甘肃省陇南市西和县2025届高三下学期开学摸底考试数学试题（解析版）

这是一份甘肃省陇南市西和县2025届高三下学期开学摸底考试数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1. 设复数，则的共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以的共轭复数的虚部为.
故选：D
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，，
，
∴.
故选：B.
3. 已知是直线的一个方向向量，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，
所以若，则，解得.
故选：A.
4. 已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】B
【解析】由题得，
所以，设等比数列的公比为，所以，
则.
故选：B
5. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆交于点.动点以为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点，点运动的轨迹长为，当角的终边为射线时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题得，且圆O的半径为，
所以，
所以.
故选：C
6. 已知双曲线虚轴的两个端点分别为，左､右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题，
所以，即，所以，即.
故选：A
7. 若函数是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，函数定义域为.
∵，
∴，
∵且，∴，则，
∵，∴，解得，
当时，，，不合题意，
∴的取值范围是.
故选：B.
8. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】已知，所以，
则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 数据的方差为4
B. 数据的平均数为17
C. 数据的平均数为10，方差大于1
D. 若数据的中位数为分位数为，则
【答案】AB
【解析】对于A：数据的方差为，A选项正确；
对于B：数据的平均数为，B选项正确；
对于C：数据的平均数为，
方差，C选项错误；
对于D：若取数据，平均数为10，方差为1，
则中位数为，因为，所以第5个数为分位数，
所以，D选项错误.
故选：AB.
10. 如图，已知圆台的轴截面为，其中为圆弧的中点，，则（ ）
A. 圆台的体积为
B. 圆台母线所在直线与平面所成角的最大值为
C. 过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为
D. 过三点的平面与圆台下底面的交线长为
【答案】ABD
【解析】A.∵，∴圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，
∴圆台高，
∴圆台的体积，A正确.
B.由，，得，由得，.
如图，将圆台补成圆锥，顶点记为，底面圆的圆心记为，连接，
∵为圆弧的中点，∴.
∵平面，平面，∴，
∵平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面，
此时母线所在直线与平面所成的角最大，最大为，，B正确.
C.由得，，∴，
当两条母线所在直线夹角为时，截面面积最大，最大值为，C错误.
D.如图，在梯形中，连接并延长交的延长线于点，连接交底面圆于点，则为截面与底面圆的交线.
由得，，，∴，，
取中点，则，
∴，D正确.
故选：ABD.
11. 已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由题得，所以即，
所以奇函数，故，
又由得函数关于点对称，，
所以，故，
所以 ，即函数是周期为6的函数，
所以也是周期为6的函数，即，
由求导得即，
所以，
对于A，，故A正确；
对于B，由函数关于点对称得，故B错误；
对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确；
对于D，由得，
且即，且即，
且即，
所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12. 曲线C：在点M（1，e）处的切线方程为_____________．
【答案】
【解析】因为，所以切线斜率为，切线方程为，
13. 已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线的方程为，且的平分线经过点，设内切圆的半径分别为，则__________.
【答案】5
【解析】由题意可知
，
所以由，
由上得，且
所以，
所以，所以即，
令得，故直线经过点，
联立，
所以，
所以同理可得，
所以.
故答案为：5.
14. 程大位（1533-1606）是明代珠算发明家，微州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具.算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”.现有一种算盘（如图1）共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字5：梁下五珠，上拨一珠记作数字1.例如：图2中算盘表示整数506.如果拨动图1中算盘的3枚算珠，则可以表示不同的三位整数的个数为__________.
【答案】26
【解析】由题“百位”拨动3枚算珠可以表示的不同的三位整数有：300、700；
“百位”拨动2枚算珠可以表示的不同的三位整数有：
210、250、201、205，610、650、601、605；
“百位”拨动1枚算珠可以表示的不同的三位整数有：
120、102、160、106、111、151、115、155；
520、502、506、560、511、551、515、555.
则符合条件的三位整数的个数为26.
故答案为：26.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球，标号分别为，现采用有放回的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为，第二次摸到的小球号码为.
（1）记“”为事件，求；
（2）完成两次摸球后，再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为，号码中出现偶数的个数记为，求的分布列及数学期望.
解：（1）两次摸球，摸出的小球号码的所有情况共种，
其中，满足“”的情形有：
时，；时，；时，；共5种情况，
故；
（2）X的可能取值为，
则，，
，，
故X的分布列为：
故
16. 已知函数.
（1）若，求在上的极大值；
（2）若函数，讨论函数在上零点的个数.
解：（1）当时，，
则，
令，得或或，
因此，当变化时，，的变化情况如下表所示：
所以当时，有极大值，极大值为.
（2）
，
当时，由，得或，
其中，，则，
当或时，方程无解，此时函数只有一个零点，
当时，方程只有一解为，此时函数只有一个零点，
当时，方程有两个不同的解且均不等于，此时函数有三个零点，
当时，方程有一解且不等于，此时函数有两个零点.
综上，当或时，函数只有一个零点，
当时，函数有三个零点，
当时，函数有两个零点.
17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，为等边三角形.
（1）若分别是棱的中点，证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
解：（1）如图，取的中点，连接.
∵分别是棱的中点，∴.
∵，∴.
∵，平面，平面，
∴平面，同理可得平面，
∵平面，∴平面平面，
∵平面，∴平面.
（2）
如图，连接，取的中点，连接，
∵且，∴且，
∴四边形为平行四边形，故，
∵，∴，且，
∵，
∴，故等边三角形，
∴，.
∵为等边三角形，∴.
在中，由余弦定理得，，
∴，即，故两两互相垂直.
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，
由得，
∴，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，故
取平面的一个法向量，则，
∴平面与平面夹角的余弦值为.
18. 已知动点满足关系式.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点.
①证明：三点共线；
②当直线与有两个交点时，求的取值范围.
解：（1）设，
则即 ，
所以由双曲线定义可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支，且
所以动点的轨迹方程为.
（2）①证明：由（1）曲线:,，设，
对函数求导得，
所以两切线方程为：，即，
又切线过点P，所以，
即满足，即满足方程，
所以，
设，则由，
所以，即三点在直线上，即三点共线；
②由上得，所以直线的方程为即，
联立，
因为直线与有两个交点，则由题意可知方程有两个不等负根，
所以，
所以.
所以的取值范围为.
19. 设是各项均为正数的无穷数列，其前项和为.
（1）若对任意都成立，且.
①求数列的通项公式；
②已知首项为，公比满足的无穷等比数列，当无限增大时，其前项和无限趋近于常数，则称该常数为无穷等比数列的各项和.现从数列中抽取部分项构成无穷等比数列，且的各项和不大于，求的最大值.
（2）若对任意都成立，试证明：.
解：（1）①因为对任意都成立，所以，且，所以，
则数列是等比数列，又，
作差得，，所以，
又数列为等比数列，故数列的公比为，
又因为，所以，所以，
所以是以1为首项以为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为；
②因为，设数列，公比为，其中，
则数列的各项和等于，所以，
又因为，所以，
当时，由，得，
即时满足题意，所以；
（2）记，，因为 对任意都成立，且，
得，即，
要证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
若为奇数，只需证，
因为，所以，
所以成立；
若为偶数，只需证，
因为，所以，又，
所以成立；
综上可知，对任意，不等式都成立.
X
0
1
2
3
P
0
+
0
0
单调递减
单调递增
单调递减
单调递增