
（1）如图1，，，平分．若．求的长．
（2）如图2，是等边三角形．延长至点，连接，连接交于点．若，．猜想、、之间的数量关系并证明．
（3）如图3，，，且，，．点、是平面内直线上方的动点且总有，．若，直接写出当线段取得最小值时的面积．
2024-2025学年重庆市江北区鲁能巴蜀中学九年级（下）
开学数学试卷
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1. 我国航天领域发展迅速，从“天宫一号”到“天和”核心舱的发射，正式迈入“空间站时代”．下列与中国航天相关的图标中可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义，逐一进行判断即可，中心对称图形的关键是确定对称中心．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
2. 已知双曲线经过点，下列各点也在该双曲线上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．利用待定系数法求出反比例函数的解析式，据此逐项判断即可得．
【详解】解：将点代入双曲线得：，
则．
A、当时，，则点不在该双曲线上，此项不符合题意；
B、当时，，则点在该双曲线上，此项符合题意；
C、当时，，则点不在该双曲线上，此项不符合题意；
D、当时，，则点不在该双曲线上，此项不符合题意；
故选：B．
3. 如图，，分别交、于点E、F，平分交于点G，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质及角平分线有关计算，先求解，根据平分，得到，结合得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4. 如图，与是位似图形，点为位似中心，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解决此题的关键．分析已知和所求，根据，可得，由与是以点O为位似中心的位似图形，即可得它们的位似比为；根据位似图形的性质可得与的比应等于位似比的平方，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵与是以点O为位似中心的位似图形，
∴，
∴．
故选：D
5. 已知实数．则实数m的值应在（ ）
A. 1与2之间B. 2与3之间C. 3与4之间D. 4与5之间
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的估算，掌握相关运算法则是解题关键．先化简实数，再估算出，即可得出实数m的值的范围．
【详解】解：，且，
，
，
实数m的值应在2与3之间，
故选：B．
6. 如图，图1有4颗星，图2有6颗星，图3有9颗星，……，按照此规律图10的星星颗数为（ ）
A. 55B. 58C. 65D. 69
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了图形的变化类—规律型，根据题目总结出图形的变化规律是解题的关键．
根据题意得出图形中的数量的变化规律是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，图1有颗星，
图2有颗星，
图3有颗星，
图10有颗星，
故选：B ．
7. 如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形、点坐标与图形，熟练掌握旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上是解题关键．找出线段和的垂直平分线的交点即可得．
【详解】解：由题意可知，线段和的垂直平分线的交点即为旋转中心．
∵如图，线段的垂直平分线为直线，线段的垂直平分线是边长为3的正方形的一条对角线所在直线，其与轴的交点为，

∴旋转中心的坐标是，
故选：B．
8. 已知的图象如图，则和的图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定y=ax+b经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限．
【详解】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，
可得a＜0，b＞0，c＜0，
∴y=ax+b过一、二、四象限，
双曲线在二、四象限，
∴C是正确的．
故选C．
【点睛】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．
9. 如图，是半圆的直径，是的中点，连接交于点，为的中点，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，交于．根据垂径定理可得、，从而得是△的中位线，利用三角形的中位线定理得；通过线段的中点得，结合圆周角定理推论的，可证得，利用全等三角形的性质得，进而即可解答．
【详解】解：如图，连接，交于，
是的中点，
，，
，，
是的中位线，
，
为的中点，
，
是半圆的直径，
，
在△和△中，
，
。
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，三角形中位线的定义和定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定与性质，根据题意的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题关键．
10. 已知、、、均为常数，、均为非零常数，若有两个整式，，下列结论中，正确个数为（ ）
①当为关于的三次三项式时，则；
②当多项式乘积不含时，则；
③；
④当能被整除时，；
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，一元二次方程的解，正确化简计算是解题的关键．
先求出，，，，即可判断③，然后计算，，根据题意即可求解，即可判断①②；由于，能被整除，则是方程的一个根，代入即可得到．
【详解】解：
，
，
解得，，，，
①，
为关于的三次三项式，
或，
或，
故结论①错误，不符合题意；
②
，
多项式乘积不含时，
，
，
故结论②错误，不符合题意；
③，，，
，
故结论③错误，不符合题意；
④，能被整除，
是方程的一个根，
，
即，
故结论④正确，符合题意，
综上所述，有1个结论正确，
故选：D．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）
11. 若，则＝_____．
【答案】4
【解析】
【分析】设，则a=2k，b=3k，再代入式子中即可求得结果.
