新高考数学一轮复习考点分类提升 第29讲 等差数列（讲义）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点分类提升 第29讲 等差数列（讲义）（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习考点分类提升第29讲等差数列讲义原卷版doc、新高考数学一轮复习考点分类提升第29讲等差数列讲义解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是，其中A叫做a，b的等差中项．
2.等差数列的有关公式
(1)通项公式：当时，是关于n的一次函数．
(2)前n项和公式：⇒当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项．
3.等差数列及其前n项和公式的性质
(1)若为等差数列，且，则.
(2)若是等差数列，公差为d，则也是等差数列，公差为2d.
(3)若是等差数列，公差为d，则是公差为md的等差数列.
(4)若是等差数列，则也是等差数列.
(5)两个等差数列的前n项和之间的关系为.
(6)若是等差数列，分别为的前m项、前2m项、前3m项的和，则也成等差数列.
4.常用结论
(1)数列是等差数列⇔.
(2)取倒数法:(p，q，r是常数)变形为，
①若p=r，则是等差数列，且公差为，可用等差数列公式求通项;
②若p≠r，则先转化为bn+1=sbn+t型，再利用构造法构造新数列求解.
考点一：公式法求数列通项、基本量
例1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．63B．92C．117D．145
【答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式及求和公式列方程组求出首项和公差，然后再求即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由已知得，
解得，
.
故选：B.
考点二：定义法判断等差数列
例2．数列中，，且，则这个数列的前20项的和为（ ）
A．495B．765C．450D．120
【答案】C
【分析】首先判断数列为等差数列，再利用等差数列前和公式即可得到答案.
【详解】因为在数列中，，且 ，即
所以数列 是首项为，公差为3的等差数列，
数列的前项和.
故选：C.
考点三：等差中项法判断等差数列
例3．已知数列满足，其前n项和为，若，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】C
【分析】先利用等差中项判定数列为等差数列，再利用等差数列前n项和公式、等差数列的性质即可求解.
【详解】根据题意，可得数列为等差数列，所以，所以，
所以，所以.
故选：C．
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等差中项定义可确定为等差数列，结合等差数列通项公式可推导得到，代入即可求得结果.
【详解】由得：，数列为等差数列，
又，，数列的公差，
，，.
故选：C.
考点四：函数单调性法求等差数列前n项和的最值
例5．已知等差数列的通项公式为，则该数列的前项和取得最大值时，（ ）
A．7B．8C．7或8D．9
【答案】C
【分析】先求出，再利用等差数列的前项和公式求出，再整理即可得出结果．
【详解】依题意得，则，
所以当n=7或8时，取得最大值．
故选：C．
例6．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知为等差数列的前项和．若，，则当取最大值时，的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】由已知结合等差数列的性质和前项和公式，可推得，，从而得解．
【详解】因为等差数列中，，即，
所以，
因为，即，
所以，
由为等差数列，得时，；时，，
所以当时，取得最大值．
故选：D.
一、单选题
1．（2023·全国·校联考二模）已知等差数列满足，，则（ ）
A．25B．35C．40D．50
【答案】A
【分析】根据等差数列的通项公式以及性质求得答案即可.
【详解】设等差数列的公差为.
由，得，即①；
由，得，②；
由①②得，
则.
故选：A.
2．（2023·河南安阳·统考二模）已知等差数列中，，，则公差（ ）．
A．2B．C．3D．
【答案】A
【分析】利用等差中项性质得，根据，代入数据计算即可.
【详解】根据等差数列性质可得， 即，，
∴．
故选：A.
3．已知数列的前n项和为，且，则=（ ）
A．0B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意根据等差中项的性质判断数列为等差数列，利用等差数列前n项和片段和的性质即可求得答案.
【详解】由可得，
故数列为等差数列，
又，故也成等差数列，
即 ，
故选：D
4．设是数列的前n项和，且，，则
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列中，化简表达式，再同时除以即可得到等差数列；求出的通项公式后，再取倒数即可得到的表达式．
【详解】由已知得，两边同时除以，得，
故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．
【点睛】本题考查了数列求和公式的综合应用，等差数列通项公式的用法，属于基础题．
5．等差数列的前n项和记为，且，，则=（ ）
A．70B．90C．100D．120
【答案】D
【分析】根据等差数列前n项和的性质可得成等差数列，即可求得的值.
【详解】在等差数列中，成等差数列，
所以，则，即.
故选：D.
6．在等差数列中，为其前项的和，已知，且，当取得最大值时，的值为（ ）
A．17B．18C．19D．20
【答案】C
【分析】由题意，可得，又，所以，进而可得，，从而可得答案.
【详解】解：设等差数列的公差为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴取得最大值.
故选：C.
7．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（ ）
A．﹣4040B．﹣2020C．2020D．4040
【答案】C
【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可.
【详解】∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{}是等差数列．
∵a1＝﹣2018，，
∴数列{}的公差d，首项为﹣2018，
∴2018+2019×1＝1，
∴S2020＝2020．
故选：C．
二、填空题
8．（2023·贵州黔西·校考一模）已知等差数列前9项的和为27，，则________．
【答案】8
【分析】设等差数列的首项为，公差为，则，解方程再结合等差数列的通项公式即可得出答案.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
所以，解得：.
则.
故答案为：8.
9．在数列中，，，则______．
【答案】200
【分析】先由等差数列的定义求得数列是等差数列，进而求得的通项公式，即可求解.