【详解】设，则a=2k，b=3k，
===4
故答案为4
【点睛】此题考查了比例的基本性质，熟练掌握性质是解答此题的关键.
12. 四张相同的卡片上分别写有数字，，2，3，将卡片的背面向上洗匀后从中任意抽1张，并将卡片上数字记为k，再从余下的卡片中任意抽1张，并将卡片上数字记为b，则一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，列表法或画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键．根据一次函数图象经过的象限去，确定，，再画树状图求概率即可．
【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，
，，
画树状图如下：
由树状图可知，共有12种情况，其中满足条件的情况有4种，
即一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率为，
故答案为： ．
13. 如图，正方形的边长为3，分别以，为圆心，，为半径画弧，分别交于点，点，则阴影部分的面积为__．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是正方形的性质，扇形面积的计算，根据阴影部分的面积为正方形的面积减去两个扇形的面积可得答案.
【详解】解：四边形正方形，
，，
阴影部分的面积．
故答案为：
14. 若关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程有非正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解和一元一次不等式组的整数解，掌握分式方程的解的步骤和一元一次不等式组的整数解的定义是关键．根据分式方程的解的步骤和一元一次不等式组的整数解的定义进行解答．
【详解】解：解不等式组，
可得，
不等式组至少有3个整数解，
，
，
解分式方程，
解得，
又分式方程有非正整数解，
，且，
且，
且，
满足条件的整数的值为：，，，0，2，
满足条件的整数的值为：．
故答案为：．
15. 在矩形中，沿对角线将矩形折叠，顶点落在点处，，，在上取点，使得，并延长交于点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由矩形的性质和折叠的性质得，利用勾股定理求出，证明得，代入数据求出 ，进而可求出．
【详解】解：如图，设、交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
由折叠的性质得：，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等角对等边等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
16. 如图，矩形中，，，以为圆心，为半径画弧交于点，为上一动点，连接，．，分别为，的中点，连接，为的中点，连接．当与相切时，__；在点运动过程中，的最小值为__．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】连接并且延长交于点，连接，利用切线的性质结合勾股定理可求得；证明，，推出，利用，即可求解．
【详解】解：连接并且延长交于点，连接，
四边形是矩形，，，
，，
当与相切时，则，
，
，
，分别为，的中点，为的中点，
∴，，，
，，
，
，，
，点为的中点，
连接，取的中点，的中点，连接，，则，，，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：，．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、切线的性质、三角形中位线定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题：（本大题8个小题，每题10分，共80分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程和整式的混合运算、分式的混合运算和化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先把整体移项后，提取公因式即可得方程的解；
（2）先通分进行分式的加减法运算后，再进行分式的除法运算即可．
【小问1详解】
解：
移项，得：，
因式分解，得：，
或，
，．
【小问2详解】
解：
18. “发展科学技术，迎接美好未来”，重庆实验外国语学校在校开展了科技文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A、B、C三个等级：A：，B：，C：．
下面给出了部分信息：
抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96；
抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88．
两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图如图所示．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_____，_____，_____度；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）
（3）若八年级共有500名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数．
【答案】（1）；，；
（2）八年级的成绩更好，理由见解析；
（3）150人
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数的定义和意义，扇形统计图，利用样本估计总体．
（1）根据中位数、众数的定义，可求出、的值，用八年级C等级人数所占百分比，可求出；
（2）根据平均数、中位数、众数的意义分析即可；
（3）用八年级参赛学生总人数乘以样本中成绩为优秀的学生所占百分比求解即可．
【小问1详解】
解：由扇形统计图可知，八年级A等级人数为人，
八年级10名学生的竞赛成绩中位数为第五、六名学生的成绩，
；
七年级10名学生的竞赛成绩中分出现了三次，次数最后，
；
八年级C等级人数为，
，
故答案为：；，；
【小问2详解】
解：八年级的成绩更好，
理由：因为七、八年级学生的竞赛成绩的平均数相同，但是八年级学生的中位数和众数均高于七年级，所以八年级的成绩更好；
【小问3详解】
解：人，
答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数为人．
19. 如图，在中，，平分，是的外角．
（1）用尺规完成作图：作的角平分线，过点C作，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）小敏作完图后，发现四边形是矩形，请帮助她完成下列推理过程：
∵平分，平分，
∴，．
∴①________．
又∵，平分，
∴②________（三线合一）．
∴．
又∵，
∴③________．
∴四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）．
（3）小敏在完成证明后进一步思考，得到结论：当等腰满足________时，矩形是正方形
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）或或
【解析】
【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作角平分线，矩形的判定，正方形的判定：
（1）根据尺规作角平分线，做垂线的方法作图即可；
（2）根据平角和角平分线的定义，三线合一，垂直的定义，进行作答即可；
（3）根据有一组邻边相等的矩形是正方形，进行判断即可．
【小问1详解】
解：（1）由题意，作图如下：
【小问2详解】
∵平分，平分，
∴，．
∴．
又∵，平分，
∴（三线合一）．
∴．
又∵，
∴．
∴四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）．
【小问3详解】
当或或时，矩形是正方形；
当时，则：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴矩形是正方形．
20. 为做好消毒工作，某学校购入了一批洗手液与消毒液．购买洗手液花费800元，购买消毒液花费400元，购买的消毒液瓶数恰好是洗手液瓶数的，每瓶消毒液的价格比每瓶洗手液的价格低4元．
（1）求一瓶洗手液的价格与一瓶消毒液的价格分别是多少元？
（2）学校决定再次购入一批同样品牌的洗手液与消毒液，购买洗手液的数量与第一次相同，购买消毒液的瓶数比第一次的购入量多瓶，此时洗手液与消毒液双双涨价，每瓶洗手液的价格比第一次的价格高元，每瓶消毒液的价格比第一次的价格高元，最终第二次购买洗手液与消毒液的总费用只比第一次购买洗手液与消毒液的总费用多元，求的值．
【答案】（1）一瓶洗手液的价格为20元，一瓶消毒液的价格是16元
（2）的值为12
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用．根据题意找准等量关系，列出相应方程是解答本题的关键．
（1）设一瓶洗手液的价格为元，则一瓶消毒液的价格是元，根据题意可列出关于的分式方程，求出即可求解．
（2）先求出第二次购买洗手液的数量为瓶，第二次购买消毒液的数量为瓶，每瓶洗手液的价格为元，每瓶消毒液的价格为元，再结合题意列出关于的一元一次方程，解出即可．
【小问1详解】
解：设一瓶洗手液的价格为元，则一瓶消毒液的价格是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验原方程得解，
∴一瓶消毒液的价格是元，
∴一瓶洗手液的价格为20元，则一瓶消毒液的价格是16元．
【小问2详解】
解：根据题意得：第二次购买洗手液的数量为瓶，第二次购买消毒液的数量为瓶，
每瓶洗手液的价格为元，每瓶消毒液的价格为元，
根据题意可列等式：，
解得，（不符合题意舍去），
∴的值为12．
21. 如图，为正方形中边上一点，，．动点P，Q同时从点B出发，以相同的速度分别沿，向点A，点C移动，连接，，．设点P运动的路程为x，的面积为，的面积为．
（1）分别写出，关于x函数解析式及x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出，的函数图象，并分别写出，的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围．
【答案】（1），
（2）图象见解析，性质：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小
（3）
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的面积公式，二次函数和一次函数的图象，二次函数和一次函数的性质，根据题意求得函数的解析式是解题的关键．
（1）根据正方形的性质得到，求得，，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据题意画出函数图象，根据二次函数和一次函数的性质即可得到结论；
（3）根据函数图象即可得到不等式的解集．
【小问1详解】
解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
；
【小问2详解】
解：画
列表：
描点，连线得，如图：
画
列表：
描点，连线得，如图；
性质：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；
【小问3详解】
解：由函数图象知，当时，x的取值范围为．
22. 如图，A，B两地的直线距离为，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．线路1：从；线路2：从．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且在B的北偏西的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西方向．（参考数据：，，，，，，，．）
（1）求的长度；（保留1位小数）
（2）通过计算说明，线路1和线路2，那条线路更短．
【答案】（1）
（2）线路2比线路1短，见解析
【解析】
【分析】（1）过点D作，垂足为E．解直角三角形即可．
（2）解直角三角形后比较大小解答即可．