【详解】由，得，而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
则有，所以，则．
故答案为：200.
10．（2022·四川达州·统考一模）已知数列 ​满足，，​，则​等于__________.
【答案】7
【分析】首先根据题意得到是等差数列，再根据等差数列的性质求解即可.
【详解】因为，所以是等差数列，
由等差数列性质可得，解得.
，解得.
所以.
故答案为：7
11．设等差数列，的前n项和分别为，，且，则______.
【答案】##
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质化简计算作答.
【详解】等差数列，的前n项和分别为，，
所以.
故答案为：
三、解答题
12．已知是等差数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式基本量列出方程，求出公差，进而求出通项公式；
（2）在第一问的基础上，求出，得到不等式，求出，结合，得到的最小值.
【详解】（1）设数列的公差为，因为，
所以.
解得.
所以.
（2），
所以.
令，得，
解得：（舍去）.
因为，所以的最小值是12.
13．记为的等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求的最小值及取得最小值时的值．
【答案】(1)
(2)当时，的最小值为
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和的基本量列方程组求解；
（2）求出数列的前项和根据二次函数的特点求出最值.
【详解】（1）设等差数列的公差为
，即，又因为
，
故
（2）
当时，的最小值为
14．已知等差数列的前n项和为，若，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最大值及取得最大值时n的值.
【答案】(1)
(2)当或，取最大值，最大值为30
【分析】（1）由条件结合等差数列的通项公式列关于和的方程，解方程求，再求通项公式即可；
（2）方法一：求出的表达式，结合二次函数的性质，即可求得结果.
方法二：解方程，再解不等式，，由此确定使得最大时的值，再由求和公式求其最大值.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
因为，，
所以，
解得，
所以；
（2）方法一：因为，，
所以当或时取得最大值，最大值为30.
方法二：当时，，
当时，，
当时，，
所以当或时取得最大值，
又
所以最大值为30.
15．已知数列各项均为正数，且，．
(1)求的通项公式；
(2)记数列前项的和为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用因式分解法，结合等差数列的定义和通项公式进行求解即可；
（2）利用裂项相消法进行求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，
因为各项均为正数，，
所以
所以数列是以首项为1，公差为1的等差数列，
．
（2），
16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列满足，．
(1)证明：为等差数列；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【分析】（1）由题意可得，再结合等差数列的定义即可证明结论；
（2）结合（1）可得的通项公式，从而得到，再利用裂项相消求和即可．
【详解】（1）因为数列满足，
整理得，所以，
又，所以是以1为首项，为公差的等差数列．
（2）结合（1）可得，所以，
则，
所以
17．已知数列的前n项和为，若．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)利用与之间的关系，可求出的通项公式，在利用等差数列的定义证明即可.
(2)先通过通项公式判断前5项小于0，第6项以后都是大于0，可以分，
和，两部分进行求和，即可得出答案.
【详解】（1）因为，
所以时，，
由①②相减可得，，，
当时，也满足题意，
故的通项公式为：．
所以时，，
所以时，总成立，
所以数列是等差数列．
（2）因为，
所以，
当时，；当时，，
由(1)中结论可知，当时，；
当时，，
从而．
18．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，且．
(1)求及数列的通项公式；
(2)求的最小值及对应的n的值．
【答案】(1)，
(2)，n＝8或n＝9
【分析】（1）由等差数列的前n项和的性质可得k＝0，再由与的关系，求数列中的项和通项公式.
（2）由的函数特征，求最小值及对应的n的值.
【详解】（1）由等差数列的前n项和公式可知，所以k＝0，
即，所以，
当时，．
当n＝1时也符合上式，故．
（2）由（1）可得，所以是关于n的二次函数，
又，所以当n＝8或n＝9时，取得最小值，故．
19．设为数列的前项和，已知，．
(1)证明：为等比数列；
(2)求的通项公式，并判断，，是否成等差数列？
【答案】(1)证明见解析
(2)；，，成等差数列．
【分析】（1）由递推关系式可得，由此可证得结论；
（2）由等比数列通项公式可推导得到，由等比数列前项和可求得，由可得结论.
【详解】（1）由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得：，；
；
，，即，
，，成等差数列.
20．已知是等差数列，其前n项和为，再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)数列的通项公式；
(2)的最小值，并求取得最小值时n的值．
条件①：；条件②：．
【答案】(1)条件①：；条件②：
(2)条件①：时，最小值为；条件②：或时，最小值为.
【分析】（1）根据等差数列定义，设出公差利用所选条件分别解得和，即可写出数列的通项公式；（2）根据通项公式可得前n项和为的表达式，再根据二次函数性质即可求得最小值.
【详解】（1）若选择条件①：
设等差数列的公差为，由可得；
又，得，即；
解得，
所以；
即数列的通项公式为.
若选择条件②：
设等差数列的公差为，由可得；
又，即，得；
解得；
所以；
即数列的通项公式为.
（2）若选择条件①：
由可得，；
根据二次函数的性质可得当时，为最小；
即时，取最小值，且最小值为.
若选择条件②：
由可得，；
根据二次函数的性质可得当或时，为最小；
即或时，取最小值，且最小值为.
考点一
公式法求数列通项、基本量
考点二
定义法判断等差数列
考点三
等差中项法判断等差数列
考点四
函数单调性法求等差数列前n项和的最值