本题考查了解直角三角形，方向角，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
【小问1详解】
解：过点D作，垂足为E．
∴．
∵，，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴，．
∴．
故的长为．
【小问2详解】
解：由（1）可得，在中，
，
即．
在中，，
即．
，
即．
线路1：；
线路2：．
∵，
∴线路2更短．
故线路2比线路1短．
23. 如图，一次函数与二次函数交于点和点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点为直线下方抛物线上一动点，轴交于点，，垂足为，求的最大值，及此时点的坐标；
（3）将二次函数图象向某个方向平移，平移后（2）中求得的点的对应点为，且新抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），交轴于点．为新抛物线位于第四象限上的一动点，过作轴，垂足为，连接，．若，直接写出新抛物线的解析式和点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）根据题意，先得到，把点，代入二次函数解析式，运用待定系数法即可求解；
（2）如图所示，设直线分别与轴交于点，可得是等腰直角三角形，则有，由平行线的性质可得是等腰直角三角形，，设，则，则，所以，当时，有最大值，最大值为，由此即可求解；
（3）根据题意可得，图象向左平移2个单位，向下平移2个单位，则得到平移后二次函数解析式，根据二次函数与坐标轴的交点可得，，如图所示，设与轴交于点，可得，设，则，在中，由勾股定理可得，则可得点坐标，联立直线与二次函数可得点的坐标，由此即可求解．
【小问1详解】
解：把点代入一次函数得，，
∴，
把点，代入二次函数解析式得，
，
解得，，
∴二次函数解析式为；
【小问2详解】
解：如图所示，设直线分别与轴交于点，
当时，，当时，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点为直线下方抛物线上一动点，
∴设，则，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵点经过平移得到，
∴图象向左平移2个单位，向下平移2个单位，
∴二次函数平移后二次函数解析式为，
当时，，则，
当时，，
解得，，
∴，
如图所示，设与轴交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴，
解得，，（另一组解不合题意，舍去）
∵点在第四象限，
∴．
【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，正弦值的计算与运用，二次函数与直线的交点解一元二次方程，三角形外角的性质，平行线的性质等知识的综合，掌握二次函数与一次函数，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
24. 如图三角形中，点D在线段上，点E在线段上，连接、交于点F．
（1）如图1，，，平分．若．求的长．
（2）如图2，是等边三角形．延长至点，连接，连接交于点．若，．猜想、、之间数量关系并证明．
（3）如图3，，，且，，．点、是平面内直线上方的动点且总有，．若，直接写出当线段取得最小值时的面积．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）过点作于点，易得，，则可得，则可求出；
（2）在上取点，使得，连接，在上截取，证明是等边三角形，利用手拉手证明，再证为等边三角形，利用手拉手证明，再证，得，即可证明；
（3）先通过计算求出， ，，利用，得出点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在上方部分，利用，得出点的轨迹为以为圆心，为半径长的圆在上方部分，将沿直线翻折，得到，证明，由勾股定理求出是定值，由，且当、、依次共线时，取最小值，此时取最小值，当取最小值时，过点作于点，证明，则，求出即可．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，
，
，
，
∵平分，
，
∵，
，，
，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：猜想：，证明如下：
在上取点，使得，连接，在上截取，
∵是等边三角形，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由，设，，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，
解得：，
∴，，
构造的外接圆，
由，
则所对圆心角为，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴点和点重合，
∴的外接圆圆心即为点，
∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在上方部分，
∵，
∴如图，点的轨迹为以为圆心，为半径长的圆在上方部分，
设，
∴，
∴，
如图，将沿直线翻折，得到，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，是定值，
由，且当、、依次共线时，取最小值，
由，
则当、、依次共线时，取最小值，
当取最小值时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点作于点，连接，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查三角形综合，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与形状，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．
学生
平均数
中位数
众数
七年级
86
85
b
八年级
86
a
88
学生
平均数
中位数
众数
七年级
86
85
b
八年级
86
a
88
x
⋯
0
2
4
6
8
⋯
y
⋯
0
6
8
6
0
⋯
x
⋯
0
8
⋯
y
⋯
12
0
⋯